高观点下探寻多边形的内角和与外角和

广东省深圳市南山外国语学校(集团)科华学校 (518000) 叶 莹

三角形的内角和是一个重要的几何量,在欧几里得几何学中,三角形的内角和为180度.在证明这一定理的时候,中学教科书[1]采用的方法是这样的:首先过三角形的某一个顶点作与对边平行的辅助线,再利用内错角相等得到三角形的内角和为180度.而内错角相等需要利用欧几里得几何的两条公理:同位角相等和对顶角相等.由此可见,为了证明三角形的内角和为180度,需要两条公理.中学课本证明完三角形的内角和为180度以后,再利用内角和外角互补的关系,得到外角和为360度.

在讲完三角形的内角和与外角和以后,中学教材便开始讲凸多边形的内角和,课本中的讲法通常是这样的:从凸多边形的某个顶点出发,可以作(n-3)条对角线,从而把多边形分成了(n-2)个三角形,多边形的内角和正好是这(n-2)个三角形的内角和,因而是(n-2)×180°.相应地,因为每个顶点对应的外角和内角互补,所有内角和与外角和的总和是n×180°,从而外角和是2×180°=360°,详情可参考[1].一般的教材也就到此为止,即得到凸n边性内角和公式为(n-2)×180°,外角和为360°.以上的证明过程无疑是正确的,然而笔者认为,许多很自然的问题还没有解决:1.如果是非凸多边形,它的内角和应该是多少,外角和应该是多少? 2.为什么多边形的内角和与边数有关,而外角和与边数无关?3.证明多边形的内角和公式和外角和公式,有没有更加直观和更加简单的方法?笔者通过对这几个问题的长期思考,结合现代微分几何学的研究方法,认为多边形的外角和是比多边形的内角和更重要的几何量.如果换一种方式来讲解多边形的内角和与内角和,则不但讲解过程更加直观,而且不需要任何公理,此外,该讲解方法还适用于非凸多边形,最后,该讲解方法还可以很容易推广到现代微分几何学中的Gauss-Bonnet公式.下面笔者来详细叙述这种直观的讲解方法.

我们来观察一下三角形的制作过程.中学教科书中说,三条线段顺次首尾相接就构成一个三角形,实际上,我们只需要把一条线段折三次就能得到一个三角形,仔细观察折叠的过程,就能得到三角形的外角和为360度的结论.下面,我们来看看具体的折叠步骤:

首先,取一条线段(如图1).

图1

第一步:将AB段不动,BE段绕B点逆时针旋转α角度(如图2).

图2

第二步:将AB段、BC段不动,CE段绕C点逆时针旋转β角度,使得D、A、B三点在同一条直线上(如图3).

图3

第三步:将AB段、BC段、CD段都不动,DE段绕D点逆时针方向旋转γ角度,使得DE与AB共线(如图4).

图4

通过上述三步,一个三角形就形成了.巧合的是α、β、γ刚好是ΔABC的外角,那么它们的和是多少度呢?观察DE段,它在第一步逆时针旋转了α,第二步逆时针旋转了β,第三步逆时针旋转了γ,最终绕了一圈,回到了原来的方向,既然是绕了一圈,也就是说旋转了360°,即α+β+γ=360°,也即三角形的外角和是360°,得到了三角形的外角和为360°以后,因为每个顶点处的内角与外角互补,所以内角和与外角和的总和是3×180°,因而得到内角和是180°.上述过程的实施非常简单,不需要教材中的辅助线等工具,并且这种方法可以推广到多边形,包括凸多边形和非凸多边形的情况.

先来看看凸n边形的内角和与外角和,将一条线段分成(n+1)段,用同样的方法,经过n步将线段绕不同的点旋转一定角度,就可以得到一个凸多边形(当然要求旋转的角度和线段的分段要适当),因此凸n边形的外角和360°,从而得到内角和是(n-2)×180°.

从上面的分析可以看出,无论是构造多少条边的凸多边形,其本质都是最后一段旋转了一圈,而每一次旋转的角度都是多边形的一个外角,因此凸n边形的外角和总是360°,这就是对多边形外角和的直观认识,这样理解外角和还有以下两个好处.

图5

综上所述,在给中学生讲述多边形的内角和与外角和时,除了按照教科书中的讲法来讲之外,还可以从曲线弯曲的角度来先讲外角和,再根据外角与内角互补的关系,得到多边形的内角和公式.这样讲有几个好处.第一个好处是非常直观.不管是几边形,它都是一条线段经过若干次弯曲以后,绕了一圈,重新回到原来的方向所得到的图形.每一次弯曲对应多边形的一个外角,而绕一圈意味着多边形的外角之和为2π,再由外角与内角互补,得到内角和为nπ-2π=(n-2)π.第二个好处是,上述内角和公式与外角和公式不仅适用与凸多边形,也适用于非凸多边形.凸多边形的内角和可通过三角剖分得到,而非凸多边形的内角和不能通过三角剖分得到,因而上述方法将凸多边形的内角和公式推广到了任意多边形.第三个好处是将外角理解为曲线的弯曲,可以将多边形外角和公式推广到按段光滑封闭曲线的Gauss-Bonnet公式,使得学生在学习微分几何时,可以快速地理解Gauss-Bonnet公式的直观意义,从而发散学生的思维,供有余力的学生思考.第四个好处是可以让学生知道,除了欧几里得几何以外,还有非欧几里得几何.在非欧几里得几何中,三角形的外角和与曲面的Gauss曲率相关.