探索二元不等式约束条件下函数最值的求解

山东省宁阳县复圣中学 (271400) 张志刚

二元方程条件下的最值问题历来是高考、竞赛、高校强基计划测试等考查的热点,近三年高考就有2020年新高考全国I卷第11题、新高考全国II卷第12题、天津卷第14题、江苏卷第12题,2022年新高考全国II卷第12题等,自然也吸引了众多数学教育工作者对此深入探讨,形成了日益成熟的解题理论(参见文[1][2]等).然而,此类试题的命题模式多年来鲜有变化,似有陷于僵化之嫌.如何改变问题呈现样态,减少考试固化给机械训练和大量刷题带来的收益,同时强化其选拔功能呢?下面的两道高校选拔试题将条件由方程变更为不等式,使传统的二元函数最值问题焕发出新的生机,代表了试题改革的一个新趋向,具有较高的研究价值.

1 案例呈现

两例均考查不等式约束条件下二元函数的最值问题,情境相对新颖,思维跨度更大,呈现出更强的综合性与选拔性.

2 案例解答

评注：通过换元转化为二次方程有解,利用判别式Δ≥0构造不等式,也是处理二元函数最值问题的常见思路.

评注：柯西不等式是探求函数(特别是多元函数)最值的有力工具.解法4通过柯西不等式放缩一次性消除变元x,y,使代数式转化为常数2(即所求最大值),体现了消元思想.在利用柯西不等式解题时,往往借助拆项、添项、配凑等技巧,以构造出柯西不等式的结构形式.此外,要验证等号能否成立.

图1

评注：本解法在解法5解析式变形基础上继续配凑为两个向量的夹角公式形式,转化为两个向量夹角的余弦函数最值问题.

3 强化训练

近年,不等式条件下的最值试题频频出现于高校强基计划测试等选拔性考试中,代表了二元函数最值问题命题的一个新趋向,成为一道靓丽的风景线.下面再举几例.

例1 (2020年清华大学强基计划测试第1题)已知x2+y2≤1,则x2+xy-y2的取值范围为( ).

4 结语

在教学和命题实践中,通过情境设置考查学生的关键能力和核心素养,是当前中、高考改革以及国际考试测量的基本方向.高考命题一方面将进一步创新试题的情境创设和呈现方式,另一方面将进一步加大试题的开放性和探究性,实现对学生创新思维和批判性思维的考查.可见,高考评价体系引领下的命题情境将进一步呈现复杂性、综合性和创新型的特点.二元不等式条件下的最值问题通过创新问题情境,区分度更高,能有效驱动学生与情境之间持续而有意义的互动,促进学生积极剖析条件,捕捉信息,抓住关键,形成设想,构建方案,将所学知识迁移到新情境,解决新问题,与高考评价体系的要求相契合.