从“学数学”到“做数学”

陆小蓓

［摘 要］学生的学习应是一个主动的过程。以苏教版教材五年级下册“和与积的奇偶性”中“和的奇偶性”为例，先分析学生学情和教材，再进行教学尝试，让学生在主动参与、自主探索、学会评价中真正学会“做数学”。

［关键词］做数学；自主探索；奇偶性

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2023）17-0073-04

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）中指出：“学生的学习应是一个主动的过程，认真听讲、独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等是学习数学的重要方式。” 在数学教学中，要注重培养学生运用数学方法解决实际问题的能力，让学生在情感和态度上有新的发展。建构主义学者认为，学习是现实的特定操作过程中对自己的活动过程的性质进行反省、抽象而产生的，“学数学”应是一个“做数学”的过程。因此，在数学课堂中，教师只有让学生经历自主探索、动手操作、合作交流的过程，学生才能抓住发现问题和提出问题的机会。要使学生真正学会“做数学”，就必须有一套贴近学生生活且融合趣味性、开放性、探索性的教材和学习内容。笔者以苏教版教材五年级下册一节综合实践活动课“和与积的奇偶性”中“和的奇偶性”教学为例， 就如何让学生经历“做数学”的过程谈谈自己的一些思考与尝试。

一、课程分析

学生经历了较多的整数加法计算练习和乘法计算练习，但在此过程中很少去观察、判断加法算式中的和、乘法算式中的积是奇数还是偶数。在进行计算教学的过程中，教师会将重点放在算理与算法的教学上，要让学生理解和掌握计算法则，能够准确、快速地算出得数，并且能够运用计算来解决实际问题。在整数的加法和乘法的教学已经全部完成后，学生在整数运算方面掌握得较好，已经初步建立了奇数和偶数的概念，有研究整数加法的和以及整数乘法的积的基础，可以进一步探索和与积的奇偶性规律。之前教材中探索规律的内容，例如间隔排列现象、周期现象等，都是探索生活中的真实现象，“和与积的奇偶性”这一课是对整数加法和乘法中的规律进行探究，是直接研究数学对象，教师可以利用这样的变化激发学生学习的兴趣，充分调动他们的参与性和能动性。

本课中，研究2个数相加之和的奇偶性是重中之重，教材给予学生的“脚手架”也很细致。第一步，让学生先每人随机选取两个非0自然数，并计算它们的和；在小组讨论后，再将所选的两个加数与计算出来的和填写到教材上的表格中。学生产生了“怎样的数相加，和是奇数”“怎样的数相加，和是偶数”等问题，逐渐形成探索规律的兴趣。第二步，通过提示“观察填好的表格，说说你的发现”引导学生初步感知规律。第三步，让学生再列举一些例子来证明之前的发现。第四步，引导学生联系实际进一步体验两数之和的奇偶性。

对于研究多个非0自然数的和的奇偶性，教材也分了三步。第一步，随机选取几个非0自然数，将它们写成一道连加算式，让学生猜一猜和是奇数还是偶数，然后通过计算来验证猜想。第二步，设计问题让学生讨论。第三步，让学生发现规律并在复杂的连加情境里做判断。教材的设计由扶到放，虽然有探索、有讨论、有研究，但都在教师的引导下，并不是学生自发的研究。在这样的教学路径下，学生学习未“真发生”，学生经历的也不是“真过程”，仅仅是在“学数学”，而非“做数学”。

带着这些思考，笔者对这节课进行了教学尝试，努力让学生经历“做数学”的过程。

二、教学尝试

1.把时间还给学生，让学生主动参与

学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。以此理念为引导，教师应该将时间还给学生，让他们主动学习，有了时间才会有发展。给学生充足的学习时间，是让他们主动参与、自主探索的先决条件。

【教学片段1】

师（出示“任意一个非0自然数非奇即偶”这句话）：你赞同这句话吗？说说你的理解。

生1：我赞同这句话，因为任何一个非0自然数除以2，要么能够整除，要么有余数1。

生2：我也赞同这句话，自然数的排列就是奇数、偶数、奇数、偶数……

师：大家已经能够正确判断一个数的奇偶性，那么大家一定能够学会判断几个数之和的奇偶性。

师（揭示课题“和的奇偶性”）：要想探索这个规律，你们打算怎么研究呢？

生3：我想举一些例子，然后通过这些例子来找规律。

师（板书“举例”）：“举例”的确是一种非常好的研究方法。关于举例，谁还有什么想补充的？

生4：例子有很多，举不完。我们可以先从简单的2个数相加的情况开始举例，数据也不要太大，有代表性就可以了。

师：你们的研究方法很棒、思路也很清楚。接下来我们进行两个活动。活动一，任选两个非0自然数，写成一道加法算式，算一算和是奇数还是偶数；活动二，任选几个非0自然数，写成连加算式，算一算和是奇数还是偶数。

在上述教学片段中，教师以一句话“任意一个非0自然数非奇即偶”开启这节课的讨论，问题直接指向研究现象，引发学生的兴趣，调动学生的积极性与能动性。学生先思考一个数的奇偶性再思考两个数之和的奇偶性。有了探索规律的需求，才会激发学生进一步思考的欲望。求知欲被调动起来了，学生自然也会根据以前的学习经验确定研究这个话题的方法，教师只需要提取、记录。课堂中的两次活动，都是为了给学生时间尝试、思考。试想，如果没有充足的时间，学生怎会出现探索后的思维多样化？如果没有充足的时间，学生怎么有机会充分展示自己的思维过程？更谈不上会有反思之后的自評与他评。要想学生经历“做数学”，就必须舍得把宝贵的课堂时间还给学生，让学生主动参与，“真学习”才有可能发生。

2.把思考还给学生，让学生自主探索

数学教学的实质是教会学生思考，引导学生学会思考。教师要从学生的已有认知出发，让学生在自己的最近发展区附近自主探究、合作、交流，实现“做数学”。

【教学片段2】

（教师选取一些学生写的算式贴在黑板上，分为和是奇数、和是偶数两类）

师：观察算式，说说你们的发现，算式的和什么时候是奇数？

生5：我发现两个加数中一个是奇数、一个是偶数时，和就是奇数。

师：黑板上的4道算式符合他说的吗？

（众生点头）

师：看来大家是通过加数的奇偶性来判断和的奇偶性。什么情况下和是偶数呢？

生6：两种情况下和是偶数，一种是两个偶数相加，还有一种是两个奇数相加。

师（按照生6的介绍把黑板上的算式分类）：仅凭这些算式就能验证这三个发现吗？

生7：我们还可以再举一些例子来验证。

师：例子举不完，我就觉得有反例。你们讨论一下，怎么验证这三个发现？

（学生分小组讨论，汇报）

生8：我们小组觉得，虽然两个数相加的情况有无限种，但是可以直接通过两个数的个位的相加情况来判断它们的和的奇偶性。这个时候就可以画如图1所示表格进行列举。

师：听懂生8的验证方法了吗？这次的举例和之前不一样了，之前的举例是随意的，而这次关注两个加数的个位，把个位的相加情况全部列举完，那么所有的情况都包含在里面了。生8的思考很有深度。

生9：我们是通过图来验证。如果用1个小长方形来表示1，那么偶数就可以用图示（如图2）来表示。

师：你怎么想到用这种方式来表示所有的偶数？

生9：因为偶数除以2是没有余数的，那么我们就可以将偶数个长方形每2个一列进行排列，这样就可以一眼看出除以2没有余数。

师：根据偶数的特征想到用这种图示来表示数，真厉害！

生9：那么我们就可以用图示（如图3）来表示所有的奇数。

师：大家能看懂这张图吗？

生10：奇数是除以2余1，多出来的那1个就是余数1。

师：用这两张图来表示奇数和偶数，也可以表示所有的情况。如何验证？

生11：“奇数+偶数”，就如图4，那么和肯定是奇数。“偶数+偶数”就不用看了，两个数本身都是偶数，除以2都没有余数，那么它们的和也肯定不会有余数。再看“奇数+奇数”，如图5，每个奇数除以2都余1，那么2个余数1合起来就是2，2除以2，余数就消失了。

师：在图5中指一指，哪里表示“2个余数1合起来就是2”。

……

师：用形象的图示表示抽象的内容，一目了然，感谢你们。

生12：所有的偶数可以用2n来表示，那么奇数就可以用2n+1来表示。“奇数+偶数”就是2n+（2n+1）=4n+1，4n仍然是一个偶数，还多1个1，所以“奇数+偶数=奇数”，图4中“多的1”就在这里。“偶数+偶数”就比较简单了，2n+2n=4n，4n肯定是个偶数。最后是“奇数+奇数”，2n+1和2n+1合起来，就是4n+（1+1），两个余数1合起来就是2，可以被2整除。

师：你不仅用字母表示所有的奇数和偶数，还将之前的方法融会贯通，让我们听得意犹未尽。提醒一下，任意两个奇数不能用相同的字母表示，可以一个是2n+1，一个是2m+1，和就是2n+2m+1+1，还是个偶数。

师（小结）：同学们刚才用了很多方法证明，有列举个位相加的情况，有画图，还有用字母表示数，其实都在想着穷尽所有的情况来验证这三个发现的正确性。

在上述教学片段中，笔者引导学生发现新旧知识的“生长点”（判断一个数的奇偶性）之后，鼓励他们去猜测探索、合作交流，促使学生尽情思考。在思考的过程之中，学生的思维被激发了，思维“活”起来。

学生提出了多样化的验证方法，这是第一层次的思考。教材中只简单地呈现了举例验证的一般算法。但学生由于个体思维水平、知识经验和思考角度的不同，提出了3种验证方法，每种方法都是学生不断探索、不断创新的成果。

基于思維的多样性，学生可以自发地、主动地进行思考，将自己的思维过程展现得充分又到位。

更值得一提的是，学生在汇报的时候不仅汇报自己的思考，还互动交流。可见，课堂中教师把思考还给学生，让学生自主探索，学生不仅学会知识，更学会学习、学会交流、学会共享。

3.把评价还给学生，让学生学会评价

在新的教育观下，评价目标具有多元性，那么评价主体也应具有多样性。教师可以在适当的时候把评价还给学生（包括他评、自评等），让他们在互相评价的过程中学会欣赏别人，吸纳别人的意见，并随时进行自我反思、自我提高。

【教学片段3】

师：这节课你们有什么发现？

生13：我们发现1个偶数和2个奇数相加，和肯定是偶数。

生14：这个发现只限于3个数相加，不能代表所有的情况。

生15：我们发现无论加数中偶数的个数是多少，和既有可能是奇数，也有可能是偶数。

生16：你是不是想表达，和的奇偶性与偶数的个数没有关系？

生17：是的。只与奇数的个数有关系。

生18：我们的发现和你们一样，如果加数中奇数是单数个，那么2个奇数可以合成1个偶数，落单的那个就没有“组对”的了，因此和肯定是奇数。如果奇数是偶数个，那么两个能凑一对（偶数），因此和是偶数。

……

在上述教学片段中，学生就多个数相加的和的情况自由地进行讨论，相互评价，互相补充，在课堂上进行了一场“头脑风暴”，在互相评价中学会评价，不断发展自己。

三、教学总结

从整个教学过程来看，学生研究数学的本事绝不亚于教师，他们研究数学的激情绝不低于数学家。本节课中笔者最大的体会就是，放手让学生去学、去做就是最好的教学方法。让学生经历“做数学”的过程是自主建构数学知识的有效途径，在课堂中“把时间还给学生，把思考还给学生，把评价还给学生”是教师在新课程背景下必须树立的一个教学理念。

新课标把教学目标分成知识技能目标和过程性目标，而过程性目标更多地关注学生学习数学的经历，关注学生在数学学习过程中的行为投入、认知投入和情感投入。在数学课堂教学中，教师应给学生提供充分的时间和空间，让他们通过独立思考、合作交流、评价反思等活动把学习数学的过程演变成“做数学”的过程，从而促进他们对知识的真正理解（自主建构），使学生得到个性化的发展。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2] 史宁中，曹一鸣.义务教育数学课程标准（2022年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2022.

[3] 史宁中.数学基本思想18讲[M].北京：北京师范大学出版社，2015.

（责编 杨偲培）