“问题链”引领单元探究 起始课搭建思维台阶

杨会兰　王丹阳

摘 要：在新课程改革的背景下，数学教学应以提升数学核心素养作为教学设计的根本出发点。“立体几何初步”章起始课的目的便是让学生对立体几何有一个大致的了解，激发学生的学习兴趣。通过任务探究、诱导启发、深度思考来引导学生积极投入数学活动。在增强学生应用数学意识的同时，也提高了立体几何的趣味性，培养了学生的空间想象能力，强化了数学的教育功能。

关键词：核心素养；章起始课；立体几何

中图分类号：G633.63 文献标识码：A 文章编号：1673-8918（2023）31-0115-04

一、 引言

《普通高中数学课程标准（2022年版）》指出，学科核心素养是育人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的价值观念、必备品格和关键能力。《教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》颁布后，“核心素养”成为普通高中新课程改革的最新要求。我们深知，数学核心素养的提升绝不是一蹴而就的，它是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的，我们要以知识为载体，在知识发生发展的过程中有意识、有侧重地落实核心素养的培养。学科教学是实现教育目标，落实立德树人的关键环节。对章起始课这种新课型，笔者在学习中探索，在探索中创新，探索出一套在学科育人理念下开展高中数学章起始课教学的新思路与新方法，希望通过章起始课的教学能够提升学生的数学素养，让章起始课充分发挥育人功能。

二、 章起始课概述

章起始内容的编写体现了新课改的理念，在知识观、学习观上有所超越。数学章起始课是基于章节起始内容的数学课，有时又被称为章引言课，从字面意义上理解就是指每一章的开场白，在教学中具有提纲挈领、承前启后的作用。章起始内容包含了数学学习的核心知识、核心思想和核心研究方法，能够帮助学生自主构建知识结构与认知结构。章建跃博士曾指出，高中数学章起始课要让学生明确研究本章内容的基本套路，必须要有“交代问题背景、引入基本概念、构建研究蓝图”的大气，不要对知识的具体细节做追究，要重点描述本章的内容框架和思想方法，使学生明确该章研究的“路线图”。学科育人理念下高中数学章起始课的教学，能够帮助学生更有效地了解数学的起源和发展，感受数学问题如何被发现和最终如何被解决的历程，体会数学和社会发展如何相互影响，进而提高他们发现、提出、研究问题的能力，达到学会学习、研究的目的，提升学生的学科素养。

三、 具体阐述

近期，笔者参加了河南省优质课比赛，尝试在大概念、大单元视角下对“立体几何初步”一章进行单元整体设计，打磨出“立体几何初步”的章起始课，并荣获河南省优质课大赛一等奖。本文中，笔者重点描述本章的内容框架和思想方法，交代问题背景、引入基本概念；构建研究蓝图、明确研究路线，使学生学会学习、学会研究。在磨课的过程中，笔者深切地体会到学习数学就是学会发现数学，学会研究数学，学会创造数学。下面对本次赛课的过程做一回顾，对教学设计再次分析和反思，并对章起始课教学提出一些思考。

本节课是人教A版普通高中数学教科书必修第二册第八章“立体几何初步”的章起始课，是立体几何这一章的“剧情简介”。本节课教学内容全面、跨度大、概括性强，蕴含着丰富的数学思想方法和思维方式，是培养学生思维发展的契机，是对研究思路的显化、迁移与致用。

立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学分支，是培养学生空间想象、逻辑推理、数学运算能力的极佳内容，也是提升学生数学学科素养的重要板块。立体几何的章起始课，目的是让学生对立体几何有一个大致的了解，知道为什么要学习立体几何，要学习哪些内容，以及怎样学习立体几何，提高学生学习立体几何的兴趣，以便后续能更顺利地完成这一章的学习。学生在小学已经认识了一些立体图形，在初中又有了平面几何知识的铺垫，具备了学习立体几何的基本能力。但是，对立体几何的学习需要具备一定的空间想象能力，从平面图形到立体图形，学生还是有诸多的不适应。甚至，平面内成立的一些结论还可能会对高中的学习造成负迁移。所以，在教学中，让学生多观察、多操作、多探究，才能让学生突破难点，收获满满。另外，类比平面几何中的一些结论，得出立体几何中的命题，并判断真假、给出证明，也是克服负迁移的有效方法。

根据章起始课的功能和立体几何的特点，本节课的教学目标如下：

1. 通过对现实世界中立体图形的举例，让学生体会到立体几何在实际生活中的重要性，了解学习立体几何的必要性。

2. 通过视频，介绍几何之父欧几里得和他的《几何原本》，让学生了解相关的数学文化，适时对学生进行立德树人教育。

3. 通过对本章内容的介绍，让学生了解本章的学习内容和学习顺序，了解“整体→局部→整体”这种研究立体图形的有效途径。

4. 在解决问题的过程中提炼方法，初步建立空间概念，有意识地引导学生培养自己的空间想象、逻辑推理、数学抽象和数据分析等能力。

本节课有一明一暗两条线。明线是围绕长方体设置的“问题链”。暗线是本章的研究内容、研究顺序和研究方法。依据知识发生发展的过程和学生的认知规律，在解决问题的过程中展开教学，让学生在解决问题的过程中了解本章的学习内容和学习方法。

研究顺序如下：

識长方体：将蛋糕盒抽象成长方体，通过研究蛋糕盒的结构特征，了解本章第一节内容“基本立体图形”。

画长方体：通过画（识）长方体的直观图，介绍本章第二节内容“立体图形的直观图”。

算长方体：通过计算长方体的表面积和体积，介绍本章第三节内容“简单几何体的表面积和体积”。

剖析长方体：通过研究长方体，得出构成空间图形的基本元素。

剖析长方体的棱和面：通过研究长方体棱的位置关系，以及长方体棱和面之间的关系，介绍本章第四节以及后续内容“空间点、直线、平面之间的位置关系”。

长方体的截面问题：通过研究长方体的截面问题，培养学生的空间想象能力和动手操作能力。

长方体表面上的角和距离问题：通过求长方体一个面上角的问题，介绍将空间问题转化为平面问题的第一种方法（将平面从空间中抽离出来）。通过求长方体表面上两点的距离，介绍将空间问题转化为平面问题的第二种方法（通过展开，将空间问题转变成平面问题）。

用长方体：通过借助长方体直观判断命题的真假，介绍学习立体几何的一般思路：直观感知→操作确认→推理论证→度量计算。

另外，本节课的教学设计还有两个亮点：一是情境教学，二是类比法。在整个教学过程中，尽可能地以蛋糕和蛋糕盒为情境进行教学，在研究“切蛋糕”“求长方体表面积和体积”“蚂蚁吃蛋糕屑”等问题时，均是在实际情境中进行的；本节课始终引导学生类比平面几何，学习立体几何。通过类比平面内两直线的位置关系，研究长方体12条棱的位置关系；从平面几何的结论类比出立体几何中的命题，渗透研究新问题的一般方法。

课堂上，笔者首先向学生展示了学习目标，这是为了让学生明确本节课的学习内容，做到心中有数，有的放矢。然后带领学生从熟悉的生日蛋糕及蛋糕盒入手，观察思考，引入立体图形及空间中物体的形状、大小和位置关系。彰显了立体几何在解决实际问题中的广泛应用，为后面的学习做铺垫。笔者还播放了有关欧几里得和《几何原本》的视频，通过视频介绍，让学生了解数学家欧几里得和他的《几何原本》，渗透数学文化，同时学习欧几里得志向远大、刻苦钻研的精神，为祖国的繁荣发展贡献自己的力量，渗透立德树人的教育理念。

在教学的过程中，笔者设置了如下问题链：将一个蛋糕切3刀，最多能切成几块呢？（展示蛋糕图片，师生共同探讨，得出结论）→你认识哪些空间几何体？（展示实物模型：圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、棱台等，本章第一节的内容正是基本立体图形）→你能将长方体直观地在纸上展示出来吗？（本章第二节的内容就是立体图形直观图的画法）→你会计算长方体的表面积和体积吗？（本章第三节的内容是简单几何体的表面积和体积）→构成长方体的基本元素是什么？→构成空间图形的基本元素是什么？→长方体各棱所在直线之间以及棱所在直线与长方体的六个面有哪些位置关系呢？（在立体几何中，我们不仅要学习两条直线的位置关系、直线和平面的位置关系，我们还会学习两平面的位置关系，并重点研究两种特殊的位置关系：平行和垂直。这几个问题正是本章第四节、第五节的研究内容）→用一个平面去截长方体，截面可能是几边形？（以小组为单位，用提前准备的长方体模型，合作探究，然后展示探究结果，最后再由教师动画演示，归纳总结）→在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，AA1=1，求∠D1AD的正切值是多少？（这个问题的本质是将面ADD1A1从空间中抽离出来，从而将空间问题转化成平面问题，这样就可以用平面几何的知识进行解决）→如何求蚂蚁在长方体表面爬行的最短路程？（将空间问题转化为平面问题的另一种方法：展开成平面图形）→如何判断命题的真假？（类比平面几何的结论，我们可以得到很多立体几何中的命题。通过直观感知、操作确认，基本可以判断这些命题的真假。若是假命题，举反例即可；若是真命题，就需要严谨地推理论证或度量计算）通过一连串的问题，引导学生了解本章的内容和结构，了解认识立体图形的有效途径，并从中初步体验直观感知和操作确认的研究思路，为高效学习本章内容做好铺垫。在带领学生探寻答案的过程中，润物细无声地培养了学生的空间想象能力，介绍了将空间问题转化为平面问题的方法，提高了学生直观想象、逻辑推理、数学抽象等学科素养，也带领学生感受到了研究立体几何的一般方法：直观感知→操作确认→推理论证→度量计算。

本节课是按“为什么学习立体几何？学习什么内容？怎么学立体几何？”的顺序展开的。然后由整体到局部，学习构成空间几何体的基本元素点、直线、平面之间的位置关系，并重点研究了平行和垂直两种特殊的位置关系。由整体到局部，再由局部到整体，这也是我们认识立体图形的有效途径。

在研课、磨课的过程中，笔者深刻地体会到“问题链”对引导思维路径、拓展高阶思维空间的功用。数学问题是培养学生问题意识、提高数学核心素养的前提。本节课通过切蛋糕、画长方体蛋糕盒、求长方体蛋糕盒耗费材料等问题引入立体几何中的“识长方体”“画长方体”“算长方体”“剖析长方体”“用长方体”等内容，提高了立体几何的趣味性，激发了学生学习立体几何的热情。好的问题启智增慧，在探究的焦点处巧妙设置问题，不仅有利于学生知识的自然增长，拓展高阶思维空间，调动思维发展，还能让学生获得积极的情感体验。

明暗两线的贯穿是数学知识情景化的體现，这也是将数学知识转化为数学素养的重要途径。本节课有一明一暗两条线。明线是不断挖掘长方体的载体功能，通过改变元素的呈现方式，围绕长方体不断提出9个问题。这9个问题环环相扣、逐步深入。暗线是本章的研究内容、研究顺序和研究方法。明线暗线纵横交错、贯穿始终，让学生在主动探究的过程中掌握立体几何的基础知识，逐步形成空间观念，学会研究数学问题的基本方法，启发学生主动思考，提升数学核心素养。

为了实现知识与思维的同步发展，我们需要结合具体的内容，积极展示知识发生发展的全过程以及蕴含在知识中的思想方法。引导学生探求未知的世界不是简单地重现历史，而是要把研究的经历和经验留给学生。我们需要教会学生学习，然后真正放手让学生去探究，把课堂还给学生，把数学研究的机会还给学生。因此，我们需要有研究数学的精神，把研究数学的精神融入数学教学的每一个环节，让老师的研究精神引领学生的研究精神，为学生的终身发展奠定基础。

章建跃博士曾指出，教学设计需要体现数学教学的整体性、逻辑性和连贯性，要站在单元整体的视角去进行各个课时的设计。单元整体设计不仅有利于核心素养的落地、课程的校本实施，还有利于学生的健康成长、教师的专业发展。单元整体教学就是先建构单元整体，引领和帮助学生建立有关本单元的知识框架，建立轮廓化印象，然后再深入研究具体的单个知识。学生只有在结构化的知识里才能理解知识之间的关系，才能透过关系发现本质，进而再以这些本质性的认知去解决更多同类或有紧密关联的问题，实现高效率的知识迁移。在本节课中，笔者不仅关注学生思维的原点，还尽力在新知学习中为学生提供探究的支点，构建主题框架，形成完整知识体系，力图体现数学学科的整体性和系统性。

正是基于对“章起始课”的兴趣和热爱，笔者于2021年申报了河南省普通高中育人方式改革研究课题《学科育人理念下高中数学章起始课教学的实践研究》，并于2022年3月5日正式开题。笔者在带领课题组研究“章起始课”的同时，还鼓励大家上好“章起始课”。在这个过程中，我们不能仅仅局限于每一章的“章起始课”，还要把目光投向了更远处和更深处。一章可看作一个单元，几个章构成一个大单元、大领域，比如概率与统计领域，函数、方程与不等式领域，空间向量与立体几何领域等，领域内部具有很强的关联性或同构性。基于这样的关联，我们设置了“领域起始课”。“领域起始课”对本领域的其他章起始课有先行组织、把控全局的作用，比如“函数的概念与性质”章节起始课。在“起承转合”的过渡章，我们用类比或同构的方法架起新旧知识间的桥梁，使学生的思维形成连贯性，以建构起知识网络体系，在此，我们设置了“中程起始课”，比如“计数原理”一章，“分类加法计数原理和分步乘法计数原理”前联系“概率”，还可以简化对古典概率模型的研究，“二项式定理”后联系“随机变量及其分布”，能把握“二项分布”的本质。而在身处系统“收口”位置，肩负优化学生认知结构、完美收官的终结章，我们开发了“终端起始课”。比如“一元函数的导数与应用”就可以设置为终端章节起始课，导数是研究函数单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式也起着重要作用，在本章完美收尾。

四、 结论

总之，章节起始课教学要先了解学情，做好新旧知识的衔接，从低起点处切入，避免章节开始就出现令人生畏的现象，内容要“平易近人”，才能激发学生学习和探究的欲望，点燃学生的思维火花。同时，章节起始课教学还要在“高立意”上展现，高屋建瓴式构建知识体系，统领全局，不能局限于局部知识点的教学上，要让学生对本章内容有一个全面大致的了解，帮助学生构建整章甚至整个领域的知识体系，使其有针对性和目的性地参与课堂，打消他们对后续学习的茫然和焦虑情绪。做好章节起始课的关键是把握好章节起始课与新知识的度，了解学生现有的知识结构，指导学生构建知识体系，规划学习路径，优化学习方法，助力教与学，提升教师的科研能力和学生的学科素养。

参考文献：

［1］章建躍.核心素养立意的高中数学课程教材教法研究［M］.上海：华东师范大学出版社，2021.

［2］何睦，罗建宇.高中数学章节起始课的教学研究与案例设计［M］.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2019.

［3］刘徽.大概念教学：素养导向的单元整体设计［M］.北京：教育科学出版社，2022.

课题项目：文章系2021河南省普通高中育人方式改革研究课题“学科育人理念下高中数学章起始课教学的实践研究”（立项编号：GZYR2021045）的研究成果。

作者简介：杨会兰（1975～），女，汉族，河南新乡人，新乡市第一中学，研究方向：数学教育；

王丹阳（1983～），女，汉族，河南新乡人，新乡市第一中学，研究方向：数学教育。