“读读欧拉，他是我们大家的老师”
2023-08-18沙国祥
摘 要：欧拉极大地丰富和发展了无穷分析方法，使得微积分摆脱了几何学的限制，成为系统运用无穷和函数思想研究级数、微分方程等的一门数学分支——分析。循着先贤的足迹，可以更快地走上数学大道。阅读大数学家欧拉的《无穷分析引论》，对其中数学脉络的贯通、数学直觉的洞达、数学成果的喷涌印象尤为深刻。由此获得数学教学的启示：认识和把握数学结构；重推理、运算，更重数学直觉；“大胆假设，小心求证”。
关键词：《无穷分析引论》；数学教学；数学结构；数学直觉；数学探索
欧拉和阿基米德、牛顿、高斯并称为世界“四大数学家”。欧拉的著作在数学圈里早已如雷贯耳。十八、十九世纪，很多数学家是读着欧拉的书成长起来的。法国数学家拉普拉斯给年轻数学家们的一个忠告是：“读读欧拉，他是我们大家的老师。”数学王子高斯对欧拉的工作及其研究价值也不吝赞美之词：“欧拉的工作及其研究将仍旧是对于数学不同范围的最好学校，并且没有任何别的可以替代它。”事实上，高斯、柯西、黎曼、罗巴切夫斯基、切比雪夫这些大数学家常以欧拉的工作为自己研究的出发点。
六年前，我终于捧起新版的《无穷分析引论》，不读则已，读则手不释卷。在我的读书生涯中，那的确是一段快乐而美好的时光，也令我回味无穷。循着大师富有启发性的指引，我逐渐步入一个瑰丽多姿、引人入胜的数学大世界。那里，“无穷”不是障碍，似可轻松越过，“分析”展现出强大的力量与勃勃生机；那里，数学的“任督二脉”被欧拉打通了，处处相连，四通八达；那里，欧拉惊人的数学直觉和天马行空般的想象力，将我的数学思维大大解放，那种舒展自由的感觉实在美妙……现在，就让我这个“二传手”，谈谈阅读《无穷分析引论》的几点深刻印象以及对数学教学的些许启示，供读者参考。
一、 阅读印象
（一） 数学脉络的贯通
《无穷分析引论》给我的第一印象是，欧拉把数学的脉络打通了，在数学的天地里逍遥自在地遨游。他借助极少量的核心概念和思想方法，揭示了不同知识之间的深刻联系，打破了有限与无限（无穷）之间的隔阂，形成了连贯、统一的知识结构体系，由此打开了发现和解决问题的通道，获得了很多重要的、开创性的结论。这是《无穷分析引论》成为数学经典著作的一个重要原因。
《无穷分析引论》（上）以函数思想为主线统领全书。开篇第一章即“函数”；接下来的第二章到第六章探讨了函数变换、函数的换元变换、函数的无穷级数展开、多元函数、指数和对数等基本概念；此后的第七章到第十八章渐入佳境，可谓高潮迭起，精彩纷呈，将无限与有限、指数函数与幂级数、指数函数与三角函数、无穷项的和与积沟通起来，并把无穷级数应用于素数、数的分拆与连分数研究，取得了一系列突破性成果。
特别是，《无穷分析引论》中引入了角的弧度制，把角度制和弧度制统一起来，还给出了三角函数的现代定义，揭示了三角函数与幂函数、指数函数和对数函数之间的内在联系，使三角学独立于几何学而成为一个系统的数学分支，深刻影响了傅里叶级数、（偏）微分方程的发展。
例如，欧拉推导指数函数的幂级数展开式，没有用后来数学分析教程里常见的泰勒级数展开式，而是直接从二项式定理入手，将无限化归为有限［1］：
a大于1时，a的幂随a增加而增加，而a0=1，所以指数比零增加无穷小时，幂比1增加也为无穷小。也就是说，数ω是一个无穷小，即它几乎等于零时，我们有aω=1+ψ，数ψ也是无穷小。
注意，这里的“无穷小”，是指趋于0的无穷小量，并不是0。接着便是欧拉的“神来之笔”：
令ψ=Kω……由aω=1+Kω得aiω=（1+Kω）i对任何的i都成立，从而aiω=1+i1Kω+i（i-1）1×2K2ω2+i（i-1）（i-2）1×2×3K3ω3+…。
下面，欧拉令i=zω（即令z=iω），其中z为某个有限量，得到：当ω趋于无穷小时，i趋于无穷大。再把ω=zi 代入上式，取极限（i→+∞）得az=1+Kz1+K2z21×2+K3z31×2×3+K4z41×2×3×4+…。他接着指出：“该等式还表示a与K之间的关系。事实上，如果令z=1，则a=1+K1+K21×2+K31×2×3+K41×2×3×4+…。”可
取某个a使K=1，即可得自然对数的底e及ez的展开式。
可以看到，欧拉对无穷小ω、无穷大i的使用是比较自由的，前面是有限量，后面再取极限，其中存在一定的不严谨甚至混乱。正是这类问题促使后来的数学家柯西、魏尔斯特拉斯等给微积分奠定严格的极限基础。这种“先实践，再究理奠基”的做法，给数学家们的自由探索、融会贯通提供了便利。这样看似把数学建成了空中楼阁，实则反映了数学发展某些阶段的真实过程：数学家们从数学形式化的推理计算、数学的直觉中，并从数学用于自然科学和实际应用的有效性中，获得了信心和实证。这是十八、十九世紀数学的一个重要特征。
（二） 数学直觉的洞达
在读《无穷分析引论》的过程中，我常可以感受到欧拉洞察入微的数学直觉。这种直觉加上他天马行空般的想象力，让他似乎轻松自如地穿过数学式子、关系网络构成的谜阵，直达问题的核心，获得出人意料的结果。
例如，大名鼎鼎的欧拉公式eiθ=cosθ+ isinθ，把指数函数与三角函数联系起来了。令θ=π，即得eiπ=-1，或 eiπ+1=0。后者包含了数学中最基本的五个常数1、0、π、e、i，十分简洁，被称为“最美的数学公式”。其实，欧拉并不是最早发现此公式的——R．柯特斯在1714年发表了这个公式（与欧拉给出的略有不同），但是，只有欧拉才使该公式得到了广泛的应用，故后人常称之为欧拉公式。
在现代的微积分教程中，欧拉公式的证明，一般是把eiθ、cosθ、sinθ分别展开成幂级数，然后代入即可。那么，欧拉在《无穷分析引论》中是如何证明这个公式的呢？
欧拉研究了指数函数和对数函数，给出表达式ez=1+zii，
这里的i趋于无穷大。［2］用极限形式，此式可以写成ez=limi→+∞1+zii 。当z=1时，即有e=limx→+∞1+1xx，亦可写成e=limx→0（1+x）1x。这正是现代微积分中e的定义。
欧拉证明公式eiθ=cosθ+ isinθ ，就是从表达式e=limi→0（1+i）1i着手的。原证明［3］稍显复杂，这里遵从欧拉的思路，将其改写成以下较为简明易懂的形式：
观察棣莫弗公式（cosz±-1sinz）n=cosnz±-1sinnz——在《无穷分析引论》中，欧拉把虚数单位记成-1。
当z为无穷小，即z→0时，cosz→1，sinz→z。令θ=nz，其中θ为常量。当z→0 时，n→+∞。此时，（1+-1z）n类似于e=limi→0（1+i）1i 的形式。
欧拉可能直觉地意识到， （1+-1z）n与指数函数有关。的确，当z→0时，（1+-1z）n=（1+-1z）θz=（1+-1z）1-1z·-1θ→e-1θ。于是，e-1θ=cosθ+-1sinθ。
也可能，歐拉直接想象棣莫弗公式左端的cosz+-1sinz应为指数函数e-1z 的形式：这样，根据幂的乘方性质，棣莫弗公式自然成立。
（三） 数学成果的喷涌
欧拉做数学，简直“像呼吸一样自然”。仔细体味，我们会发现，他常常从简单、基本处开始思考（如前述对指数函数的幂级数展开和对欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ的推导，只是从二项式定理、棣莫弗公式、e的定义等最基本的知识出发），特别是从有限出发思考无限，体现出道法自然的思想境界、简明质朴的数学之美。这甚至常给人一种“美好的错觉”，以为自己也可以如此轻松自然地想出来。当然，绝非人人都能达到如此高度，但是取法乎上，总能学到一些，长此以往，自己的数学直觉、数学审美力在潜移默化中也会有所提升。
最令人惊叹的是，在《无穷分析引论》中，欧拉常常成批成批地推导出数学结论。限于篇幅，这里仅举其中一批［4］：
1+122+132+142+152+…=201×2×3·11π2，
1+124+134+144+154+…=221×2×3×4×5·13π4，
1+126+136+146+156+…=241×2×3×…×7·13π6，
1+128+138+148+158+…=261×2×3×…×9·35π8，
……
这些式子表明：所有正整数的偶数次幂的倒数和，结果竟然都与圆周率有关（各等式右端系数中出现的11、13、13、35……有其深意和用处，欧拉后来又做了进一步研究）。要知道，在此之前，伯努利兄弟、J．斯特灵等数学家也曾探讨过“贝塞尔问题”，即
1+122+132+142+152+…等于什么，
但都无功而返。而欧拉竟然成批成批地得到这类公式，怎不令人拍案叫绝！
欧拉的探求思路，看来十分自然［5］：
他类比多项式因式分解与相应代数方程的根之间的关系，把ex-e-x2分别展开成幂级数与无穷乘积，即“和”与“积”两种无穷多项的展开式，比较等式两边同类项的系数即得：
x1+x21×2×3+x41×2×3×4×5+x61×2×3×4×5×6×7+…=x1+x2π21+x24π21+x29π21+x216π21+x225π2…。
右边的无穷乘积，是基于ex-e-x2=0的根为x=±-1nπ得到的。
利用相近的思路，欧拉把素数全体和无穷级数的和密切联系在一起［6］，如：
P=11-12n1-13n1-15n1-17n…，
P=1+12n+13n+14n+15n+16n+17n+…。
上述两个式子中，只要利用11-x= 1+x+x2+x3+…，|x|<1（顺便提一下，欧拉不是用等比数列求和公式推出该式的，而是将11-x用多项式除法展开得到的）把第一个式子中各
11-1kn
（k取遍所有素数2、3、5、7、11、13……）展开成等比级数，再把各级数相乘，根据自然数的素因数分解即得第二个式子。
由此出发，欧拉推出了一连串用全体素数表示的圆周率的偶数次幂。
后来，德国数学家黎曼把上述关于P的第二个式子中的n改为复数，将复变函数解析延拓到整个复平面，得到了黎曼ζ函数，并提出了著名的“黎曼猜想”。
总之，欧拉在数论中引入了无穷分析方法，是解析数论的先驱者之一。正是欧拉使得微积分摆脱了几何学的限制，成为运用无穷和函数思想研究级数、微分方程等的一门数学分支——分析。在《数学大师：从芝诺到庞加莱》这本数学家传记经典中，欧拉被誉为“分析的化身”。［7］
二、 教学启示
（一） 认识和把握数学结构
欧拉的心算能力很强，但仅靠强大的算力，并不能实现数学脉络的贯通。他借助数和式的运算，研究了各种数学结构及其关系，特别是对运算结构、函数结构有深刻的认识。比如，他把函数分为代数函数和超越函数，又把代数函数细分为有理函数和无理函数，并把有理函数进一步分为整（多项式）函数和分数（式）函数（对于分数函数，他研究了如何分解成实部分方式）。就数学分析而言，欧拉还深入研究了类似于多项式的无穷级数的和以及类似于多项式因式分解的无穷乘积。
当然，在中小学数学教学中，我们不能重蹈“新数学运动”的覆辙，不必刻意强调“结构主义”的思想方法，以致用集合论、公理化方法研究抽象的代数结构、拓扑结构和序结构——这违背了中小学学生的认知规律。但也需要对初等数学中基本的数学结构及其关系有一定的认识，形成初步的结构观念和“结构感”，才能深刻地理解（更好地把握）数学对象的构成、属性和相互关联。
下面以中学数学课程中的运算结构为例，初步谈谈对它的认识及其教学运用。在中学数学中，运算归结为加、减、乘、除、乘方、開方、对数，共七种。相应地，运算结构总体上可从以下三个角度展开研究：
一是从运算级别角度考虑，认识中学数学运算的多级结构：加，乘，乘方。其实，在群、环、域、向量空间等抽象的代数结构里，并不强调乘法对于加法的优先级，甚至连加法也可视为一种特殊的“乘法”。这些抽象的运算结构，除了包含各种运算，更重视运算律。结合律、分配律以及数乘满足的线性运算律等，构成了群、环、域、向量空间等各自公理系统的基本部分，对于决定代数结构的性质特征十分重要。就分配律而言，它沟通了不同运算之间的关系。比如，初中数学里，可以用乘法对加法的分配律，统一理解合并同类项、去（添）括号法则、整式乘法、因式分解（提取公因式法、十字相乘法等）背后的原理；高中数学的向量空间中，向量集几何与代数于一身，借助线性运算、数乘运算、数量积（点乘）运算及其满足的几个运算律（包括类似于分配律的运算律），我们能够直接对向量进行运算，由此，解三角形、三角恒等变换等的一些结论可以通过向量运算轻松获得（证明）。
二是从对称性角度考虑，研究对称的运算结构：加与减，乘与除，乘方与开方，指数与对数——广义地讲，也包括函数与反函数、微分与积分、算子与逆算子等。之所以从对称性角度考虑，是因为在数学中对称结构是用群来刻画的，而群是现代数学、物理、化学极其基本而重要的研究对象。中学数学虽然不研究抽象的群论，但也可以在教学中渗透对称思想，尤其是注重对对称结构的观察、辨识和运用，欣赏对称结构的和谐、均衡、不变之美。这有助于学生更好地理解把握数学的结构，也有助于学生探索发现解决问题的思路。
三是由上述两种基本、重要的运算结构，借助各种运算律，通过复合、衍生等方法，研究一些复杂的运算结构，如数的结构、多项式结构、方程与函数（数列可视为一种特殊的函数）结构、不等式结构等。
中学数学里，认识代数式的结构，对于理解和运用公式、打通结构关联、把握解题方向十分重要。
比如，乘法公式本质上刻画了不同运算结构之间的关系。以初中的完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2为例。它揭示了两数和的平方与平方和、积的关系，而且右边的展开式是对称的齐次式。高中数学将完全平方公式推广到和的立方、四次方乃至n次方，得到二项式定理，其展开式系数以杨辉三角表示。杨辉三角是一个对称结构，相应的二项展开式就是对称多项式，也是齐次多项式。具有对称结构、齐次结构的多项式是中学代数的重要研究内容。
从完全平方公式出发可以发现，两个数a、b的和、差、积之间存在关系：（a+b）2-（a-b）2=4ab或ab=（a+b）2-（a-b）24。后者表明，两个数的积可以表示成另外两个数的差的四分之一。这个公式与三角函数中的积化和差公式，对于对数的意义理解和概念创建有过启发作用，因为对数最重要的性质即为化乘除为加减。
从完全平方公式出发还可以得到基本不等式，进而推出均值不等式链：a2+b22≥a+b2≥ab≥21a+1b。其中，可以看到几种代数运算结构：正实数a、b的算术平均值a+b2、几何平均值ab、调和平均值21a+1b和均方根值a2+b22。这些运算结构之间存在着确定的大小关系，形成了井然有序的“序结构”。解决有关问题时，要特别注意观察条件和结论的式子结构。如：若正实数a、b满足ab=2a+2b+5，求ab的最小值。观察条件等式的结构：左边是两个正数之积ab，右边含两个正数之和a+b。自然猜想：利用基本不等式a+b2≥ab，将条件统一成关于ab的不等式，从而求出ab的最小值。
再如，因式分解是整式乘法的“逆运算”，其问题解决也需要整体把握运算结构之间的关系。有一道初中竞赛题：将x4+x2y2+y4因式分解。常见解法是：x4+x2y2+y4 =x4+2x2y2+y4-x2y2 =（x2+y2）2-（xy）2 =（x2+xy+y2）（x2-xy+y2）。这里的添项、减项技巧不易想到。其实，可以从结构的视角出发，利用待定系数法自然求解。仔细观察，注意到齐次式x4+x2y2+y4各项的系数，可以猜测x4+x2y2+y4=（x2+pxy+y2）（x2+qxy+y2）。比较这个等式两边x3y、x2y2的系数，即得p+q=0，pq=-1，解出p=1，q=-1或p=-1，q=1。于是，x4+x2y2+y4=（x2+xy+y2）（x2-xy+y2）。如果考虑到对称性，可试着直接设x4+x2y2+y4=（x2+pxy+y2）（x2-pxy+y2）。
此外，学习因式分解还要进一步理解其与其他数学知识的联系。当下的初中数学，降低了因式分解的学习要求。即便如此，不少学生学习因式分解仍有困难。除了“倒过来”由乘出来的式子寻找相乘的式子，常常没有固定的程序与方法，要面对多种可能，要配凑、调整，另一个重要的原因是，他们不清楚学习因式分解的目的，不知道学了因式分解有什么用，也不了解因式分解与整式乘法的关系，常把两者混淆，甚至颠过来倒过去。我遇到过这样的学生：在小学，数学学得很好，但到了初一，学习因式分解时几次都没有考好，一下子失去了学好数学的信心。我便和他谈了为什么要学习因式分解。回头看，初中学习因式分解，实际上是小学学习因数分解的自然延续：把一个数分解成因数的乘积，正好和计算几个数的乘积相反。往后看，与因数分解类似，因式分解将整式由加法结构转化为乘法结构之后，可以帮助进行分式的约分、通分（进而完成分式的乘除、加减），也可以解二次方程或某些更高次的方程。听完我的讲解，这位学生明白了为什么要学习因式分解的道理，后来又掌握了一些因式分解的方法，不久就恢复了学好数学的信心！
这里，重点说一下因式分解和解高次方程的关系。以三次多项式和三次方程为例，若将ax3+bx2+cx+d分解因式为a（x-x1）（x-x2）（x-x3），则x1、x2、x3是方程ax3+bx2+cx+d=0的三个根。再将上述因式分解的结果展开来（乘出来），比较同类项系数，则得三次方程的韦达定理：x1+x2+x3=-ba，x1x2+x2x3+x3x1=ca，x1x2x3=-da。可见，韦达定理揭示了方程根与系数的直接关系，可以不求方程的根，而从根的和与积两种运算结构（所得均是对称多项式、齐次多项式）中得到。
（二） 重推理、运算，更重数学直觉
欧拉可以一边抱着孩子一边写论文，他一生所写的论文、著作被編辑为72卷的《欧拉全集》，他生前所写但未发表的论文逝世后曾
被期刊长期刊用。欧拉的“丰产”与他那惊人的数学直觉颇为相关。
我国著名数学家徐利治先生认为：“数学直觉是对数学对象事物（结构及其关系）的某种直接领悟或洞察。这是一种不包含普通逻辑推理过程（但可能包含‘合情推理形式）的直接悟性，属于非形式逻辑的思维活动范畴。”［8］日本著名数学家、菲尔兹奖和沃尔夫奖获得者小平邦彦在《数学印象》一文中写道：“理解数学就要‘观察数学现象。这里说的‘观察不是用眼睛去看，而是根据某种感觉去体会。这种感觉虽然有些难以言传，但显然是不同于逻辑推理能力之类的纯粹感觉，我认为更接近于视觉，也可称之为直觉。为了强调是纯粹的感觉，以下称此感觉为‘数觉。”［9］小平邦彦重视数学直觉，他强调“数学在本质上与逻辑不同”，“数学当然应该遵循逻辑，但逻辑在数学中的作用就像文法在文学中的作用那样”。的确，懂得文法并不等于能写出像样的文章、小说，更不用说创作出好作品了。
数学直觉似乎完全得自天赋，但也不尽然。欧拉从小跟从大数学家伯努利学习数学，这无疑有助于他的数学直觉培养；同时，他擅长心算，这显然对数学直觉起到了促进作用。但欧拉的数学直觉也离不开勤奋和专注：在《无穷分析引论》中，他常把算式的结果算到小数点后面十几位。我们并未听说黎曼的心算能力有多强，但在他为数不多而极有价值的论文背后，同样是花费了大量的功夫去计算的。在计算实验的过程中，通过观察、体悟，随着对结构及其关系的敏感度增加，数学直觉也会逐渐增强，以至可能产生飞跃。
比如，在函数学习中，如何深刻理解各种函数关系呢？除了从函数解析式、图像了解不同类型函数的性质特点之外，还可以做一做计算实验，从数量变化规律和互相对应的关系中，更好地认识函数的“脾性”，增强对函数的数学直觉。如下页表1，通过对同一自变量取值处函数值大小的比较，学生可以直接感受到随着自变量增加这几种函数函数值的变化快慢。
下页表1可以帮助我们从直觉上理解指数函数与一次函数、二次函数的大小关系。例如，对于任意x∈R，2x>x。进一步，当x=0时，2x=x+1；当0
以上是比较简单的数量关系直觉，进一步的数学直觉是对数学结构的深入体察。如下页图1、图2，还可以通过计算自变量x每增加1时函数值的增量，考察不同类型函数变化的快慢，增进学生对数量关系结构的直觉感悟。可以看到，当x从0开始每次增加1时，二次函数y=x2函数值的增量1，3，5，7，…均匀增长，是一个等差数列，其通项公式为一次函数；指数函数y=2x函数值的增量1，2，4，8，…仍然呈“指数增长”，是一个等比数列，其通项公式为指数函数。上述计算增量的过程可以简单地写成n2 -（n-1）2 =2n-1，2n -2n-1= 2n-1 。由此容易看出函数解析式结构的变化和关联，为发展数学直觉打下基础。这些离散情况下的差分分析结论，也有助于理解连续
变化时的微分分析结构，如二次函数的导数是一次函数（或幂函数的导数一般还是幂函数），指数函数的导数还是指数函数（可能存在系数上的差异）。
对结构及其关系的直觉考察，可进一步帮助我们获得一些较为深刻的结论。如考察图1、图2中函数值增量的总和，轻松可得1+3+5+…+（2n-1）=n2，1+2+22+23+…+2n-1=2n-1。其实，这里蕴含着函数与积分（原函数）的关系。
（三） “大胆假设，小心求证”
读了《无穷分析引论》，你会发现欧拉的数学思维多么“大胆”。在数学研究或学习过程中，在复杂问题或新问题探索之初，我们不必太拘泥于逻辑上的严谨、方法的局限，而应先发散再收敛，先宽松再严谨，先粗疏再精密，敢于假设、想象、估计，提出猜想、计划，找到大概的方向和路径，摸索着前行（遇到挫折，回头或转弯就是）；然后，加以严格论证或仔细演算。当然，这些假设、想象、估计、猜想、计划，并非胡思乱想、毫无凭据，也需要基于对问题的深入了解，包括对数量关系、结构关系的观察、辨识、分析和直觉，还有必要的数学实验、尝试等，帮助自己发现可能的目标、关键的线索。不然，连方向和路径都是茫然，如何求证、演算呢？下面来看几个例子。
仍以等比数列求和为例。若暂时没有思路，可先通过考察n=2、3、4等特殊情形，归纳出1+ 2+ 22+ 23+…+ 2n-1 =2n-1。这一结论不难证明，只须将右边的-1移到左边即易证得。我们看到，指数增长的确非常“厉害”，所有前n项的和Sn 居然还比不过接下来的第n+1项，即Sn=an+1 - 1。当然，我们会很快发现，对于公比为3的等比数列{3n-1}，这一猜测并不正确。
那么，一般情况下，1+q+q2+q3+…+qn-1与an的关系怎样？我们可以猜测1+q+q2+q3+…+qn-1=kan+b（k、b是常系数），即与an成线性关系，这比较简单。分别令n=1、2，即可求出k=-q1-q，b=11-q，于是，1+q+q2+q3+…+qn-1 =1-qan1-q。这一结论还需证明，但是不难，只要把an换成qn-1，转而证明（1-q）（1+q+q2+q3+…+qn-1）= 1-qn，然后，将左边作整式乘法即可。所以，求1+q+q2+q3+…+qn-1的关键在于推知结果的可能结构：有了方向，探索论证就会容易得多。
再看比较复杂的斐波那契数列1，1，2，3，5，8，…。该数列是一个满足F1=F2=1及递推关系Fn+2=Fn+1+Fn的二阶递推数列，当然可以遵照这类数列的一般方法求出其通项公式，但能否通过计算实验，先大胆猜测一下它的增长具有怎样的特点？通项公式可能有怎样的结构形式呢？
观察发现，斐波那契数列各项增长得很快。通过计算可以发现，虽然后一项与前一项之比不是常数，但当项数n越来越大时，Fn+1Fn越来越趋向1.618，它是黄金分割数5+12（大的部分与小的部分的比，也被称为黄金分割比）的近似值。也就是说，当项数较大时，斐波那契数列近似于一个公比为5+12的等比数列。故可以猜想，它是由两个等比数列线性组合而成的，设
Fn=c5+12n+dqn
（想一想：第二个等比数列是否可能为常数列，即q=1？），再通过初值F1=F2=1，F3=2，求出c、d、q，然后验证其是否满足递推公式。
当然，这种解法的计算量较大。再仔细观察，还可以发现，Fn+1Fn是在5+12附近上下摇摆的，因此，q应为负值。又考虑到应有|q|＜1，可做对称性猜想，设q=1-52，再求c、d就容易多了。最后，也需要验证。严格说来，还需要说明，满足F1=F2=1及递推关系Fn+2=Fn+1+Fn的数列是唯一的。这样，我们的猜想就是正确的了。
回到初中，我们来研究一元二次方程ax2+bx+c=0。为简便起见，我们求特殊的一元二次方程x2+2x-1=0的根。
可根据x2=5等简单方程根的形式，猜测x2+2x-1=0根的形式为u+v（也可猜测为u+v，但是这种形式比较复杂，还是从简单的形式开始猜想）。把x=u+v 代入x2+2x-1=0，得（u+v）2+2（u+v）-1=0，整理得（u2+v+2u-1）+（2u+2）v=0。令2u+2=0，得u=-1；令u2+v+2u-1=0，把u=-1代入，得v=2。于是，x=-1+2。還可设x=u-v，类似地可得x=-1-2。
不过，这样由猜测、计算得出的解，还需验证。另外，是否只有这两个根？当然，已知一元二次方程最多只有两个实数根时，这样解是没有问题的。为严格起见，我们可以证明除了上面求出的两根，没有别的根了。设x2+2x-1=［x-（-1+2）］［x-（-1-2）］·f（x），其中f（x）表示关于x的多项式，由于［x-（-1+2）］［x-（-1-2）］=x2+2x-1，故f（x）=1，即x2+2x-1=［x-（-1+2）］［x-（-1-2）］，所以x2+2x-1=0有且只有两个根：x=-1±2。
对方程x2+2x-1=0，在求出根之前，还可以这样设想：如果能把x2+2x-1因式分解为（x-p）（x-q），则原方程化成（x-p）（x-q）=0，它的根就是x=p和x=q。所以，可设x2+2x-1 =（x-p）（x-q），则x2+2x-1 =x2 - （p+q）x+pq。比较两边同类项的系数，得p+q=-2，pq=-1。根据两数和、差、积之间的关系（p+q）2-（p-q）2=4pq，得p-q=±22。再与p+q=-2联立，解出p=-1+2，q=-1-2 或p=-1-2，q=-1+2。于是，x2+2x-1=0的根为x=-1±2。
由此可见，一元二次方程的根也可由韦达定理求得，其中运用了对称多项式p+q和pq。这种基于对称的思想方法可进一步推广到三次、四次代数方程的求解，并通往后来伽罗华创立群论之路。
正所谓：“千里之行，始于足下。”循着先贤的足迹，我们可以更快地走上数学大道。陈省身先生的老朋友、法国布尔巴基学派的重要成员魏伊指出：“今天的学生从欧拉的《无穷分析引论》中所能得到的益处，是现代的任何一本数学教科书都比不上的。”足见阅读欧拉的这本书对数学学习与教学的价值和效用了。
参考文献：
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［7］ E.T.贝尔.数学大师：从芝诺到庞加莱［M］.徐源，译.上海：上海科技教育出版社，2004：167.
［8］ 徐利治，王前.数学直觉层次性初探［J］.枣庄师专学报，1990（4）：4.
［9］ 小平邦彦.惰者集：数感与数学［M］.尤斌斌，译.北京：人民邮电出版社，2017：5.
（沙国祥，江苏凤凰报刊出版传媒有限公司，副编审。）
