一生从教的几个故事

摘 要：小时候，教弟弟识字，体会到人和人不一样，用不同的方法培养人是教学的趣味所在。师范学院毕业后，教中学数学时，因为给一位学生讲题目的事情被学生传了出去，受到学校领导重视，从而感受到学科基础是真本领，对教学很重要。受苏霍姆林斯基的启发，进一步认识到终身学习就是在长期备课，这比短期备课更重要。在教学实践中，体会到好的数学课尽量要在15分钟之内讲完，一节课关键的东西并不多。

关键词：数学教育；个体差异；学科基础；长期备课；精讲精练

本文根据单墫教授2023年4月23日上午在第四届江苏省数学教育学术年会暨江苏省数学学会数学教育专业委员会第二次代表大会上的讲话整理而成，略有改动。】

我主要讲几个真实的故事，也是我对教书育人的一些体悟。

一、 用不同的方法培养人，有难度更有趣味

第一个故事，我从小就想当老师。在家里的男孩子中，我排行老二。大概是小学三年级，我开始教老三。老三比我小六岁。我教他加减法，教他认字。家里有字块（识字卡片），一面是图，一面是字。比如老虎的“虎”，一面是“虎”字，我教老三认一下这个字；然后翻过来，是一个老虎的图片，彩色的，看一下；再翻过来，又认一下“虎”字。老三很老实，态度很端正，非常听我的话。我也很有成就感。后来，我六年级时，又教老四。老四比我小九岁。老四和老三很不一样，不太认真。我给他看字块，他眼睛不知道看哪儿，扫一眼，就过去了。我就不太高兴了，想“整”一下他的态度。但是，态度是很虚的东西。我说他不端正，他说他端正。有什么证据说他不端正呢？讲不清楚。所以，我就搞一些实的东西。有一次，我教他认40个字，他漫不经心。这时，我让他重认一遍——如果他认得不好，那就是态度不端正。结果很意外：40个字全认对了。那我就不好讲他了：效果很好，务虚没法务了。由此，我就感受到，教学很不容易。不容易在什么地方呢？人和人不一样。哪怕是同父同母所生，同一个老师教的，情况也会不一样，结果也会不一样。这就是教学的难度所在，也是当老师有趣味的地方。如果我们做小板凳，做一个小板凳是小板凳，做一百个小板凳也是一模一样的小板凳，没有任何趣味。人和人不一样，用不同的方法培养人，这个才是趣味。所以，我从小就喜欢当老师。

二、 学科基础是真本领

第二个故事，我当了老师。因为我想当老师，中学上完后，就上了大学——现在的扬州大学，那个时候叫扬州师范学院。在扬州师范学院读了四年本科后，被分到南京第四女子中学（现在叫人民中学）教书。才开始工作时，我教一个班的初一代数和两个班的初三代数。那时，代数和几何是分开的，初一只有代数；初三有代数，也有几何。有一天，一个女生来找我。她有点胆怯，但很有礼貌地问我：“老师，我可不可以问一个问题？”我说：“当然可以，我们老师就是解决问题的。”她又问：“老师，你会不会做几何题啊？”我有点不开心，觉得她这句话不太礼貌。我初中就会做几何题，是班上学习最好的。后来又上了高中，上了大学，当了老师，怎么不会做几何题呢？后来一想，她的疑问也有道理。因为当时代数和几何是分开教的，可能有的老师嫌烦，教代数就只回答代数的问题，教几何就只回答几何的问题。我就说：“我试试看吧。”她就说了一道题：“延长锐角三角形ABC的高AD，与三角形的外接圆相交于一点E，且这个三角形的垂心为H，证明HD=DE，也就是垂心到垂足的距离等于垂足到高所在直线与外接圆交点的距离。”这道几何题，我在初中就做过。现在又读了高中、大学，再做这道题，应该说是居高临下了——用现在的话说，就是“降维打击”。所以，她题目一说完，我就说“这样做”，然后把她写题目的纸拿过来，在纸上写起来，边写边说。结果，她又说了一句让我很意外的话：“老师，你有没有听清楚题目？”看她很怀疑的样子，我就把题目说给她听。

这件事本来很简单，但是，产生了一些影响。她告诉同学，她的同学又告诉同学，结果整个初中都知道了：单老师会做题；单老师教代数，还能做几何题；单老师题目才说完，就做出来了。这些其实都没有什么稀奇的，但后来，学校领导也知道了。教导主任、校长、书记研究了一下，教导主任就找我谈话了：“初一，你不要上了。”我说：“我才上不到一半——一个学期还没上完呢！”他说：“你去上初三，上四个班的初三。初三六个班，还有两个班是对面教师进修学校的老师在我们学校蹲点的，不能换。但是，这个老师不辅导，上完课就走人。所以，六个班的自习课，你都去转一转、看一看，你辅导，包括輔导几何。”这样，代数就交给我了，几何也交给我了，初三就交给我了。所以，我感觉，一个人还是要有点真本领的，教数学得数学学得好（包括会做题）。所以，学习很重要：如果你本领不够，就去学习。

这里，我还要特别感谢扬州师范学院。那个时候，它刚从苏北师范专科学校转成师范学院，强调打好基础，包括两个方面的基础。一个基础是中学数学。当中学数学教师，中学数学不行怎么行呢？我们很多课基本上是重新上了一遍的——当然，是提高性质的，不是简单重复。比如平面几何，那个时候教的是梁绍鸿的《初等数学复习及研究（平面几何）》。这本书上的很多题，可能现在搞竞赛的人都不一定做得出来。至于代数，我记得是高古风老师教的。1949年以前国内出版的最好的代数教材是霍尔和奈特的《大代数》，后来又出版了一本苏联诺洼塞洛夫的《初等代数专门教程》，高老师把这两本书里的精华都给我们讲了。所以，我们的基础打得很好。另一个基础是大学的基础课——数学分析和高等代数。有了这个基础，我后来在中国科学技术大学教一年级的微积分，就很轻松。我认为，教大学（高等教育），重点在好的学生；教中学（基础教育）则要注意照顾差的学生。所以，在中科大，我不大讲书上的东西，更多地讲我自己的想法。一开始，学生不怎么适应，后来，学生也接受了，所以，第二年、第三年……一直由我教。

三、 自学进修很重要

第三个故事，我研究生考到了中科大。“文革”期间，高考中断了。1976年开始，国家酝酿恢复高考。同时，很多学校也酝酿招收研究生。首先是复旦大学，于1977年年初开始招收研究生。当时，我的同事建议我去。我一想，不能去。为什么？因为钱。那个时候，我的月工资是51块7毛，而且，上有老，下有小。去一趟复旦，来回路费，加上住宿费，估计要30块钱。当时，我们组里的赵传芬老师说他帮我出钱。我非常感激，但是想想，还是不能去。为什么？一个是请假、找人代课，都要颇费周折。还有一个原因是，我自己也没有做什么准备，10年也没有好好读书，突然就考，没有把握。但是，赵老师非常好，他说：如果你觉得没有把握，可以看看有没有其他学校能考，再准备一下。当时，我并不知道哪个学校好，偶然发现中科大是年底考试，时间充裕多了。但是，最终也没有很好地准备：一方面有教学工作，另一方面有点得过且过的心理。到了下半年，9月份开学后的一个星期三，人事秘书突然把我喊出来，对我说：中科大有人找你。我一看，来了两位老师：一位是常庚哲老师，一位是彭家贵老师。常老师说：“你是报考中科大的老师吗？”我说：“是啊！”“那就明天考。”我问：“不是年底考吗？怎么明天就考？”“没有关系。考得不好，不影响年底考；考得好，大有好处。”常老师有点结巴，说这句话的时候，“大”字重复了好几遍。这让我认为，考得好，一定录取我。所以，我就准备第二天去考了。

为什么会发生提前来找我去考这个事情呢？这就要讲到另外两个人。一个是肖刚，无锡人。他“文革”前读到初一，后来插队了，之后被当时的江苏师范学院（现在的苏州大学）招到外语系，学外语。但他的外语好得不得了，根本不用学。他就利用外语的优势看数学，学了同调代数、代数几何等——那个时候，只有外文书店才有这些书的外文版。然后，他就给中科大写自荐信：我学了这些东西，我觉得我学科上没问题，你们不信，可以派个人来考我。结果，中科大就派人来考他，发现果然很厉害，就招去了。另一个是李克正，南京人。他在南京师范大学附属中学读的高中，高一的时候就自学了范德瓦尔登的《代数学》，我想现在大学四年级的学生也不一定能看。可惜，“文革”发生了，他就去插队了；插队几年后，就调回城里当了工人。到了1977年，他就去考复旦大学的研究生。一考，不满意：成绩不太理想。他又去参加高考。高考，也不满意：题目太容易了。他也给中科大写自荐信：我读过哪些书（报了几本很专门的书），我觉得我可以读研究生，你们可以来考我。中科大一看：前一个肖刚考得很好，这又来一个。所以，又派人去了。想着既然到了南京，可以顺便看一下其他人。然后，就来找我了。同时，还找了另外一个人，一共三个人。

学校提供了一个会议室，布置一下作为考场。第二天就考。上午考数学分析，6道题，5道正式题、1道附加题。我10年没考过试了，有点紧张，赶紧埋头做。差不多快做完两题的时候，稍微歇一口气，就看看动静。第三个人是学工科的，觉得理科的题太难，就放弃了；李克正也没动静，我想他是不是也不会做啊！又过了一会儿，常老师讲话了。他看李克正动了一下笔，就说：你这一步做得很好。我当时就有点奇怪：监考员能和考生讲话吗？但我还是赶紧做，虽然知识忘了不少，但是做题还行。结果5道题都做完了，就松了一口气。一松气就不行了，附加题做不出来了，总是走到死胡同里。后来，我就交卷了。结果，李克正也做了5道题。但李克正比我强，他一开始就做附加题，而且做出来了。总之，两位老师对我和李克正都很满意。

四、 终身学习，长期备课

第四个故事，要从苏联教育家苏霍姆林斯基讲起。严格来讲，苏霍姆林斯基是乌克兰人。他生在乌克兰，长在乌克兰，原来在乌克兰当兵，复员回来当了老师，后来当了校长，写了很多教育方面的著作。有一次，他去听课，听一节历史课。听完以后，他就问上课老师：“你这节课，备课花了多长时间？”上课老师回答了一句很有名的话：“我这一生都在备这节课。”这句话让他非常佩服。这句话好，说出了长期备课和短期备课的关系。一个人一生都在学习、在读书，水平很高，维度很高，上一节课，就是“降维打击”了。长期备课了，短期备课就不是那么必要了。我再举一个例子。有一年，南师附中开会，研讨马明老师的教育思想。当时，马老师还健在。会上，很多老师讲话，讲了马老师怎么认真备课，讲了很多。后来，要我讲。我就说，马老师肯定是认真备课的，但是，马老师不备课，也可以把课上得很好：第一，他字写得好，粉笔字是一流的，硬笔书法也是一流的；第二，他的文字功底、语言表达好；第三，他的数学好，他“文革”前就出过一本书——《圆和二次方程》；第四，他对教材的理解很好，因为教了很多年，对课堂的掌控、驾驭游刃有余。

五、 好的数学课，要教关键点

第五个故事，叫“15分钟”。现在，教师写备课笔记，花的时间很多，很辛苦，有的半夜还在写。但是，我当学生的时候，不是这样的。我们的数学老师没有人带备课笔记，只带一本教材。有一位语文老师，会带一本备课笔记。一上课，把备课笔记往桌上一放，文言文中的一个字能讲一节课，讲得滔滔不绝。他的语文课有时连上两节。中间休息的时间，我们偷看他的备课笔记，发现上面只有五行字：第一行，课题；第二行，作者；第三行，主题思想；还有两行，再写点其他的（有时下面两行也没有）。很简单！那些上课讲的东西，都是平时积累的，不需要备课。我认识一个人，他从当老师开始到正式退休，有45年的教龄，从来没有备过课，从来没有写过教案。这个人是谁呢？就是我本人！实际上，长期备课以后，有了一定的水平，就会发现上课很简单。

我们说代数课，说穿了，就是“一个法则、两个例题”。“一个法则”我当然知道，推导我也会。就是不会，或者“卡壳”了，拿教材来看一下，也没有问题。“两个例题”当然更会做，例题一般都不难。如果是面对面的培训，5分钟就行了。如果是一个班里有四五十个学生的情况，可能时间要多一点，但是，至多不应该超过15分钟。为什么？因为学生注意力高度集中的时间不会超过15分钟。时间一长，思想就分散开去了，效果就很差。所以，课尽量要在15分钟之内讲完。我第一次在初三上课，就讲15分钟，讲完了就让学生做作业。学生很疑惑：怎么就做作业了？我说：是做作业了，把作业本拿出来。后来，学生就知道了，我只讲15分钟，所以，有学生一上课就把作业本摆在边上。学生做作业，我就在课桌之间转来转去，看哪些学生不会。第一次，我也不知道哪些学生好，哪些学生差。后来，我就熟悉了。我特别关心差的学生，看他们会不会做。差的学生，常常拿作业本都比别人慢。有一次，一个学生不拿作业本，我对他就说：“作业本拿出来做作业。”“我不会。”“刚讲过就不会了？”“不会。”“哪一题不会？”第一题不会，我就讲第一题……也有时不会的原因是我讲得不好。这时，我会再讲一下（顶多5分钟）：大家注意啊，有个地方我讲得不清楚……我结合例题再讲，学生就算不会，抄也抄下来了。所以，大部分学生在下课之前，作业都做完了。对好的学生，我就出几道思考题给他们。比如，后面要讲韦达定理了，我就让他们思考：一个一元二次方程如果有两个根x1、x2，那么，x1+x2会等于什么？x1x2又等于什么？

我现在发现，一些数学老师不像是教数学的，更像是教语文的。一黑板汉字，再一黑板还是汉字。最近在网上看到一位数学老师的课，他40分钟讲完后还要总结一下——一节课有什么好总结的呢？一个单元还差不多。总结时，又写了几黑板，全是汉字。没用啊！这里，我再插入一个典型的故事，也算笑话吧。我在中科大的时候，有一个县城的老师，想调到中科大附中。他试讲时，我也去听了。他一上讲台，就在黑板上写几个大字：“我今天的教学计划：1. 组织教学，3分钟。”我心想：组织教学就组织教学，写在黑板上干什么呢？你不需要让学生知道，组织就是了。接下去，他又写：“2. 引入新课，5分钟。”……一直写到“布置作业”为止。浪费了很多时间，讲课也啰里啰唆。讲到还有10分钟的时候，才开始讲正题。那天讲的题目是，复数用三角式表示时怎么乘。这正是符合“一个法则、两个例题”的内容。法则就是“模相乘，辐角相加”，推导用到三角函数的恒等变换。这时，他发现时间不够了，可能有点慌，第一个例题竟然讲错了。第二个例题刚讲完，就打下课铃了，作业也来不及布置。

一节课，应当着重教真正的数学。我认为，15分钟就可以讲完了，就那一点关键的东西，不多。如果多了，学生肯定接受不了。

最后，说一点很高兴的事：桃李芬芳。一辈子教书，教过中学，教过大学；教了数学，也教了点数学教育。学生很多，很多都比我强、比我好。我在中科大教过的一个学生，一个很厉害的学生，叫陈秀雄，他得到了数学界的两个大奖：维布伦奖和西蒙斯奖。而且，他不但自己做得很好，带的团队（包括他的学生以及学生的学生）也做得很出色。但是，没有人宣传他。我觉得这是很不可思议的事，我们对数学、数学家乃至科学、科学家的宣传太少了。

（单 墫，南京師范大学数学系原系主任，教授，博士生导师。中国首批18名博士之一。曾带领我国中学生首次取得国际数学奥林匹克总分第一名。主要著作有《解题研究》《数学竞赛研究教程》等。）