破解比较大小问题的三板斧

广东省佛山市南海区石门中学(528200) 熊向前

在全国卷的高考试题中,以幂函数、指数函数、对数函数以及三角函数等基本初等函数为载体,考查实数的大小比较问题频频出现. 解决这类问题,除利用不等式的基本性质和基本不等式以外,常用的方法还有代特殊值法、作差(商)法、中间值法、利用函数单调性法等. 而近两年来,这类高考试题呈现出在高等数学背景下的命题趋势,其思维量、运算量在加大,综合性更强,以往的常规方法处理这类题目显得捉襟见肘. 本文以近两年的高考真题及模拟题为例,总结并归纳出破解这类问题的三板斧.

第一板斧 构造函数

常见的构造函数法有三类.

第一类: 构造同一个函数,利用单调性解决

若通过对要比较的几个代数式进行变形,可以使得它们在结构上完全一样,则可考虑构造出这种相同结构所对应的函数,使得要比较的数转化成这个函数的不同自变量所对应的函数值,利用该函数的单调性,只需比较这几个自变量的大小即可.

解析根据a,b以及9m- 10 = 0 的结构特征容易想到构造函数f(x) =xm-x- 1 (8 ≤x≤10), 则f′(x) =mxm-1-1, 由9m= 10 得m= log910 ＞1, 则当8 ≤x≤10 时,f′(x) ＞0,所以f(x)在[8,10]上单调递增,则f(10)＞f(9)＞f(8)即a＞0 ＞b. 故选A.

评析根据代数式的特征合理构建函数,再利用导数讨论其单调性,其中,对代数式变形后构建函数是关键. 在利用函数单调性分析函数值大小时,可充分利用函数图像数形结合地解决.

第二类: 构造多个函数,转化成不同函数在某一区间上的大关系

若要比较的数无法变形成相同的结构,但式子中具有相同的量,此时可考虑将这个相同的量用变量替换,从而构造出不同的函数,根据要比较的几个数,给出函数的定义域,再对不同函数作差, 对差函数进行求导分析, 得到差函数与0的大小关系, 从而得出不同函数在所给区间上的大小关系,通过赋值,得出要比较的数的大小关系.

评析例3、例4 中a,b,c的结构具有很大的差别,无法将其变形成相同结构,所以考虑直接构造多个函数,通过比较几个函数的大小来确定a,b,c的大小关系. 运用构造函数法时要注意一些细节. 其中,根据所要比较的数给函数加一个定义域非常重要,且构造出来的函数在区间端点的取值最好为0,这样可以使得求导后对导函数正负性的判断变得容易,减少分类讨论的次数,从而减小运算量.

第三类: 构造两个函数,数形结合地解决

对于已知两个变量所对应的等量关系,要比较这两个变量的大小问题,可考虑将两个变量移到等式的两边,若无法将两边化成统一的结构而构造同一个函数,则可考虑直接构造出两个不同的函数,将问题转化成“在已知两个函数的函数值相等的情况下,研究其自变量的大小”的问题.

例5(2023 年佛山一模) 若正实数x,y满足xex-1=y(1+lny),则下列不等式中可能成立的是( )

A.1＜x＜yB.1＜y＜xC.x＜y＜1 D.y＜x＜1

解析设f(x) =xex-1,g(x) =x(1+lnx),则f(x) =g(y). 当x= 1 时,f(1) =g(1);当x̸= 1 时f(x)-g(x) =x[ex-1- (1+lnx)], 由ex≥x+ 1 及lnx≤x- 1 得ex-1-(1+lnx) ＞0,则f(x)-g(x) ＞0,即f(x) ＞g(x).通过对f(x)和g(x)求导容易分析其单调性,在同一直角坐标系中画出它们的函数图像(如图1 所示),结合函数图像可知A C 正确.

图1

例6(2021 年佛山二模)已知不相等的两个正实数x,y满足x2-y= 4(log2y-log4x),则下列不等式中不可能成立的是( )

A.x＜y＜1 B.y＜x＜1 C.1＜x＜yD.1＜y＜x

解析由x2-y= 4(log2y-log4x)得x2+2log2x=y+4log2y,设f(x) =x2+2log2x,g(x) =x+4log2x,则f(x) =f(y).f(x) 和g(x) 均为(0,+∞) 上的增函数, 且, 故h′(x) 在(0,+∞) 上单调递减, 又, 故存在x0∈(1,2)使得h′(x)=0,所以当x∈(0,x0)时,h′(x)＞0,h(x)单调递增,当x∈(x0,+∞)时,h′(x)＜0,h(x)单调递减, 又因为h(1) = 0,h(2) = 0 所(0,1) 和(2,+∞) 上h(x)＜0, 此时g(x)＜f(x); 在(1,2) 上h(x) ＞0, 此时g(x)＞f(x),在同一直角坐标系中画出它们的函数图像(如图2 所示),结合函数图像可知,当0＜x＜1 或x＞2 时,由f(x)=f(y)得x＜y;当1＜x＜2 时,由f(x)=f(y)得x＞y. 故选: C

图2

评析通过例5、例6 我们可以发现以下规律:

1、若函数f(x) 和g(x) 在某一区间上单调递增, 且恒有f(x) ＞g(x)(或f(x)＜g(x)), 若f(a) =g(b), 则有a＜b(或a＞b).

2、若函数f(x) 和g(x) 在某一区间上单调递减, 且恒有f(x) ＞g(x)(或f(x)＜g(x)), 若f(a) =g(b), 则有a＞b(或a＜b).

第二板斧 运用泰勒展开公式

评注泰勒展开公式的一大用处就是进行数值估算,运用泰勒展开公式,抓住了问题的本质,过程简洁明了,解题效率大大提高. 了解泰勒展开公式的有关知识,则可以居高临下地分析问题、解决问题.

第三板斧 运用常见的函数型不等式

3.1 常见的对数型不等式

图3

图4

3.2 常见的指数型不等式

图5

3.3 常见的三角函数型不等式

评析利用常见函数型不等式本质上就是利用我们平时积累的不等式将要比较的指数、对数、三角函数等不易看出大小的超越函数值进行放缩,用有理数表示其所在区间,从而能够直观的判断其大小关系,化难为易,化隐性为显性. 只要学生平时牢记这些常见的函数型不等式,就可以大大提高解决这类问题的速度.