优化数学知识体系 提升数学核心素养

摘 要：中考总复习是初中数学学习的重要环节，其目的是让学生在复习过程中，对整个初中所学数学知识进行整合，优化数学知识体系.文章以二轮复习专题课“圆中锐角三角函数问题”为例，阐述如何在教学实践中全面提高学生的核心素养，发展学生数学眼光，提升学生数学思维，强化用数学的语言表达现实世界的能力.

关键词：初中数学；总复习；知识体系；核心素养

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2023）20-0041-03

收稿日期：2023-04-15

作者简介：夏鸣（1981.10-），男，江苏省常熟人，本科，中学一级教师，从事

初中数学教学研究.[FQ）]

中考总复习是初中数学学习的重要环节，与新授课的学习有很大的区别.在中考复习阶段，学生已基本掌握了基础知识和基本技能，初步具备了一定的数学知识体系和数学核心素养，总复习是学生对初中数学知识的再一次深入学习.复习的目的是让学生在复习过程中，对所学知识进行整合，优化数学知识体系，并且在复习过程中，发展学生用数学眼光观察现实世界的能力，力求提升学生的数学思维能力和数学核心素养.本文以二轮复习专题课“圆中锐角三角函数问题”为例，谈谈在教学过程中如何优化数学知识体系，提升数学核心素养.

中考数学总复习中，一轮复习通常按教材顺序对初中阶段的主要知识点进行纵向梳理，重点在于整合教材，帮助学生构建完整的初中数学知识体系.二轮复习通常以专题复习为主，立足课本知识，结合中考试题，注重知识结合，所以二轮复习的重点应发展学生思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力，从而达到优化数学知识体系，提升数学核心素养的目的.“圆中锐角三角函数问题”是两种知识相结合的一节专题课，以圆为载体，研究锐角三角形函数问题，本节课从三个基础题引入.

1 知识激活，梳理数学知识体系问题1 如图1，⊙O的直径AB为10，AC为弦，且AC=8，则sin∠BAC=_______；

图1 问题1图图2 问题2图   图3 问题3图

问题2 图2是由边长为1的小正方形组成的网格，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则tan∠ADC=_______；

问题3 如图3，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切，切点为B，BC=6，若cosA=45，则直径AB=_______，连接BD，则BD=_______.

以三道圆中的锐角三角函数问题为例，引出本节课所研究的复习内容，同时给出了三个基本图形，第1题构造直径所对的圆周角是直角，即构造了直角三角形；第2题不仅需要构造直角三角形，同时还需将所求角转换成直角三角形中与之相等的圆周角;第3题本身就是在一个直角三角形中，只是已知锐角三角函数值，求线段长度，除了已知元素和求解元素不同，其基本思想相同，同时可稍作延伸，求线段BD长度的方法不唯一.

由此可以发现，在本节课中学习，学生需激活并梳理圆与锐角三角函数两个知识体系，但其实质是在圆中找到直角三角形这一基本图形.圆作为一种比较特殊的图形，在圆中比较易于构造直角三角形和转换相等的角.在初中阶段，要运用锐角三角函数解决问题，必须将锐角置于直角三角形中.基于此，本节课的基本思想是构造和转换，基本图形是直角三角形.

2 知识运用，发展学生数学眼光

例1 已知，如图4，⊙O是△ABC的外接圓，BC=6，tan∠BAC=34，求⊙O的直径.

图4 例1题图

例1作为知识运用，是知识激活的延伸，是对基本思想和基本图形的巩固，进一步强调基本思想是构造和转换，即既要构造直角三角形，又要将已知锐角∠BAC转换到所构造的直角三角形中，基本图形即为构造的直角三角形.

例1的目的是培养学生用数学的眼光观察现实世界，即培养学生抽象能力、几何直观、空间观念和创新意识，从而使学生能在复杂图形中构造出基本图形，进而运用所学知识解决问题.初步构建解决问题的基本数学知识体系，整合已有知识体系，如图5所示.

图5 图中锐角三角函数知识体系

3 思维拓展，培养学生数学思维

例2 如图6，已知△ABC内接于⊙O，D为AB延长线上一点，过点D作⊙O的切线，切点为E，DE∥BC，连接BE，CE，AE.

（1）求证：△ACE∽△EBD；

（2）若AC=9，BD=4，求BE的长度；

（3）在（2）的条件下，若sin∠BAE=35，求⊙O的半径.

图6 例2题图

例2是例1的提升，与例1相比，其综合性更强，需要用到更多的知识，同时也不能从题设条件直接找到解决问题的方法，只能从已知题设入手，引导学生用数学的思维思考现实世界，即培养学生运算能力、推理意识和推理能力，通过题设条件进行有效推理，从单个条件这一“条件点”，推理得出结论形成“结论线”.

圆DE是⊙O的切线连接OE则OE⊥DE

四边形ABEC内接于⊙O∠DBE=∠ACE

两直线平行同位角相等内错角相等

直角三角形等积法勾股定理锐角三角函数

图7 结论线图

如图7所示，例2共有4个条件：①DE是⊙O的切线；②DE∥BC；由于圆的特殊性，还有2个隐藏条件：③四边形ABEC内接于⊙O；④同弧或等弧所对的圆周角相等.由条件可知，解决本题主要用到三个知识：圆、平行线、直角三角形.第（1）问证三角形相似，涉及相似三角形知识，需找角相等或边成比例，上述结论中角相等较多而没有对应边成比例，因此必然找两角对应相等，得到两三角形相似；第（2）问是第一问的延伸，由相似三角形得到比例关系即可，因此关键即找到BE与CE关系，从上面结论来看，必然由切线这一条件入手；第（3）问是例1的延伸，易于解答.

由于单个条件是孤立的，通过推理得到“结论线”，再将多个结论有效串联起来，这种串联不是简单地堆砌，需要围绕同一目标，形成解决问题的基本知识体系.学生在解决问题过程中，形成“点→线→面”的数学思维模式，构建“知识面”，初步形成解决问题的数学知识体系，并在解决问题的过程中进一步整合数学知识体系，培养数学思维，提高解题能力，提升数学核心素养.

4 综合应用，强化数学语言表达能力例3 如图

8，AB为⊙O的直径，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E，F.

图8 例3题图

（1）求证：DO∥AC；

（2）求证：DE·DA=DC2；

（3）若tan∠CAD=12，求sin∠CDA的值.

本题是2019年苏州中考第26题，主要涉及圆、平行线、相似三角形、锐角三角函数、勾股定理、二次根式等知识，涵盖了初中三年所学

数学知识，其综合性较强，限于篇幅，求解过程从略.

本题是一道以圆为基本图形的综合题，题目给出的题设条件也很少，只有2个，即①AB为⊙O的直径，②AB为⊙O的直径.学生只能从这两个条件即两个“点”出发，进行推理分析形成“线”，得到更多信息，前两问难度较低，基本上由“点”到“线”即可解决问题.第（3）问已知圆中锐角三角函数值，求圆中另一个角的三角函数值，方法也较多，但实质还是要将锐角放到直角三角形中才能解决.因此，只要紧抓本节课的主题：解决圆中锐角三角函数问题的基本思想是①构造直角三角形，②将所求角转换成与之相等的其他角，甚至是这两种思想相结合.同时，在解决问题的过程中可以发现，直角三角形中线段长度都是未知的，不方便求解，所以需要设线段长度才能解决问题.由此可以发现，将“线”串联成“面”的过程中，也需要一些基本图形、基本思想方法甚至基本运算方法等“粘合剂”，从而更好地优化数学知识体系，提升解题能力.

在教学过程中，教师不仅可引导学生总结归纳基本数学图形、基本数学方法等，也可以将思维图形化，利用数字和图形的直观性，

将数学知识直观地展现在学生眼前，这样更有利于学生对数学的学习、理解和记忆.数学是一门系统学科，是由许多单独的知识点系统化整合得到的数学知识体系.在教学过程中，教师应帮助学生建立数学知识体系.

数学知识体系不仅包括数学知识，还应将基本数学思想体系、常用数学方法体系、数学基本图形体系等纳入整个数学知识体系，从而优化数学知识体系.

数学核心素养是在数学学习过程中逐渐形成和发展的，不同学段发展水平不同.教师应在每一节数学课的教学中，逐步发展学生的数学眼光，培养学生的数学思维，让学生学会用数学语言表达现实世界，从而达到提升学生数学核心素养的目标.数学知识体系的构建和学生核心素养的形成都需要经过漫长的过程，学生具备了一定的数学知识体系和数学核心素养以后，还需进一步进行学科内部的融合，甚至是跨学科的融合，因此学生还需不断地学习，进一步优化知识体系，提升核心素养.

参考文献：［1］ 孔传辉.研磨知识体系，提升复习思维［J］.中学数学（初中版），2019（9）：19-22.

［2］ 朱炎林.聚焦数学解题方法，创新专题复习课型［J］.中学数学（初中版），2020（9）：35-36.

［3］ 中華人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022：5-6.

［责任编辑：李 璟］