巧用数学思维 解答物理难题

摘 要：数理不分家，数学和物理是紧密相连的.在教学实践中，学生遇到物理难题，若能用好数学思维，常常会提高解题效率.教师讲授物理难题时，若能巧妙用数学思维来理清思路，也将大大提升学生解题水平.

关键词：数学思维；初中物理；难题；解答

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2023）20-0074-03

收稿日期：2023-04-15

作者简介：吴宗德（1974.9-），男，福建省连城人，本科，中学一级教师，从事初中物理教学研究.[FQ）]

在初中物理解题中经常应用的数学思维主要有：转化思维、逆向思维、方程思维、极限思维、数形结合思维［1］.在物理教学实践中，教师若能运用好上述常用数学思维，结合教学进度，做好应用示范，将提高学生的解题能力，增强学生解题自信.

1 转化思维的应用

解答初中物理难题时若采用常规做法难度较大，过程较为繁琐，可考虑转化思维的应用，将看似复杂的过程进行合理等效，化繁为简，以达到高效解题的目的.转化思维对学生的思维能力要求较高，教学实践中为使学生能够跟上教学步伐，教师应预留空白时间，要求学生认真揣摩与反思，把握转化本质，使其真正理解与掌握，体会转化思维在解答物理难题

中的应用，增强运用转化思维解题的意识.

“浮力”是初中物理的难点，对部分“浮力”问题而言采用常规方法作答，虽然能计算出最终答案，但是效率较低［2］.教学实践中，教师可启发学生依据阿基米德原理进行转化，将物理问题转化为数学问题，借助数学中的“比例”知识，迅速得出结果.

例1 如图1，在水平面上放置一半径为2R圆柱形薄壁容器.将密度为ρ，高为h，半径为R的圆柱体木块竖直放置在容器中，随后向容器中注水.求使木块竖直漂浮时向容器中注入水的最少质量. 图1 木块置于容器中.

假设向容器中注入水的高度为h′时，木块刚好漂浮，此时其对容器底部的压力为零，木块受到的浮力和重力相等，由阿基米德原理可知木块排开水的重力刚好为其自身重力.m水g=ρR2πhg，对应该部分水的质量m水=ρR2πh.木块排开水的体积V排=R2πh′，将这部分体积看成水，则容器中可装入水的体积为V=（2R）2πh′，则V/V排=4.表明实际上容器中的水为3份，1份水的质量为m水=ρR2πh，则至少需加入水的质量为3m水=3ρR2πh.如此通过转化法解答该题，可减少复杂运算，提高解题效率.

2 逆向思维的应用

对于部分初中物理习题而言，大多数学生会想到正向思维，一步步地计算推理，效率并不高，而逆向思维则能节省不少时间.教学实践中，教师应讲解逆向思维并展示具体应用，认识应用逆向思维解题的必要性［3］.“电路故障的分析”是初中物理电学部分的热门问题.分析该类问题的方法灵活多变，对于选择题而言采用逆向思维，可迅速排除从而找到正确答案.

例2 如图2，将灯泡L1和灯泡L2串联（灯丝电阻保持不变）在电路中，其中L2的功率为4 W，且L1较L2亮，使用一段时间后L2灯突然熄灭，L1亮度增强，L1的功率为25 W，则L2出现的故障以及L2未熄灭之前，L1的电功率为（  ）.

A.短路，1 W   B.短路，9 W

C.短路，16 WD.断路，18 W

为尽快选出正确结果，可采用逆向思维从给出的选项逆推，排除不合理的选项.D项，L2断路，L1熄灭，与题意不符排除.当L2的功率为4 W时，L1较L2亮，表明L1的电功率大于L2，大于4 W，排除A項.B项中L1的功率为9 W，设开始L1、L2的电压分别为U1，U2，电阻分别为R1，R2，则有U21R1=9 W①，U22R2=4 W②，（U1+U2）2R1=25 W③，由①③可得U2=

2R1④，将④代入②得R1=R2，则电流相等时，两灯泡功率相等亮度应该相同，与“L1较L2亮”不符，排除.综上分析选择C项.

3 方程思维的应用

方程思维是求解未知参数的重要思维.根据经验，运用方程思维解答物理难题的关键点有两个：设出合理参数和根据物理定律构建等式关系［4］.教学实践中，为使学生掌握运用方程思维解题的技巧，教师引导学生具备列出多个方程的意识，借助方程求解出目标参数.

“比热容”相关的计算是中考的重要考点.教学实践中，为提高学生解题的灵活性，掌握运用方程思维解题的具体思路，教师应驱使学生主动思考，确定方程参数，构建物理方程.

例3 向盛有冷水的容器中倒入一杯热水，冷水温度升高10℃.继续倒入一杯同样质量和同样温度的热水，容器水温升高6℃.若此后连续向其中倒入5杯同样的热水，忽略热量损失，则容器水温会升高（  ）.

A.14℃  B.12℃  C.9℃  D.4℃

由题意可得倒入热水后，热水放出的热量和冷水吸收的热量相等，据此列出方程.

设热水质量为m0，冷水质量为m，开始时热冷水的温差为t.向冷水中倒入第一杯热水时：

cm0（t-10℃）=cm×10℃①；

倒入第二杯热水后，有：

cm0（t-10℃-6℃）=c（m+m0）×6℃②；

同理，连续倒入5杯热水，设容器水温升高Δt，有：

5cm0（t-10℃-6℃-Δt）=c（m+2m0）×Δt③；

联立①②得到：m=3m0，t=40℃.将这些数据代入到③解得Δt=12℃，选择B项.

4 极限思维的应用

极限思维又称极端思维，是向极端分析问题的一种思维.如将质量看作无穷大或无穷小就属于极限思维［5］.

“杠杆”是初中物理中的重要知识点.对于部分“杠杆”类的问题，如采用常规做法，设出参数，列出方程，解题难度较大，而且也不一定得出正确结果.教学实践中，教师应引导学生尝试着使用极限思维分析问题，将看似复杂的问题直观化、简单化.

例4 如图3所示，将质量均匀等体积实心物体甲、乙分别挂在轻质杠杆的A、B两端，杠杆平衡.则（  ）.

A.两物体切掉相等体积，杠杆右端下倾

B.两物体切掉相等体积，杠杆仍保持平衡

C.两物体切掉相等质量，杠杆左端下倾

D.两物体切掉相等质量，杠杆仍保持平衡

该题如设出参数列出方程，计算非常繁琐.为提高解题效率，解答该题应应用极限思维.因甲、乙体积相等，由图可知甲的质量小于乙的质量.切掉相等体积，甲、乙质量同比例减小，杠杆仍平衡.切掉等质量时，假设将甲的质量全部去掉，乙还剩余部分质量，杠杆右侧会下倾，综上分析选择B项.

5 数形结合思维的应用

运用数形结合思维分析问题主要分为两类：根据题干描述画出对应图形，借助图形将抽象、复杂的关系展现出来，更为高效地解题；从给出的图形中挖掘隐含条件，将图形与物理情境对应起来，寻找解题的蛛丝马迹［6］.

“浮力”问题中，与图形相关的问题难度一般较大，需学生自己构建图形与物理情境之间的内在联系.教学实践中，教师应引导学生分析图线为什么是这个形状，拐点代表什么含义，帮助其找到解题切入点，运用数形结合思维解答物理难题.

例5 使用细绳将底面积为0.01 m2的长方体木块拴在空容器底部.而后向容器中缓慢加水，直到水和木块上表面持平.其中木块底部受到水的压强与注入水的深度图像如图4所示，忽略细线体积，g取10 N/kg，则（  ）.

A.细线的长度为7 cm

B.木块重力为15 N

C.细线对木块的最大拉力为6 N

D.木块的密度为0.6×103 kg/m3

解答该题需数形结合，从给出的图像中判断出木块的运动以及受力情况，理解图线水平的原因是解题的突破口，课堂上教师应预留时间，要求学生认真揣摩.刚开始加水长方体木块底部受到的压强逐渐增大.当木块浮起但细绳未拉直前，随着水的加入其受到的浮力和重力相等，底部受到的压强不变.当细绳拉直后加水，底部受到的压强增大，水的深度10～17 cm对应绳子被逐渐拉直的过程，因此，绳长为17 cm-10 cm=7 cm；细绳拉直期间木块漂浮，木块受到的浮力和其重力相等，G=F浮=pS=

1 000 pa×0.01m2=10 N；当h=23 cm时，细绳受到的拉力最大，此時，木块重力和细绳拉力的合力与木块受到的浮力平衡，由F+G=F′浮，而F′浮=p1S1=1 600 pa×0.01 m2=16 N；则F=16 N-10 N=6 N；由图可得木块的高度为h木=23 cm-7 cm=16 cm，则V=Sh木=0.01 m2×16×10-2m=1.6×10-3m3，则ρ=GgV=0.625×103 kg/m3.综上分析选择AC.

综上所述，在初中物理教学中，教师应将数学思维渗透至物理知识讲解中，尤其为提高学生的物理解题能力，应做好习题的筛选，逐一展示不同数学思维在初中物理解题中的应用，让学生真正理解并吃透不同数学思维在物理解题中的应用，促进其物理解题水平的进一步提升.

参考文献：［1］ 张传启.数学思维在初中物理解题中的运用［J］.理科爱好者（教育教学），2021（06）：64-65.

［2］ 徐璇璇.数学思维在初中物理解题中的方法探析［J］.数理化解题研究，2021（26）：86-87.

［3］ 金冠锋.数学思想在初中物理教学中的应用［J］.天津教育，2020（15）：109-110.

［4］ 施慧.谈初中物理与数学的有效整合［J］.中学生数理化（教与学），2020（05）：67.

［5］ 陈明兰.数学思维方法在初中物理教学中的应用方法刍议［J］.高考，2019（12）：49.

［6］ 车秀丽.例谈用数学思维巧解初中物理试题［J］.中学物理教学参考，2017，46（18）：36-37.

［责任编辑：李 璟］