基于核心素养的立体几何教学

［摘  要］ 如何在日常立体几何教学中，让学生通过参与数学活动积累“直观想象”的经验，养成运用数学思维来观察世界的习惯，这是值得深入研究的问题. 文章结合“直线与平面垂直”的三次备课经历，浅谈立体几何教学中如何渗透核心素养.

［关键词］ 核心素养；直观想象；立体几何；备课；教学设计

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：“直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.”［1］6从直观想象的定义来看，它主要包括两个方面：几何直观和空间想象. 几何直观是数学抽象的前提，是从感性认知到理性认知的前提要求，空间想象能力是达成数学教学目标的基本能力.在立体几何教学中，一些教师也关注直观想象，但没有真正理解“直观不是‘教出来的，而是‘悟出来的”，因此往往采取灌输式、填鸭式教学方式直接给出立体几何中的概念、定理. 那么，如何在日常立体几何教学中，让学生通过参与数学活动积累“直观想象”的经验，养成运用数学思维来观察世界的习惯，这是值得深入研究的问题［2］.本文结合“直线与平面垂直”的三次备课经历，浅谈立体几何教学中如何渗透核心素养.

厘清知识脉络，提高关键能力

直线与平面垂直是学生学习空间点、线、面的位置关系，直线与平面平行的判定与性质后，即将学习的又一线面特殊位置关系，也是运用几何直观、空间想象研究空间图形位置关系的又一次实践. 通过直线与平面垂直的教学，进一步培养学生的问题探究、推理论证和空间想象能力，为研究面面垂直、线面角、面面角打下基础，在整个立体几何的教学中具有承上启下的作用. 因此，直线与平面垂直的定义、判定定理及应用等的学习非常重要，这既是进一步研究空间几何图形性质的基础，又是培养学生直观想象素养、落实学生关键能力的基石.

在第一次教学设计时，笔者梳理了直线与平面垂直的知识结构（如图1所示）.

在教学实施环节中，为了帮助学生建构完整的知识体系，本节课主要解决如下问题.

问题1 什么叫直线与平面垂直？（定义）

问题2 如何判定直线与平面垂直？（判定定理）

问题3 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行吗？（性质定理）

问题4 如果两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，那么另外一条直线也与此平面垂直吗？（应用）

上述问题的解决，使学生获得直线与平面垂直的基础知识，包括线面垂直的定义，线面垂直的判定定理与性质定理，并掌握利用定理解决问题的基本技能，形成完整的知识体系，为后续学习做好铺垫. 当然，掌握知识并不是课堂教学的最终目标，而是在知识建构的过程中学会用数学的眼光观察世界，用数学的语言表达世界，实现数学教育功能的最大化. 当前，“导学案”教学模式在一些学校盛行，但其目标停留在提高学生的学习成绩上，学生只知道“是什么”，而不知道“为什么”，这样的教学模式限制了学生素养的自我调节和提升，不符合新课标理念，这值得注意.

关注思维过程，凸显数学素养

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：“直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础.”［1］6直观想象利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物. 在直线与平面垂直的教学中，让学生经历直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的定理（判定定理和性质定理）的产生过程，主要表现在：通过对生活实例、图片的观察，学生自主提炼直线与平面垂直的定义；通过直观感知，学生大胆猜想直线与平面垂直的判定定理，并在此基礎上探究直线与平面垂直的性质定理；尝试运用定理证明一些关于空间位置关系的简单命题.

在第二次教学设计时，笔者梳理了直线与平面垂直的定义、定理的产生过程以及学生的思维过程（见图2）.

在教学实施环节中，为了帮助学生梳理直线与平面垂直的定义、定理，厘清数学概念、数学定理建立的思维方法，本节课主要解决如下问题.

问题1 在日常生活中，学校操场上的旗杆与地面，江阴大桥的桥柱与水面，以及数学图形中圆锥的轴与底面给了我们怎样的直观印象？

问题2 播放动画，观察圆锥的轴与底面的哪些直线是垂直的. 请你给直线与平面垂直下个定义. （线面垂直的定义）

问题3 如何判断学校操场上的旗杆与地面是否垂直？（线面垂直的判定定理）

问题4 江阴大桥的桥柱1与桥柱2平行，桥柱1与水面垂直，那么桥柱2与水面是什么关系？（线面垂直的性质定理）

问题5 本节课你学到了哪些直线与平面垂直的知识？

上述问题的解决，让学生从生活实例中直观感知直线与平面垂直的定义、判定定理、性质定理等产生的合理性，让学生在问题情境中提出问题、分析问题、解决问题. 学生从直线与平面垂直的直观感知中，获得线面垂直的定义；利用定义判断直线与平面是否垂直时，发现定义法缺乏实际可操作性，由此探究直线与平面垂直的判定定理、性质定理. 在揭示直线与平面垂直的定义、定理的过程中，学生体会并获得了建立数学概念、数学定理的思维方法. 只有让学生经历数学知识的产生过程，学生才能获得研究数学问题的一般方法，形成良好的数学思维品质. 学生不仅知道“是什么”，更能体会“为什么”“怎么做”.

践行立德树人，落实核心素养

党的十九大报告进一步指出，要“落实立德树人根本任务”，为了实现直线和平面垂直的教育功能，使其成为学生学习立体几何的典型案例，让学生在直线与平面垂直的学习过程中体验用数学理论解释生活中的一些现象，运用数学的语言表达世界，发展学生把握空间与图形的能力以及论证推理的能力.

在第三次教学设计时，笔者重新思考，坚持立德树人根本任务，落实数学核心素养，对本节课的素养目标进行了细化、优化（见图3）.

在教学实施环节中，为了让学生体会数学发现之美，提高学生的数学学习热情，提升学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理等数学素养，本节课的第三次教学设计如下.

（1）创设情境，感知概念.

情境1 （生活中的“直线与平面垂直”的现象）观察图片：天安门广场上的旗杆，旗杆与地面给了我们怎样的直观印象？

情境2 （数学几何体中“直线与平面垂直”的现象）观察旋转体中圆锥（圆柱、圆台）的轴与底面，给我们留下了什么直观感觉？

情境3 介绍我国古代普遍使用的计时仪器——日晷（见图4），观察罗盘针与底座是什么位置关系.

设计意图 通过创设问题情境，将数学知识与生活联系起来，让学生直观感知直线与平面垂直，形成直线与平面垂直的感性认识. 通过介绍数学史揭示直线与平面垂直背后的文化元素，使学生感受数学的应用价值所在，激发学生主动探究热情，提升学生的数学素养.

（2）观察归纳，形成概念.

问题1 结合这三个实例，你能给“直线与平面垂直”下个定义吗？

设计意图 引导学生从实例、数学模型中概括事物的典型特征，从具体到抽象，建立感性认识与抽象思维的联系，并尝试给出直线与平面垂直的定义. 在建立线面垂直定义的过程中，让学生收获成功的喜悦，学会用数学的语言表达世界，而且提升学生的数学抽象、直观想象等数学素养.

（3）深化认识，辨析概念.

问题2 线面垂直定义中的“任意一条直线”能否换成“无数条直线”呢？请举例说明.

设计意图 通过问题2的讨论辨析、反例列举，让学生加深对线面垂直定义的理解，学会“数学思考”，也为下一环节“探究直线与平面垂直的判定定理”做好铺垫.

（4）实验探究，形成定理.

问题3 如何判定直线与平面垂直呢？

设计意图 通过问题3的辨析，学生切身感受到直接利用直线与平面垂直的定义判断线面垂直缺乏实际可操作性，此时引导学生类比直线与平面平行的判定定理，通过不断猜想和分析，得到直线与平面垂直的判定定理.

在此过程中笔者设计了如下两个问题.

①如果直线l与平面α内的一条直线垂直，能保证l⊥α吗？

②如果直线l与平面α内的两条直线垂直，能保证l⊥α吗？

在解决上述两个问题的基础上引导学生进行数学实验，从实验中直观认知. 例如折纸实验，先折叠一张三角形纸片，再将纸片略打开放置于桌面上（折痕与桌面相交），然后思考：折痕与桌面所在的平面一定垂直吗？如何折叠才能使折痕与桌面所在的平面垂直呢？通过数学实验实现从感性到理性的飞跃，抽象出数学定理，有利于学生思维品质的训练.

问题4如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行吗？

设计意图 在探究性质定理这个环节中，采取小组合作，让学生先从身边的实例，即从“形”的角度寻求问题的答案，再抽象概括出直线与平面垂直的性质定理，然后通过严格的推理论证其正确性. 在探究活动中，学生能进一步认识线面位置关系的研究方法，发展逻辑推理能力.

（5）运用定理，解决问题.

问题5 如图5所示，已知正方体ABCD-ABCD.

（1）求证：直线AB⊥平面BCCB；

（2）直线AC与平面BDDB是否垂直？

（3）AB与平面ABCD垂直吗？

设计意图 通过直线与平面垂直定理的简单应用，让学生体会判定线面垂直的一般方法；在问题的探究过程中暴露学生的思维轨迹，让学生领悟隐含于问题之间的数学本质，从而积累解决数学问题的方法，促进理性思维的发展，提升数学核心素养.

（6）回顾反思，提高素养.

问题6 我们是如何研究直线与平面垂直的？

设计意图 引导学生回归直线与平面垂直的研究过程：创设情境、观察归纳、深化认识、实验探究、运用定理、回顾反思.

即引导学生回顾研究的每个环节：如何从生活情境、数学模型中抽象出数学问题？在立体几何学习中，建立数学概念、数学定理的一般过程与方法是怎样的？怎样运用定义、定理解决问题？进而让学生感悟：研究直线与平面垂直的过程和方法，也是研究面面平行、面面垂直的一般过程和方法. 这为今后利用空间向量研究立体几何问题奠定了基础.

本节课基于提高学生的核心素养组织教学，实现数学育人的目标.第一是重视数学基本活动经验的积累，通過创设问题情境，将数学知识和生活联系起来，让学生感悟数学源于生活，又服务于生活，引导学生借助几何直观、数学实验、数学推理，获得数学最本质的活动经验，以及实践意识. 第二是注重数学思维品质的培养. 立体几何教学与其他知识模块不同，学生往往借助几何直观产生对事物的直观感知，但其正确性需要通过数学知识推理论证. 数学核心素养的培养是一项系统工程，立体几何的教学承载着培养学生直观想象、逻辑推理、数学建模等核心素养的重任，唯有立足课堂，潜心研究，才能真正做到“随风潜入夜，润物细无声”.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］. 北京：人民教育出版社，2018.

［2］ 周艳祖. 高中生直观想象素养的现状调查及教学建议［J］. 中学数学，2018（19）：32-34.

基金项目：无锡市教育科学“十四五”规划课题“基于泛在学习的高中数学‘阅读与思考栏目教学研究”（A/E-b/2021/01）.

作者简介：万赢银（1979—），硕士研究生，中学一级教师，从事数学教学研究工作，曾获江阴市教科研能手、江阴市教学能手等称号.