基于“四元五环”的“平面向量数量积”教学设计探析

叶诚理　林新建　林品玲

［摘  要］ 教师可以遵循新课标理念，依照“四元五环”教学法，精心设计教学.即教师依循“四元”要素，遵循“情境—探究—体悟—内化—应用”五个环节实施教学，让学生在建构知识的同时，感悟数学学科基本思想，积累活动基本经验，并学以致用，发展数学学科核心素养.

［关键词］ 核心素养；四元五环；四基；四能

教学设计构想

《课程标准》指出，高中数学教学应该以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质. 基础知识和基本技能可以通过显性教学的方式获得，而学科思想、学科活动经验则需要学生通过参与、思考、体验和表达获得，这些是隐性的. 为此，笔者提出了“四元五环”教学法，目的在于更好地融合显性教学和隐性教学，促进学生理解、使用和积累这些隐性的东西，以实现学生的“四基”协调发展，实现学生的核心素养全面有效提升.

“四元”是教学设计思路，即教师必须深入理解学科本质，围绕“知识明线、知识暗线、活动明线、活动暗线”四个要素设计出好的教学方法，使学科知识结构完整、层次清晰；使学生领悟学科基本思想方法，锻炼和提升学科思维并逐步发展学科核心素养.

“五环”是教学实施环节，即为了实现学生的“四基”协调发展，实现学生的核心素养全面有效提升，教师应依循“四元”要素，遵循“情境—探究—体悟—内化—应用”五个环节实施教学，让学生在建构知识的同时，感悟数学学科基本思想，积累活动基本经验，并学以致用，发展数学学科核心素养.

教学过程设计

1.数学情境——感知向量数量积的背景

教师：我们学过向量的哪些运算？结果是什么？研究的方法是什么？

学生：我们学过向量的加法、减法和数乘运算，结果都是向量. 它们都是通过物理概念抽象概括得到的，比如力的合成与分解可以提炼出向量的加法、减法运算.

教师：物理学中同学们还学过两个向量之间的哪种运算？（停顿片刻）

学生：物理学中学过两个向量的乘法运算，得到的结果是一个标量即数量. 比如，在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s（如图1所示），那么力F所做的功W=Fscosθ，其中θ是F与s的夹角. （用PPT动画展示）

教师：为什么公式中要乘力与位移夹角的余弦值呢？

学生：根据之前学过的正交分解知识，将力沿水平和竖直方向分解，其中竖直方向的分力在水平方向上的位移不做功，只有水平方向上的分力Fcosθ在水平方向上的位移才做功，因此W=Fscosθ.

设计意图 由教师创设数学情境，引导学生回顾向量的线性运算及研究方法，根据学生熟悉的物理做功模型，引导学生发现问题，直观感知向量数量积运算的物理背景，为接下来的向量数量积概念的提炼奠定基础知识和方法.

2.数学探究——抽象向量数量积的特征

教师：通过做功的物理模型可知，功是力和位移共同作用的结果.其中，功是一个标量，力和位移是矢量，即两个矢量的乘积可以产生一个标量即数量，而我们之前学过的两个向量线性运算的结果还是向量，因此这种运算方式是我们之前没有学过的一种新的运算，这给了我们一种启示：能否把“功”看成某两个向量“相乘”的结果呢？

设计意图 通过类比，把物理学中的矢量抽象成数学中的向量，顺利引出向量数量积的概念，启发学生猜想向量之间是否存在着一种新的运算方式即向量的乘法运算，引发学生认知冲突，自然导入主题，抽象向量数量积的特征，体现特殊与一般思想在向量数量积概念引入中的应用.

追问1：由于力做功的计算公式W=Fscosθ涉及力与位移的夹角，所以我们先要定义向量的夹角的概念.

已知两个非零向量a，b（如图2所示），O是平面上任意一点，作=a，=b，则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角.

追问2：两个向量的夹角范围是多少？

师生共同探究，固定向量a，绕着点O旋转向量b，观察得出0≤θ≤π.

3. 数学体悟——概括向量数量积的要义

教师：受此启发，我们将公式中的力和位移推广到一般向量，引入一种新的向量乘法运算——向量“数量积”.

规定：零向量与任意一个向量的数量积等于0.（为什么？）

教师：刚才我们学习了向量数量积的物理意义，那么向量数量积有没有几何意义呢？

如图3①所示，设a，b是两个非零向量，=a，=b，我们考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A，B，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.

如图3②所示，我们可以在平面内任取一点O，作=a，=b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M，则就是向量a在向量b上的投影向量.

探究：如图3②所示，设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，那么与e，a，θ之间有怎样的关系？

cosθ·e. 师生共同归纳出向量数量积的几何意义：两向量的数量积等于其中一个向量的模与另一个向量在這个向量的方向上的投影的乘积.

设计意图 通过作图，得出向量a在向量b上的投影向量的概念，引入与b同向的单位向量e，构建向量a向向量b投影的代数结构，最终探究出向量数量积的几何意义，将两个不同方向的向量的数量积变换为一个方向上的向量的线性运算，实现“降维”的目的. 整个探究过程体现了数形结合、分类讨论等数学思想，同时培养学生逻辑推理、数学运算等核心素养.

4. 数学内化——辨析向量数量积的内涵

教师：向量数量积的结果是什么？

学生：对比向量的线性运算，我们发现，向量的线性运算结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关.

探究：从上面的探究我们看到，两个非零向量a与b相互平行或垂直时，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性. 这时，它们的数量积又有怎样的特殊性？

师生共同推导出向量数量积的重要性质如下：

设计意图 从向量数量积的定义出发，引导学生从夹角特殊化、向量特殊化的角度，推导出向量数量积的重要性质，探究过程体现了特殊与一般思想的运用. 同时，这些性质的逆用值得关注，比如性质②可以用来判断两个向量的垂直关系，性质③可以用来推导向量的模长公式，性质④可以为高阶向量问题如证明柯西不等式提供依据，等等.

教学设计体会

1. 基于“四能”提出问题

本节课的教学设计，重视向量数量积概念的引入过程，培养学生的数学抽象素养. 新课标指出，相对于结果，过程更能反映每个学生的发展变化，体现出学生的成长历程. 在学生学过向量的线性运算的情况下，学生会自然提出向量的数乘概念，教师只要稍加引导，就可以引出新知；通过做功的物理模型可以引出向量数量积的概念，让学生明白研究这种运算不仅是数学研究的必然，也是客观世界的需要，使学生产生强烈的求知欲望；之后师生共同剖析概念，探究向量数量积的性质和运算律，让学生感知向量数量积的结果不是向量而是数，进一步熟悉、巩固向量数量积的性质和应用.

2. 基于“四基”设计过程

本节课的教学设计，凸显类比思想方法，进一步培养学生的逻辑推理素养. 一是通过物理课中功的概念抽象出向量数量积的概念，二是通过类比数的乘法运算律得到向量数量积的运算律. 这样的教学安排符合学生的认知规律，不仅使学生感到亲切自然，同时能培养学生由特殊到一般的思想以及类比创新的意识. 在向量数量积中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好地体现了数形结合思想.在学习过程中，学生通过自主探究，体会到成功的喜悦，激发学习兴趣.

3. 基于“认知”设计探究

本节课的教学设计基于学生的学情，采用情境化的教学模式，以问题为载体，做到“三教”：一是教思考，引导学生在具体的情境中用数学眼光观察物理现象、发现问题、抽象数学概念；二是教体验，用数学思维提炼出向量数量积的概念，辨析与向量线性运算的本质差别；三是教表达，用数学语言表达出向量数量积的性质和运算律. 总之，教学中应通过师生互动、生生互动，经历思考、体验与表达的过程，培养学生自主学习、合作探究的能力［2］.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版）［M］. 北京：人民教育出版社，2018.

［2］ 林新建. 我的教学主张：自然数学［M］. 厦门：厦门大学出版社，2020.

基金项目：教育部福建師范大学基础教育课程研究中心2021年度开放课题“基于核心素养的‘四元五环教学实验的研究”（KCZ2021144），福建省教育科学“十四五”规划2022年度课题“基于素养导向的高中数学几何主题单元教学策略研究”（FJJKZX22-175）.

作者简介：叶诚理（1979—），教育硕士，中学一级教师，从事高中数学教学与研究工作.