例谈高中数学教学中类比思维能力的培养

刘倩

摘 要：在新课改的背景下，高中数学的教学模式需要更注重对学生思维能力的培养，进一步激发学生的自主学习兴趣，并时刻关注学生的数学知识体系构建情况。类比思维能力与演绎归纳推理分析能力有所不同的是，能够将特殊情况下的分析过程进行全面总结，协助学生理解知识点。本文将主要分析与探讨高中数学教学中对类比思维能力的培养。

关键词：高中数学；类比思维能力；培养

在培养学生类比思维能力的过程中，需要将类比思想与其他教学手段紧密结合，引导和鼓励学生发现不同事物之间的相似特征，并从特殊的问题情境中发现相似的线索。在运用类比思维能力的过程中，师生都需要对并不适用于演绎和归纳推理分析方法的问题情境进行全面总结和分析，进一步拓展和延伸到特殊的事物特征提取层次。

一、高中数学教学中类比思维能力的培养价值

（一）梳理知识结构形成知识网络

在高中数学教学活动中培养学生的类比思维能力，有助于学生初步梳理知识结构，形成可靠的知识网络[1]，还能够在类比推理分析过程中形成独特的解题思路。不论是在高中数学课堂中的概念学习过程中，还是解题训练过程中，都需要广泛运用类比思维，构建更加全面和完善的知识体系网络结构。尤其对于学生而言，梳理知识结构形成数学知识网络，能够直接影响到后续知识概念的补充与完善进度。在培养类比思维能力的过程中，也能够逐步渗透其他数学思想，并对问题情境、变式教学，以及知识体系的形成过程产生深远的影响[2]。尤其在初步建立数学知识体系的过程中，部分学生对分散化的知识点掌握能力和理解能力较弱，此时需要充分引导和鼓励学生理解类比思维的具体应用策略以及思路，才能够辅助其构建完整的数学知识网络体系。

在高中数学学科的课堂教学活动中，类比思维能够体现在不同教学环节之中，因此需要着重培养学生的合情推理、类比推理以及案例推理能力，将类比思维灵活运用在知识体系建构层面上。在高中数学课堂中，类比思维可以体现在前后知识点的类比、数学概念公式的类比，以及课外数学教学活动之中，高中数学教师需要以点带面，将类比思维的培养目标进行细化，协助不同层次学生能够循序渐进地提升类比思维能力，将举一反三等具体学科思维灵活运用在知识体系结构的建构和完善层面上。由圆的性质类比出球的有关性质，是非常经典的类比推理方法，从某一类概念推衍到另一类概念，其中相似之处是学生非常容易混淆的知识点，但是需要对二维平面上的圆形、三维空间中的球体特征进行类比分析，协助学生巩固类比思维。部分高中数学教师在协助学生梳理类比推理思路的过程中，将类比过程进行了适度简化，引导和鼓励学生进行多角度论述，将类比思维培养映射到具体知识点和公式概念等教学层面上，才能够将类比思维与其他数学思想方法进行有效分离，有助于学生在解决数学问题过程中明确类比思维的应用步骤，但是不会局限于某一种解题方法。

（二）提升举一反三的能力

在高中数学课堂中培养学生的类比思维，也能够有效提升其举一反三的能力，还能够快速适应多种问题情境和变式解析过程，并对类似数学知识点之间的联系和区别进行有效总结和分析[3]。类比思维能力的有效培养过程，也需要深度挖掘触类旁通的思维模式建构规律，才能够进一步深层次挖掘不同类型事物之间的相似特征或者属性，并引导学生从全新的视角领会数学知识和概念之间的相似性和共通性。在高中数学课堂中培养学生的类比思维能力，还需要将举一反三的思维建构过程进行详细归类和总结，才能够引领学生对多样化和灵活性比较明显的数学知识点进行有效串联，并对特定的数学应用问题进行一题多解。为充分提升学生举一反三的数学解题能力，还需要将类比思维与多种数学问题应用场景进行有效融合，并对学生的类比思维应用过程进行全程记录和跟踪分析。

在高中数学课堂中，学生的类比思维可以体现在多个教学环节之中，但是需要着重强调举一反三解题过程中的灵活性特征，并将类比思维与推理方法有效衔接，协助学生快速分类类比推理结论与方法，逐步强化学生对目的、意义、过程，以及结论等关键解题思路的认知理解与运用技能。由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则，其中“=”类比得到“=”，符合类比推理的基本规则，“=+”类比得到“=+”也符合类比推理的基本规则，能够将代数与向量之间的共同点进行通用，体现出学生对类比推理方法以及结论正确性的基本判断和分析能力。学生的类比思维，可以将个例与一般规律相分离，从个别到个别案例之间的通用性质，推理到一般到一般的问题解决层次之中。归纳和类比是高中数学学科非常关键的特征，因此，学生的类比思维能力可以间接体现出数学学科学习进程中逻辑思维的跃迁变化趋势，在着重培养学生类比思维的过程中，需要鼓励其举一反三，但是需要对容易混淆的概念公式、知识点进行系统化建构，协助提升类比推理分析效率。

（三）明确类比解题步骤

在高中数学课堂中培养类比思维能力，需要重点明确类比方法的解题步骤和基本思路，并充分引导和鼓励学生进行一题多解，合理运用举一反三的思维方法，构造更加多样化的类比解题思路体系。尤其对于数学概念、公式定理而言，利用类比思维方法能够快速找到对应的相似特征和共同属性，并对数学概念的记忆和掌握理解过程进行全面跟踪和分析[4]。在详细解析数理关系运算类题目以及平面空间位置关系类题目的过程中，需要合理运用类比思维方法，才能够将基本解题思路与特殊的问题创设情境有机融合。在明确类比解题步骤的过程中，数学教师也需要重点关注学生是否能够快速找到题目中的各项隐含条件与信息，并对类比解题过程进行全程记录和分析，引导和鼓励学生对不同解题思路进行分类汇总。

对于高中阶段内的数学学科教学内容，学生需要逐步明确类比解题步骤，对位置关系类型、概念知識类型，以及几何图形特征类型的类比解题思路进行总结反思以及灵活运用。尤其对于位置关系类型的类比题目，学生需要寻找相似知识点之间的不同之处，灵活运用类比推理以及归纳推理等数学方法，还需要对具体案例具体分析，将类比解题思路的具体步骤进行辩证性分析，灵活运用高中数学知识点以及概念公式。学生普遍容易混淆平面与空间中的类比解题思路，不容易将抽象思维转换成类比思维，因此难以提升解题效率。高中数学教师需要协助学生寻找适合自己的类比解题步骤，合理分类不同类比推理步骤的具体适用条件，将圆锥曲线、平面空间、运算法则、等差等比数列等具体应用类问题中的类比思维进行直观展示和对比。明确类比思维在具体问题中的应用步骤，能够有效协助学生养成良好的数学问题解决习惯，但是需要灵活运用类比推理方法和思维模式，避免学生陷入单一的类比推理误区。平面几何以及立体几何中比较抽象的概念和公式，都需要通过类比思维和推理步骤体现在具体数学问题之中。

（四）养成自主学习习惯

在高中数学课堂中培养类比思维能力，还能够辅助学生养成良好的自主学习习惯，并在自主学习和探究实践过程中发现特殊类型事物之间的内在关联性质和共通属性。尤其在解题训练过程中，学生需要充分运用类比思维能力，将高中数学概念知识体系结构中的不完善内容进行针对性的补充，并对触类旁通的数学知识点进行关联分析和有效串联[5]。对于学生而言，科学运用类比思维能力，也能够在自主学习过程中发现原有知识体系存在的不足之处，还能够从不同的视角进行完善和补充。但是在培养类比思维能力的同时，高中数学教师还需要正确引导和鼓励学生运用多种新型学习工具，并在自主学习环节中发现比较特殊的问题，充分发挥想象和创造能力，将类比推理分析方法与问题背景相互融合，实现更具有针对性的类比推理分析解题目标。

学生的类比思维，不仅可以体现在数学实际应用问题的求解过程中，还可以拓展到其他学科领域，有助于提升学生的逻辑思维严谨性，但是需要协助学生养成良好的自主学习习惯，在分组探讨数学问题和其他生活类问题的过程中，引导和鼓励学生对类比推理方法、过程结果的正确性进行深入探讨，通过自主学习过程进行深度思考，逐步强化数学学科思维的灵活运用能力。除此之外，类比思维是高中数学学科重要的教学内容，也是体现多种数学思想的重要载体，还需要对数学概念公式中的共同属性部分进行具象化表现，在学生建立类比项的过程中，师生需要进一步突出数学计算过程与结论推理的准确性进行全面综合判断，协助学生养成良好的数学思想方法运用习惯，将其在具体数学问题中的思维策略进行内在关联。“授人以鱼，不如授人以渔”，养成良好的自主学习习惯和意识非常关键，学生需要在数学教师的有效引导和实际问题指导下，对不同类别数学问题适用的类比方法和解题步骤进行反思总结，逐步形成系统化的数学解题结构体系。

二、高中数学教学中类比思维能力的培养路径

（一）类比位置关系，深化抽象概念的理解

通过类比位置关系，能够协助和引导学生进一步深化对抽象数学概念的理解能力。以新人教版高一必修第一册教材为例，在《指数函数与对数函数》知识章节的课堂教学活动中，教师和学生需要将指数函数和对数函数在平面直角坐标系中的位置关系进行类比，并从函数图像中的位置关系分布规律中发现不同函数的基本性质。在课后习题中，需要利用信息技术用二分法求函数的零点，需要精确到0.1级别，部分学生能够充分运用辅助线或者其他工具，将该复合函数中的两个简单函数位置分布情况进行详细的归类和汇总分析，并从中发现一些比较特殊的性质。不同类型的对称轴之间存在一定的位置关系，并且函数图像中能够充分体现出单调性和增减性相似的特点，还可以无限接近于两个垂直坐标轴等。在类比两类函数的位置关系过程中，部分学生也能够进一步深化对函数概念的理解，还能够将类比推理分析过程中的相关属性和特征进行全面总结。

位置关系的类比，在高中数学课堂中的应用形式更趋向于多元化，尤其在对直线和圆的三种位置关系进行问题解析过程中，点和圆形之间的三种位置关系，可以类比到直线与圆形之间的位置关系，但是在对点以及直线位置关系进行类比推理之前，需要将点、直线以及圆形在平面几何基本概念层面上的差异进行对比分析。在进行类比推理的过程中，还需要渗透运动观点，将点作为直线在一个视角下的微观表现形式，并将连贯的点延伸到一条直线上，客观分析直线与圆形之间的位置关系，圆外、相交一个点、相交两个点是学生能够联想到的位置关系。学生可以根据图形的运动变化趋势，类比出直线与圆形在某一个二维平面上的位置关系，并在计算机多媒体软件上进行分类对比分析。学生还可以将相对运动等类比推理方法灵活运用在平面位置关系的判定步骤之中，可以将距离遥远的直线与圆形，相对运动之后呈现相切以及相交两种位置关系，并从静止、运动状态之中发现平面位置关系的变化规律。类比位置关系，需要借助多种数学教学工具，学生与数学教师在深入探讨类比推理方法的过程中，需要对不同临界点进行分类讨论，逐步明确位置关系判定过程和结果的准确性。

（二）类比数学概念，厘清学习思路

通过类比数学概念的形式，能够辅助学生进一步厘清数学学习思路，还能够对特殊的数学概念知识结构进行全面梳理。以新人教版高一必修第二册教材为例，在《平面向量及其应用》知识章节中，教师需要逐步引导学生类比平面向量和数轴的基本概念，并对平面向量的方向矢量性特征进行全方位解读和理解分析。在已知点O的坐标为（0，0），点坐标为（1，2），点坐标为（4，5）的基础之上，建立了的关系式，并且的取值为1，，-2以及2时，需要分别求出点的坐标。部分学生能够充分借助平面直角坐标系认知和理解平面向量的基本表示方式，还能够将其应用在立体几何模型之中。数学教师需要协助学生对一些特定数学概念的基本表示方式和定理公式进行变式解析，并充分运用类比推理分析方法以及其他数学思想，将平面向量的运算规则与平面直角坐标系中的运算规则进行多层次类比。

对高中数学概念的类比，可以间接体现类比推理与数学思想的关联性，但是需要对学生容易混淆的數学概念公式以及知识点进行分类总结，协助学生养成良好的类比推理分析以及归纳总结学习习惯。高中数学教师可以将平行四边形、长方形、内角作为示范案例，其中平行四边形、长方形以及内角三类数学概念属于种属关系，内角都相等的平行四边形是长方形，长方形是平行四边形的一种。因此，学生在排除错误选项的过程中，会将边长都相等的三角形是等边三角形，并非等腰三角形，排除错误答案。边心距都相等的正六边形并非多边形，多边形并非正六边形的一种，排除错误答案。弧长都相等的扇形并非圆形，圆形并非扇形的一种，排除错误答案。只有对角线都相等的菱形是正方形，是与题干逻辑一致的正确答案。高中数学的基本概念非常容易被混淆，因此，在类比数学概念的过程中，学生需要夯实基础知识，合理运用类比推理方法中比较灵活的解题思路和步骤，夯实数学概念和公式等知识点。

（三）类比图形特征，掌握重难点

通过类比图形特征的形式，能夠辅助和引导学生快速掌握重难知识点，还能够快速构建对应的知识结构体系。以新人教版高二选择性必修第一册教材为例，在《直线和圆的方程》知识章节的课堂教学活动中，直线和圆两种图形化表征形式都能够充分激发学生的直观想象能力，并从具体问题情境中抽象出对应的函数方程概念。通过类比直线和圆的图形化特征，学生能够快速找到直线与圆之间的位置关系和数量关系，并对两者之间的距离计算方式进行有效梳理和总结分析。尤其是对于相离关系、相切关系以及相交关系三种重难知识点的课堂教学活动形式而言，在类比图形特征的过程中，可以引导学生从直观的图形化平台中发现两者之间是否存在交叉点，并对两者之间的位置关系进行详细运算和比对分析，还能够将其运算规律推导到圆和圆之间的位置关系判断思路之中。

类比图形特征，是高中数学课堂拓宽学生学习视野的主要创新教学方向，尤其通过直观形象的图形特征信息，例如，不同的简单几何图形的位置变换，类比推理出下一个图案的图形转化结果。基于图形特征的类比推理应用题目，需要从具体图像中合理分类代数和几何特征，并将图形特征的变化趋势进行类比推理分析。以给出的函数方程式和平面图像为例，则需要对函数解析式中的未知数进行类比，其中函数图像涵盖三个取值区间，不同的取值区间对应的函数图像代表了反比例函数、幂函数等不同形式，因此需要对不同取值区间进行类比，并将不同区间内的函数图像特征与解析式取值范围进行类比。根据函数图像中的有限图形特征，可以快速计算得出各个极值点的坐标值，可以对不同解析式的未知数列出三个方程，并通过数形结合等数学思想分类讨论函数解析式的多组解。基于图形特征的类比推理数学应用题，能够从多个角度考查学生对函数性质的理解和掌握能力，但是需要对取值区间对应的分类讨论结果进行推理分析，及时排除无效选项。

（四）类比知识联系，掌握知识结构

通过类比知识联系的方式，能够让学生快速掌握对应的知识结构，还能够将其拓展和延伸到其他层面之上。以新人教版高一必修第二册教材为例，在《立体几何初步》知识章节的课堂教学活动中，不仅需要重点培养学生的类比推理分析能力，还需要逐步渗透直观想象思维能力。尤其对于空间几何模型中的点线面位置关系判断类问题而言，数学教师需要与学生共同探讨和总结分析平面几何模型与空间几何模型之间存在的差异和联系，并充分运用多种教学工具和手段，引导学生类比平面和空间两大类知识体系之间的内在联系，并对比较容易混淆的空间直线与平面的平行垂直关系判定规则进行辩证性的分析和解读。通过类比知识联系的方式，也能够进一步提升和巩固学生的数学思维层次。

学生在数学课堂中的思维训练广度、深度同样重要，因此，需要合理类比知识点之间的联系，协助学生掌握高中阶段的数学知识结构体系。在平面几何中，的两边和互相垂直，则有，将其拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积之间的关系，可以得出的正确结论是：设三棱锥-的三个侧面、、两两互相垂直，则       。在对平面问题与空间问题进行类比推理分析的过程中，大部分学生会第一时间筛选出平面与空间几何特征信息，例如，多面体对应多边形、面对应边、体积对应面积、二面角对应平面角、面积对应线段长等。因此，在对三棱锥进行类比推理的过程中，学生需要类比勾股定理，将边长类比成侧面面积，即可得出。通过类比不同知识点之间的联系，可以在拓展推理空间的基础之上，有效关联不同知识体系，着重体现学生在类比推理分析过程中数学概念公式以及知识点的灵活运用思路，并在高中数学课堂中客观展示学生的类比推理步骤和经验。

结束语

对于高中学生而言，在数学课堂中培养类比思维能力，需要充分借助多种教学情境的创设方式，并对特殊的数学概念和实际应用类问题进行有效归类，才能够通过类比的方式深层次挖掘相关事物之间存在的共通属性以及相似特征。

参考文献

[1]高士勇.高中数学教学中类比推理的应用探索[J].高中数理化，2020（S1）：4.

[2]董健.类比推理在高中数学教学实践中的应用[J].数学大世界（上旬），2020（11）：7.

[3]谌述涛.高中数学教学实践中类比推理的应用[J].中学生数理化（教与学），2020（10）：40.

[4]文新善，文闻.谈类比法在高中数学教学中的应用[J].中学教学参考，2020（26）：5-6.

[5]鲁守团.浅析类比思维在高中数学课堂的教学[J].中学数学，2020（17）：79-80.

本文系福建省中青年教师教育科研项目（基础教育研究专项）“新课程背景下培育学生深度学习新教材的有效途径研究”（项目编号：JSZJ21067；福建教育学院资助）阶段性研究

成果。