数学思想方法在高中数学解题中的应用

贺海梅

摘 要：数学思想的实质，是建立在对数学本质和知识方法的探讨之上，并与学生的实际学习需要相结合而形成的一种有效的学习手段。在数学学习过程中，有一种思想方法，它可以使数学的学习变得更加容易。因此，数学思想方法是一种非常重要的方式，也是一种表现学习思想方法的主要手段。从宏观的观点来看，数学思想方法的差异所带来的不同，会对数学学习产生不同的影响，而且，它在高中数学的求解过程中，占有非常重要的位置。

关键词：数学思想；高中数学；数学解题方式

在高中阶段，虽说学生的基础知识巩固与经验技能非常重要，不过数学思想作为学习方法的统一归纳，在学习过程中所呈现的意义和作用也非常明显。因为在目前的学习阶段，数学思想通过对基础知识的分类、转化、归拢等，能够帮助学生建立正确的学习思路和解决问题的思想方法，并且树立远大的学习目标。

一、化归数学思想方法

（一）化归数学思想方法在高中数学中的应用

解析幾何的变换。总的来说，解析几何的核心是“数形结合”，也就是将几何学中的问题转换成代数，从而达到几何条件代数化、代数运算几何化的局面。将问题从复杂变得简单，将抽象的问题变得具体，使学生更容易理解问题核心，并学会优化解题过程。二次曲线一直是高考中的一个考点，对考生来说，这是一道难题。造成这种情况的原因就是，学生没有对圆锥曲线问题中蕴含的某些数学思想和方法进行全面理解，只是一味生硬盲目地解题，不善于把考试中的问题变成日常中的问题，不善于运用所学到的知识来解决新的问题，这是学生解题过程中最大的问题。解析几何的中心目标是用代数的方法来对几何问题进行分析，对于一些圆锥曲线问题，如果用代数的方法来进行计算，就会变得非常困难，但是如果将圆锥曲线运用到平面几何中，就会得到很好的解决。

数列的转化也是一道重要的题目，而数列题的求解则是数列题的核心。运用递推法，找出它的一般表达式，是近年来各省市高考的一种常见试题。此类问题的形式多种多样，但在解决这些问题时，应根据具体情况选择适当的解决方法。对于一般的递推数列，一般都可以用等差数列的方法求解。一般情况下，用递推法求解数列所用的一般方法有几种，每一种方法都有其对应的求解方法。

函数的变换。函数反映了在实际生活中，两个变量之间的联系，在解题的时候，学生可以利用对运动与变化的观察，来分析在自然界中特定问题之间量的依赖关系，将问题中所涵括的非数学条件排除掉，这样，就可以利用函数的方法，将这一类数量关系表现出来。这样就可构造函数将原来的处于静态关系下的两个量转化为具有动态关系的两个量，然后再利用函数运动的特征进行求解。在此基础上，对功能进行了动静转换，即实现了化归概念。

（二）培养学生数学化归思想的策略

深挖教科书。教材绝不只是学生得到知识信息的载体，它更是学生发展综合能力的基础，是激发学生发散性思维、发展智慧的重要工具。所以，对教材进行深度剖析，充分发掘其中蕴含的思想方法是十分必要的。化归思维是数学思想方法的精华，在数学的教学和学习中，它是一种无法避免的重要思想方法，它不仅仅属于数学这一门学科，还可以是一种超越一般数学知识，并成为一种思维方法的源泉。在高中数学教科书中，一些数学知识本身就包含了有关的化归思想方法，在这种情况下，教师要根据教科书的特定内容，将其挖掘出来。在讲解数学知识的同时，充分挖掘其背后的数学思想，从而让学生既知道了知识，又能感受到数学思想的价值。综上所述，在普通数学的教学内容中，包含了非常丰富的运用化归思想方法来解决问题的材料。数学中的许多定理、公式和规律的证明，都蕴含着化归思维的方法。稍微考察一下，我们就会发现，这种思想方法是无所不在的。所以，在教学过程中，教师要引导学生一步一步地去发掘课本中的化归

思想。

运用“变式”的教学方法。在课堂上，可以将“变式”与课堂教学相结合。“变式”训练实质上是一种化归处理的方式，而“变式”训练则是将一个不知道的问题变为一个学生已经知道的问题，再经过对这个问题的探究，最终得到答案。“变式”的思想方法就是数学中的一种思想方法。“变式”训练可以帮助化归概念由抽象变为具体，并为学生提供了解决问题的方向和思路。因此，在课堂上，我们要时刻注意“变式”的教学，加强对学生的数学思想方法的训练。

拓展解决问题的思维。毫无疑问，当一个人面对一道数学问题的时候，他会有更多的选择和解题的思路。所谓一题多解，就是要让学生能够从多个角度来考虑问题，并从多个角度来解决问题。在教学过程中，教师可以适当地采用一题多解的训练方式，拓宽学生解题思路，提高学生的化归解题能力。

学习归纳。在长期的练习和答题训练中，学生的数学思想能力一定会得到提高，可以通过日常的思维训练，来加强他们自己的思维能力。解题是进一步提升学生化归思想的一个重要途径，而学会对问题进行归纳，将有助于学生更好地掌握化归思想的途径、思路以及方法。只有在学生已有知识经验的基础上积极建构，才能真正地掌握教师所教授的数学知识。如果教师仅仅是向学生讲解化归的策略，或者是让他们机械地去复制，那他们就不可能了解化归的思想方法，更不可能将它应用于数学问题的解决。所以，教师要在数学解题的过程中创造条件，让学生去经历问题的发现、探索、讨论、求解的过程，在训练过程中，在遇到一个新的、复杂的数学问题时，学生会发现可以实现化归的方式有很多，但如果没有绝对确定的方式，就必须对每个途径进行分析，找出更好的方式，从而让学生能够灵活地使用化归思想方法。在平常的时候，教师就要对学生进行训练，让他们在脑子里想一想如何解决这个问题，然后再动手去解决，而不是在没有认真思考的情况下，就去做题。此外，在学生解决了问题之后，教师还要指导他们对自己的解题思路进行回顾、分析、总结、评价，进一步学习总结解题的方法，并把它提高到思想方法上来。通过总结，使学生对化归思想在数学解题中的重要性有一个最大的认识，从而能够对化归思想方法有一个相对的了解，从而提升自己的思考能力。总之，化归思想方法是一种重要的思想方法，对解决问题具有直观、具体和强大的作用。“形”和“数”之间的转换，“动”和“静”之间的转换，可以帮助学生更好地解决问题，帮助他们更好地掌握问题的解决方法，从而更好地发挥他们的学习潜力。

二、分类讨论思想方法

（一）分类讨论思想方法在高中数学中的应用

如果在高中数学题目中，所给出的研究对象不能按照统一的对象来进行分析和解决，就需要以特定的分类标准为依据，将所给出的研究对象划分为多种条件，并分别对每一种情形都要展开分析和研究，并将每一种情形下的分析结果综合起来，从而得出最后的答案，这被称作是分类讨论思想，它可以对数学问题进行全面的分析。在高中数学知识内容中，使用分类讨论思想的关键和困难，就是要找出一个合适的分类标准，同时要把所有的情形都考虑进去。分类讨论思想方法是一种高效地解决和处理高中数学问题的方式，它可以使研究对象变得更加简单，同时还可以提升学生的数学逻辑思维能力，促进他们的数学思维。由此，可以得出一个结论。比如：已知函数：，所以需要绘制该函数的图形，对于高中生来说，在对这类含有绝对值的函数进行分析与求解时，要清楚地知道这类函数是一类分段函数，首先要对其自变量的取值范围做一个合理的划分，再按特定的准则将函数分为三个区，每个区内的函数表现式都是不相同的，依据这些表现式绘制出一幅很好的函数图，最后，把这三个区的函数表现式综合起来，得到一个分段函数的表达式。

（二）培养学生分类讨论思想的策略

通过创设情境，引导学生进入课堂。在高中数学的教学过程中，有较多的定理、法则、公式和习题都需要选择分类讨论思想，分类讨论思想要在整个高中数学的教学过程中进行贯彻。在教学过程中，教师要与教学内容相结合，对学生的分类讨论思想进行全面的加强，让学生在各种问题的分类讨论中，对每一个问题进行简化，促进大多数复杂问题具体化、形象化、简单化。在高中数学分段函数的教学过程中，要在讲授之前，注意创设相应的教学情境，合理地引入新的课程内容[1]。比如：某城市的出租车价格是“5公里以内8块钱，其中包括5公里。如果行车距离超过5公里，但又不足15公里，则按每公里1.5元计算费用。超过15公里，每公里2块钱。”这种生活情境的问题可以有效激发学生的兴趣，这时，教师可以对学生提出问题：当一名乘客坐车行驶了9公里，他要给出租车司机支付多少元车费？在此基础上，提出了行车里程与票价的函数关系，从而利用情境让学生更有兴趣进行做题。

进行调研，树立观念。在一个生动的情境下，让学生积极地参加对部分函数的学习，并以各种类型的解析式为主要内容。在教学过程中，教师应对知识的生成和发展过程进行分析。在实际操作中，需要学生做出函数，的图像，再做出，（2，）的图像。现在，需要做一个总结。在一个函数的定义范围内，一个自变量的取值范围很大，其相应的规律也很多，这就是一个函数。分段函数是一种统一的函数，因为其自变量的取值范围与其对应的关系会有很大的差别。依照图像构建分段函数基本概念，使学生能掌握分段函数的功能。在对概念知识进行解析时，可以促进学生充分把握分类讨论思想在解决分段函数问题时的运用价值。

三、数形结合思想方法

（一）数形结合思想方法在高中数学中的应用

高中数学的研究对象，可以分为数与形两大模块。数形之间有着紧密的联系，这种联系的关系通常被我们称为数形结合结构。数形结合是一种先进的学习思想，也是一种突破传统模式的数学思想。通过数形结合的特殊理念，可以明确一些数字之间、数与图形、图形与图形之间的联系。通过数形结合的特殊理念，可以使一些数字的精确效果和一些图形的特殊属性得到明确。通过形式与数字的有机结合，可以使问题的理解变得简单，从而提高解题

效率。

（二）培养学生数形结合思想的策略

高中教材侧重于知识的传授，却并没有将其蕴含的数学内涵的观念给清楚地表达出来，因此，学生的水平受到限制，要想真正地把握住这些知识的具体内容，就必须要有教师的协助。尽管一些知识可以通过自己的理解、记忆和联系来提高，但对数学观念的领悟却不是一蹴而就的，这些意识都是要一点一滴地累积起来的[2]。

提高学生对学习的兴趣。在进行教育的时候，教师们要注意运用数学自身的美，来激发他们的学习兴趣，把抽象的数字和直观的形象联系起来，从而提高他们在学习方面的兴趣。例如在讲圆锥曲线、指数函数等数字图像时，让学生感受图像所带来的美，通过从网上找的图片，让学生沉浸于数学的这种精彩之中。在数形结合的基础之上，教师要加强对学生思维的引导。

在此基础上，加强对数形结合的思考。在解题、寻找答案的时候，我们要做的就是利用逆向思维，创造新的形象，建立新的思想，通过数形结合，来对生活中的数学问题进行归纳。

改革教育方法。按照新课程标准，数形结合的理论，在让学生解决问题的时候，他们要看到自己的教育理念，让他们知道自己的作用。不能一味地只是帮助学生解决问题，而是要让数形结合理论实现真正的意义。在数形结合的教育中，学生要学会“自主探索”“理论与实践相结合”，这就要求他们要打破过去的习惯，在用数形结合的方法解决问题的时候，要学会自己去探索，去寻找突破口。光靠听讲，很容易出现“眼高手低”的问题，最后也会落得个一事无成的下场。最好的教学，就是要在遵守基本理论的前提下，做到自主提问、自主探究，这也是现在教师们要鼓励学生去做的[3]。

完成典型例子的错误解析。教师通常使用数形结合的方式，来分析一些典型的题目，特別是对于一些比较麻烦的问题，教师可以让学生用自己的方法来尝试解决问题，在讲题的时候，教师可以通过数形结合的方式来引导学生去思考，并让他们对这些解题方法的优劣好坏进行对比，最后，就可以对有关问题进行总结和归纳。要培养学生的数学思考能力，要对数学教学的思想内涵有一个整体的把握，提倡他们自己去发现，去学习，从而做到对学习的举一反三。

结束语

总而言之，在高中生进行数学学习的过程中，教师不仅仅要重视学生对数学基础知识的理解和掌握，更要重视在思想方面的学习。通过对数学思想方法进行分析和处理，可以有效培养并提升学生的数学思想能力和创新意识，从而拓宽他们的解题思路，让他们可以做到举一反三，这对他们的数学成绩有很大的帮助，并且对他们的全面发展有着很大的影响。

参考文献

[1]项华.试论数学思想在高中化学解题中的应用[J].数理化解题研究，2023，25（1）：123-125.

[2]陈林.数学思想方法在高中数学解题中的应用[J].数学之友，2022，36（24）：61-63.

[3]陈林.数学思想方法在高中数学解题中的应用[J].数理天地（高中版），2022，33（21）：85-87.