高等数学中的数学思想及应用

摘 要：高等数学中蕴含着许多重要的数学思想，如极限思想、对立统一思想、数形结合思想等等，将数学思想运用于高等数学教学，有助于提高学生的辩证思维能力和学习兴趣，也能帮助学生取得良好的学习效果.

关键词：高等数学；数学思想；应用

高等数学以微积分为主要内容，是工程教育的核心和基础，它不仅为学生学习专业课程提供必要的数学知识、数学方法、推理计算技巧，更是培养数学素养、数学思维、应对技术更新的能力的重要载体.

但高等数学内容多且枯燥，定义、定理抽象，逻辑性强，很多学生在学习中会感到吃力，因为不理解，所以只能“死记硬背”，靠模仿来解题，上一节课难以理解将会导致更加听不懂后续内容.长此以往，将会严重影响学生学习高等数学的积极性.因此，教师有必要在课堂教学中自觉地渗透数学思想.高等数学中蕴含着很多重要的数学思想，如极限思想、对立统一思想、数形结合思想等.数学思想的应用能够促进学生对新知识的理解、掌握，为后续课程的学习打好坚实的基础，同时还能提高学生用数学思想分析实际问题、解决实际问题的能力，有利于学生的全面发展.本文从三种常见的数学思想入手，探讨高等数学中的数学思想及其应用.

1 极限思想及其应用

极限是高等数学的基础，也是贯穿高等数学整个学习过程的命脉，利用极限可以定义连续函数、导数及微分、积分等，还可以推导相关运算和性質，所以，极限思想在高等数学教学中是非常重要的.

3.3 凹凸性

对于曲线凹凸性的定义，为便于理解我们可以利用数形结合思想将抽象的定义具体化.设f（x）在区间I上连续，如果对于I上任意两点x1，x2，恒有fx1+x22＜f（x1）+f（x2）2，那么称f（x）在I上的图形是（向上）凹的（或凹弧），区间I称为曲线y=f（x）的凹区间；如果恒有fx1+x22＞f（x1）+f（x2）2，那么称f（x）在I上的图形是（向上）凸的（或凸弧），区间I称为曲线y=f（x）的凸区间.

如图5，这条曲线直观上来看是凹的，曲线上任取两点，连接两点间的弦，显然，弦在曲线的上方，取x1，x2的中点x1+x22，在中点处，曲线对应的函数值小于弦对应的函数值，也就是fx1+x22＜f（x1）+f（x2）2，即中点处的函数值小于两端点函数值的平均值，我们称它为凹弧.如图6，这条曲线直观上来看是凸的，曲线上任取两点，连接两点间的弦，显然，弦在曲线的下方，取x1，x2的中点x1+x22，在中点处，曲线对应的函数值大于弦对应的函数值，也就是fx1+x22＞f（x1）+f（x2）2，即中点处的函数值大于两端点函数值的平均值，我们称它为凸弧.

上述三个例子都是数形结合思想的体现.高等数学本身是抽象的，教师在课堂教学中要引导学生学会将抽象的数学概念具体化，引导学生学会用数形结合思想去理解概念定理，去解决数学问题，进而提高数学能力，增加学习的兴趣，这同时对促进学生的全面发展也有着重要的意义.

数学思想是数学的灵魂，是数学知识的本质，在高等数学教学中，比起数学知识，更重要的是数学思想.经过时间的沉淀，数学知识会被遗忘，但领悟数学思想会对今后的学习生活有很大的帮助，让人终身受益.授人以鱼，不如授之以渔，所以在高等数学教学过程中，教师要用心挖掘，认真整理，正确引导，科学讲解，在传授知识过程的同时，也要注重传授数学思想.这样不仅能帮助学生理解抽象的定义、定理，也能让学生在理解的基础上更好地掌握基础知识和基本技能，构建起适用于自身的高等数学学习体系.此外，这样的学习能提高学生学习高等数学的兴趣，还能帮助学生养成良好的数学习惯，培养运用数学思想解决问题的意识，从而达到既教书又育人的目的.

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