例谈几类三角形问题的解法

陈秋霞

与三角形有关的问题比较常见.此类问题的难度一般不大，侧重于考查正余弦定理、勾股定理，以及三角函数的性质和定义.常见的三角形问题有：求三角形中角的三角函數值、求三角形的边长、求三角形的面积.下面结合几个例题，谈一谈这三类三角形问题的解法.

一、求三角形中角的三角函数值

对于一些求三角形中角的大小或三角函数值问题，通常需先运用正余弦定理将三边之间的关系化为三角之间的关系；然后根据三角函数的定义或诱导公式来求得三角形中角的大小或三角函数值.

例1.

解：

由于已知 cosA 的值，要求 sin（2A + B） ，只需利用正弦定理，将已知关系式中的边化为角，再通过恒等变形求出 sinB ，即可根据二倍角公式和两角和的正弦公式求出sin （2A + B）的值.

二、求三角形的边长

求三角形的边长，通常要用到正弦定理、余弦定理、勾股定理.若已知三角形的两角和其中一个角的对边长，可以利用正弦定理求解另外一只角的对边长；若已知三角形的两边及其夹角，则可利用余弦定理求三角形的边长；若已知的三角形为直角三角形，则需利用正弦定理求边长.但是对于一些较为复杂题目，往往不能直接套用公式，这时候就需要综合运用正弦定理和余弦定理来建立方程组，通过解方程组求出三角形的边长.

例2.已知 ∠ABC = ，  AC =2  ，2AB =3BC， AD =2BD ，BDsin ∠DBC = ，试求 BD 的长度.

解：

本题较为复杂，于是先根据余弦定理求出 AB 的长；然后再用余弦定理建立方程，通过解方程①②③求 BD 的长.

三、求三角形的面积

求三角形的面积，一般要先用正余弦定理求出三角形两条边的长以及这两边的夹角的正弦值；再利用三角形的面积公式 S△BCD = absinC = bcsinA = acsinB ，即可求出三角形的面积.

例3.已知△ABC 的三个内角A，  B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 B =120° ， sinC = ， c =2，求△ABC 的面积.

解：

总之，解答三角形问题，需根据解题的需求，选用恰当的公式、定理进行三角恒等变换，以使边角互化，再灵活运用三角函数的公式、定义，以及三角形的性质、面积公式来求出问题的答案.

（作者单位：江西省赣州市于都县第二中学）