怎样运用函数的性质解题

叶建坤

函数的性质主要是单调性、奇偶性、周期性和对 称性.这些函数性质是解答函数问题的重要依据，因此 在解答函数问题的过程中，同学们只有熟练掌握并应 用各种性质，才能有效地提升解题的效率.本文重点谈 一谈函数的单调性、奇偶性、周期性的应用技巧.

一、函数的周期性

若对于任意 x ∈ R ，总存在非零常数T，使得 f （x + T） = f （x） ，则该函数为周期函数，这个非零常数T称为函 数 f （x） 的周期.一般地，T为函数的最小正周期.對于具 有周期性的函数，在每个周期内的图象、最高点、最低 点、与坐标轴的交点等都是一致的，且呈周期循环.在 解答函数问题时，可根据函数周期的定义确定函数的 周期，也可根据函数的周期确定函数的图象、最高点、 最低点、与坐标轴的交点等.

例1.

解：

根据函数周期的定义可知，函数 f （x） 是周期为2 的周期函数，于是根据x 在 [0，2） 上的解析式，即可得 到 f （0）、f （1） 的值，再根据函数的周期性，就能获解.

二、函数的奇偶性

如果对于函数 f （x） 的定义域内任何一个x，都有 f （-x） = f （x） ，那么 f （x） 就称为偶函数；如果对于函数 f （x） 的定义域内任何一个 x，都有 f （-x） = -f （x） ，那么 f （x） 就称为奇函数.所以偶函数是关于y轴对称的，其 左右两侧函数的单调性相反；奇函数是关于原点对称 的，其左右两侧函数的单调性相同，且奇偶函数的定 义域关于原点对称.运用函数的奇偶性解题，需先确定 函数的定义域是否关于原点对称；然后根据函数的奇 偶性建立关系式，或寻找图象中的对称点.

例2.

解：

因 为 该 函 数 为 偶 函 数 ，所 以 对 于 任 意 x ∈ R， f （-x） = f （x） ，据此即可求得在 - x ∈[0，1] 上函数的解析 式，再根据函数的周期性求得在 x ∈[1，2] 上函数的解 析式.

三、函数的单调性

一般地，如果对于定义域I内的任意两个自变量 x1、x2，当 x1< f （x2），那么就说函数 f （x） 在 I 上是增函数；当 x1 f （x2），那么就 说函数 f （x） 在I上是减函数.运用函数的单调性解题， 需先根据函数单调性的定义判定函数的单调性，然后 确定比较两个自变量的大小，便可根据函数的单调性 确定两个函数值的大小.函数的单调性一般用于判断 函数的单调性、求函数的最值、求函数的单调区间、比 较两个函数值的大小.

例3

解：

运用函数的单调性比较两个函数值的大小，只需 先确定单调区间内自变量的大小和函数的单调性，然 后利用函数的单调性即可得出结论.若自变量不在单调 区间内，则需利用函数的周期性、奇偶性等进行转化.

可见，一般地，我们都可根据函数的定义域和解 析式来判断出函数的单调性、周期性和奇偶性，并且 要想快速解答有关函数的单调性、周期性和奇偶性 的综合性问题，需熟练掌握并灵活运用函数的这些 性质.

（作者单位：江西省九江市第三中学）