由一道比较函数式大小题引发的思考

李宁

比较函数式大小问题侧重于考查简单基本函数 的单调性以及不等式的性质.此类问题的难度一般不 大，常以选择题、填空题的形式出现.本文以2022年广 东佛山二模卷中的第12题为例，探讨一下比较函数式 大小问题的解法.

题目：

此题目主要考查指数函数、三角函数的单调性和 图象的综合应用.要比较几个函数式的大小，需将已知 关系式进行适当的变形，灵活运用不等式的性质、构 造函数法求解.

方法一：利用不等式的性質

不等式的性质很多，如传递性、可加性、可乘性、 对称性等.在比较函数式的大小时，可将已知关系式进 行恒等变形，逐步向要比较的函数式靠拢，并根据已 知关系式的范围，灵活运用不等式的性质，确定要比 较的函数式的范围，进而判断出两个函数式的大小关 系.对于本题，可先把 e y sin x = e x sin y 等号两边的式子 拆开来看，分别比较 e x 与e y 、sin x与 sin y 的大小；然后 根据不等式的可乘性和对称性，以及正弦函数的单调 性来比较 cos x + cos y与0 大小.

解：

方法二：构造函数法

构造函数法是解答代数问题的常用方法.在比较 函数式的大小时，往往需根据已知关系式或要比较的 函数式的结构特征，构造出合适的函数模型.对于不等 式而言，通常需构造同构式.然后研究函数的单调性、 对称性、周期性、图象，并确定两个自变量，即可根据 函数的性质比较出两个函数式的大小.

解法1.

需先根据 sin x e x = sin y e y 的结构特征，构造同构式 f （x）= sin x e x ；然后根据导函数与函数单调性之间的关 系判断出函数的单调性，进而确定x、y的取值范围；最 后根据正弦函数与余弦函数的性质确定问题的答案.

解法2

我们先根据已知关系式构造函数 f （x）= sin x e x ；然后 根据极值点 π 4 ，构造出函数 F（x）= f （ π 4 + x）- f （ π 4 - x）， 将问题看作极值点偏移问题来求出 x + y 的范围；最后 根据正余弦函数的单调性比较出函数式的大小.

相比较而言，第一种方法比较常用，适用于较为 简单的比较函数式大小问题；第二种方法较为复杂， 适用于较为复杂的比较函数式大小问题.

（作者单位：山东省枣庄市第二中学）