数学史教育在高等学校中的特色与价值浅析

高翟 吴让仲

［摘 要］ 基于数学史教育在高等学校中普遍薄弱甚至缺失的现状，从若干角度分析数学史对数学、历史及相关学科学习的正面促进作用，进一步阐述本科通识教育中数学史内容在学生知识体系的完善、科学精神的建立、思想人格的培养方面的重要意义，由此提出加强数学史课程建设的建议。最后根据教学经验，给出公共选修课“数学史”课程的教学定位和内容设置方面的可行性方案。

［关键词］ 数学史；通识教育；知识体系

［基金项目］ 2019年度教育部产学合作协同育人项目“通信工程软件无线电师资培训项目”（201902291010）；2021年度中国地质大学通识教育选修课项目“简明自然科学史”（2021A61）

［作者简介］ 高 翟（1983—），男，湖北武汉人，博士，中国地质大学机械与电子信息学院副教授，主要从事信息与通信工程研究；吴让仲（1971—），男，湖北鄂州人，硕士，中国地质大学机械与电子信息学院讲师，主要从事计算数学研究。

［中图分类号］ G642.0 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-9324（2023）16-0023-05 ［收稿日期］ 2022-05-08

引言

数学是一门重要的基础学科，数学教育几乎贯穿了从初等教育到研究生教育的整个阶段。然而与之形成鲜明对比的是，数学史教育起步晚且内容零散。同时，由于高考指挥棒的作用，数学史的内容极少被归入此类选拔性考试的考点，所以在中学课堂上几乎不涉及。

数学史内容兼具文科（历史）和理科（数学）的色彩，但这样的属性除了使其在中等教育里不受重视，也让它在高等教育领域的地位颇为尴尬。一方面，对于理工科专业而言，数学和数学史的地位悬殊：大学数学的科目多、权重大，考查特别深入细致；而数学史却几乎“缺席”，仅在部分高校的数学专业中作为选修内容出现。另一方面，历史专业学生因数学基础普遍薄弱，对数学知识点掌握和应用的深度有限，因而对数学史的研究大多停留在史料层面；而且历史研究中常常将数学史作为自然科学史的一部分，但这样的定位本身有偏差，其原因是数学从严格意义上说并不隶属于自然科学［1］。以上两方面的因素，造成数学史在高等教育中的推广情况并不乐观。

一、数学史教育的现状和需求

中国的中等教育直到2005年才出现由全国中小学教材审定委员会专门审定通过的数学史教材；在此之前，数学史知识几乎都在数学教材中相应的知识点后以阅读材料的形式给出，内容十分简略。据笔者对所在高校2021年春季学期本科一年级新生的抽样调查，有高达93.3%的被调查者认为数学史知识的缺失“不影响对数学知识的掌握”，约86.7%的被调查者对数学史在当前数学教育中被边缘化的情况表示“认同”或“可以理解”，而选择“亟待调整”的问卷不足7%。由此可明显地看出数学史教育在高中毕业生群体中被严重忽视的现状。

如今高等教育普及化是中国社会的一大趋势。在该趋势下，通识教育在大学生培养中的地位日益凸显，其中学科交叉是通识教育的重要特色之一。多学科融合既是全面提升学生素质的重要方面，也是一种孕育创新的途径。数学史的特殊属性使其在通识教育中的价值变得明显，是进行学科融合的一项优质选择。

二、数学史教育的价值

数学史在中等教育和高等教育中均可发挥其跨学科培养的作用。因为高等教育脱离了高考指挥棒的局限，又直接面向社会输送人才，所以可供该学科发挥的余地较大，价值也更凸显。数学史教育的价值，归纳起来有如下几点。

（一）构建数学知识网络

数学是一门累积性学科，具有严格的论证体系：在公理化体系的基础上，新的结论必须经过已有结论的严格推理以确保其正确性［2］。数学发展到今天已经包含很多分支领域，即使不进行数学专业的研究，也必然涉及数目庞大的知识点。如此多的知识内容，在学习时很容易片面地、割裂地去对待。初等教育中的数学处于启蒙阶段，其有限且零散的知识点不便体现其系统性特征；但进入中等教育之后，数学知识逐渐以代数、几何和三角三条清晰的主线呈现，这就要求学生必须开始系统地、关联地吸收每项知识点。例如，初涉三角学时，解直角三角形常用到平面几何中的勾股定理，使用勾股定理进行计算必然要以算术平方根知识为基础，而代数中很多平方根形式的无理数在数轴上的精确定位又需要借助勾股定理完成［3］。这样以勾股定理为媒介，便搭建出几何与三角、几何与代数相互关联的例子。

到了高等教育阶段，数学课程进一步细化，分支出多个领域，以多个课程全方位呈现。一般的工科专业除了“数学分析”（或“微积分”）、“高等代数”（或“线性代数”）、“概率与数理统计”等公共必修课外，还须面对“复变函数与积分变换”“解析几何”“离散数学”“数学物理方程”“数理逻辑”“随机过程”“数学建模”等近十门工程数学课程；理科专业（特别是数学、物理专业）的数学课程比工科专业更多。内容的迅速扩充使知识传授的密度更高，角度也更全面。以积分为例，它的初步知识在“数学分析”课程中讲授，而某些特殊的积分计算在“复变函数与积分变换”课程中进行更深入的探讨，“解析几何”课程又将积分计算应用于多种二次曲面的分析等［4-5］。

从如此多的角度来学习数学是必要的。从前沿性看，它是数学理论持续发展的动力，一些世界级难题的解决也是依靠综合多分支的知识共同完成，如费马大定理的证明就是综合了代数与几何多个分支领域的知识［6］；從实用性看，各类选拔性数学考试，如高考、研究生入学考试中的拉开成绩差距的题目大多是综合性强、需要同时使用多个知识点的问题，在这类题目上失分的重要原因之一是很多学生尚未构建好知识体系，不善于从多个角度、综合多项知识处理问题，而这方面能力强的考生则容易脱颖而出。由此可见，将知识条理化、系统化应是数学教学的一个努力方向。客观地讲，构建知识网络、培养触类旁通的能力，对很多学生来说是有难度的。在这种情况之下，数学史提供了一条有效的途径协助梳理数学知识。它一方面根据时间维度，从简单到复杂，步步推理演化，阐释某个数学分支的萌发与成形过程；另一方面根据空间维度，将世界各文明的数学发展进行横向对比，明确数学在不同地域的特征，进而更清晰地认识很多数学概念的缘由。数学史通过这两个维度将对应的数学知识点有机地联系在一起，便于学生将已掌握的知识编织成网，触类旁通；这对于从容应对数学考试或者利用数学工具解决其他方面的问题均大有裨益。

（二）提升对数学的兴趣

一些学生從小学到大学（甚至研究生）全以题海战术来应对数学的学习，这就容易造成一个错觉：数学的价值似乎仅反映在一个个数学问题的解决之中，其实这是片面化的理解。如果仅仅拘泥于“解题”的层次来看待这门学科，将难以享受到数学的很多美感。2020年底，一组对笔者所在高校工科专业随机抽取的110名本科四年级学生进行的调查表明，有接近1/3（31.8%）的学生对数学存在“畏惧”态度，他们之中超过一半（54.3%）认为造成这种态度的主要原因是“解题枯燥”或“兴趣缺乏”。这项调查不论从学校层面，还是专业层面来看，被调查群体的数学能力明显高于全国大学生的平均水平。由此不难想象，如果被调查群体扩展至更一般的高校或者囊括文史类专业，调查得出的上述数值将会更高。这不禁促使我们思考，数学科目的学习时间如此之长，投入的精力如此之大，为何仍造成这么多学生对其望而却步？

其实作为启迪人类文明，伴随人类智慧发展的重要理论，数学的价值早已远远超出了解题本身。如果能够跳出此局囿，从另一个角度去认识数学，学习对应的知识点，也许能重新唤起很多人学习数学的信心，甚至进一步地发掘他们对数学的兴趣，数学史就提供了这样一个角度。例如，很多大一新生在初次接触微积分时对相关的表述符号不适应，原因之一是微积分存在两套符号。例如，表示函数y（x）的一阶导数，既可以记为y（x），又可以记为dy

dx［7］。初学微积分时对引进这种复杂的符号系统感到费解是普遍现象，而该疑惑能在数学史课程中得到很好的解释：作为微积分的两位创立者，牛顿和莱布尼茨分别定义了各自的一套微积分表达方式，它们分别应用于彼时的英国和欧洲大陆；学生可以通过横向比较这两套符号，进一步认识到作为数学史上最伟大的符号大师之一，莱布尼茨通过精心设计相应的符号，极大地便利了人们对微积分的理解和运算，从而巩固了微积分基础知识及其规范化表达。更有一些学生由此对牛顿的微积分理论产生好奇，自行查阅他的相关著作，主动感受微积分的另一种表现方式；对他们而言，数学史从历史人物的角度唤醒了他们的好奇心和求知欲，这些曾经晦涩难懂的微积分知识已然成为深入研究的兴趣点。有了这样的状态，学习效率和知识的掌握程度都可得到很大提升，这也是数学史教育想达到的最理想结果。

（三）增强文化自信和民族自豪感

辉煌灿烂的世界四大古文明中，只有中华文明的历史未曾中断而延续至今，是所有中国人的骄傲。在五千年历史长河里，中华民族在诸多领域为世界做出了令人瞩目的贡献，其中就包括数学。中国数学史是中国历史的重要的组成部分，其中既有卓越的数学家、数学著作，也有颇具特色的数学故事、数学名题。例如，著名的孙子定理（国际上又称之为中国剩余定理）出自南北朝时期的算术著作《孙子算经》，它在一千六百多年前就给出了某些一次同余方程组的解法，该成果遥遥领先于当时世界上的其他国家［8］；又如唐朝大中年间，青州（今山东境内）一带出现通过比试解数学题来选拔官吏的事，可见数学在当时知识领域的地位。学习这些历史内容，除了强化对应的数学知识之外，更能体会到先人的智慧和创造力，这对于提升民族自尊心、强化民族自豪感具有重要作用。

（四）融会贯通，提升认知高度

数学史除了与数学理论深度交融外，也具有强烈的历史属性，不同专业的学生都能从中获益。对于理工类学生来说，学习数学史有助于其从一个侧面加深对人类文明发展历程的理解；而对于文史类学生而言，则可以通过数学史，运用自身擅长的历史知识来拉近与数学的距离。正是由于兼具数学和历史的双重色彩，数学史在文科和理科之间起到了一个“杠杆”的作用，学生能够利用这根“杠杆”以自己擅长的一侧知识来促进薄弱一侧知识的学习和掌握；并有机会将不同领域间的知识融会贯通，提升对数学、历史乃至相关学科的认知高度。例如，宋元时期（960—1368年）是中国数学发展的一个高峰，其间涌现出许多优秀的数学家，如被称为“宋元四大家”的杨辉、秦九韶、李冶和朱世杰；那么为何明朝以后中国数学的原创性贡献迅速减少？单从数学的角度无法回答这一问题，但若联系历史知识答案则变得明朗——中国从明朝开始实施八股取士，数学基本脱离了人才选拔机制，故而社会地位降低，其发展自然受到抑制。这种状况直接导致自明朝中后期开始，中国在数学和自然科学领域渐渐落后于西方，科技实力的落后造成国家整体实力下降；而与此同时，西方（特别是欧洲）对学术的开放和包容态度使其数学遥遥领先于世界其他地区。虽然我们不能将近代中国的衰落完全归咎于明清两朝对人才的选拔制度，但其中的历史教训不可谓不深刻。事实上，自近代以来，中国的数学家一直不甘于落后的状况，开始大量借鉴西方数学；虽然过程曲折，但仍为当今中国数学的发展奠定了基础。学生在学习数学史时如果能以类似的方法来思考问题，不仅有助于培养自身的跨学科思维能力，对一些关键性问题的理解能得到巩固和升华，而且可以清晰地了解中国和西方数学水平的差距，从思想上激发学生为国家科学事业奋斗的动力。

（五）树立榜样，培养科学精神

很多数学概念、知识中包含人名。在数学发展的漫长历史进程中，一系列关键的历史人物总是特别引人注目。那些名字伴随着他们的成就流传千古，为后世所铭记。熟悉数学史中的人物能帮助我们理解其在数学领域的贡献，不过其价值远不止于此；在数学史课程的学习目标中，这些名家大师的生平及其研究过程带来的启示更值得品鉴。这里有几个最具代表性的例子：（1）《原本》是古希腊最重要的数学著作，它的作者欧几里得对几何学的热爱十分纯粹，不带任何功利性。当托勒密国王问他学习几何是否有捷径可走时，得到的回答是“几何学无王者之路”，这是一种端正的学习和研究态度［9］。（2）中国古代数学家祖冲之仅用笔和算筹等原始工具，竟然将圆周率值精确到小数点后第7位，领先西方世界千余年，这体现出极大的细心和毅力［10］。（3）欧拉在双目失明的情况下依然坚持科学研究，仅论文就发表了几百篇，表现出其与命运抗争的顽强意志［11］。（4）罗巴切夫斯基顶住学术保守势力的巨大压力，在开创新几何领域的过程中坚持宣传和捍卫自己的研究成果，其不畏权威、勇于开拓的品质最终得到世界的高度认可［12］。他的名字也因“罗氏几何”（即双曲几何）而被后世铭记。

以上这些数学家以自身对数学的热爱、推动数学发展的决心、天才的灵感和对科学精神的坚持而永载史册，至今仍是激励人们学习的优秀榜样。数学史对数学家的立体刻画可以让学生从一个个生动的故事中得到启迪，鼓舞学生沿着先贤探索的足迹继续奋发前行。

三、“数学史”课程的可行性方案

高等学校的课程安排自主性强，在各门课程的师资配置、学时数、内容筛选等方面没有统一的要求。不同高校实施时可因地制宜，根据授课条件、学生基础、教学方式等因素来进行优化。这里根据笔者在“数学史”课程上的教学经验，对一种适用面较广的可行性方案进行讨论。

（一）课程内容安排

数学史在整个人类知识体系中地位较为特殊：它既是数学的一个分支，也是科学史下属的诸多类别之一；它不仅包括具体的数学内容，而且涉及历史、哲学、文化、政治、经济等社会科学与人文科学内容，是一个具有文理交叉特色的领域。“数学史”丰富的内涵本应通过充足的课时系统性地讲授，但高校一般在公共选修课上都有学时方面的限制。如笔者所在高校将此类课程限制在32学时以内，推荐时长仅为24学时左右。如此有限的课内时间只能支持“专题性选讲”，即以该领域的少量知识点为中心进行一定程度的扩展，因此专题立足点的选择极其重要。为了能够较为全面、立体地刻画出数学史的体系轮廓，需要三个“兼顾”：时间上兼顾古与今，空间上兼顾中与外，领域上兼顾相邻课程。以空间上的兼顾为例，教学内容中既需要囊括西方数学的发展，又应当包含中国数学曾经的成就与现状。前者占据了近现代数学成就的中心位置，其在数学史中的地位显而易见；后者能让学生更全面地了解中国历史，更清晰地认识华夏先贤的智慧，由此对学生进行潜移默化的思想教育，故而同样不可或缺。通过总结多轮教学实践经验，整门课程可设置8个专题，每个专题分配大约3学时，围绕其核心内容作适当延伸，如表1所示。

（二）课程定位

高校数学专业和历史学专业因其自身属性，可能对“数学史”有较高要求，将该课程设置为较长学时的专业课（必修或选修）。而如果按照前文所述，以24学时左右的短学时来设计该课程，那么其适用面能覆盖几乎所有专业。“数学史”课程之所以受众面广，绝大部分学生都能够选修，是因为它对于前导课程并无太多要求。一方面，完成义务教育阶段的学生对中国历史和世界历史的主线已有基本了解，进入大学后学习新的历史知识一般不存在障碍，甚至有额外的兴趣。另一方面，数学作为高中“三大主科”之一，和语文、外语一样是所有高中学生必修且高考必考的科目；即使是难度较低的高中文科（文史财经类）数学，其知识也能满足修习短学时“数学史”的基本要求；况且截至2021年，已有部分省份的高考数学试卷不再分文理科，这意味着高中在文科数学方面的要求进一步提高。因此，大学本科各年级学生均可选修“数学史”，这门课和对应数学知识修习的先后顺序完全可依据个人条件和喜好而定。对于个别数学基础过于薄弱的学生，如果仍感到数学史中涉及高等数学的内容较难理解，则不妨先完成1～2个学期的本科数学课程（如“微积分”），学习后再选修这门课，对应的知识将更容易消化。

结语

既然“数学史”是一门文理交叉的课程，那么它的培养目标也就体现在文理两个方面。从“文”的角度看，数学史增加了历史的厚度，通过数学发展的历程反映出人类智慧的进步、思维的创新，通过展示不同地域人们的思维特点来更全面地诠释不同地域的文化，使文史专业的学生学有所获。从“理”的角度看，数学史增添了数学的色彩，拉近了学生与数学的距离；特别是通过史料中数学人物的研究历程，了解对应数学理论的来龙去脉，明确数学某一分支领域的成长过程及其知识点间的有机联系，为学生展现出历史上数学家对灵感的捕捉方法与对问题的思考模式，进而让学生在效仿的基础上有所启发，为未来的研究工作做一定的铺垫，这种铺垫对理工专业的学生很有益处。在进行实际课堂教学时，可根据课堂内学生的专业分布特点制定不同侧重的内容与讲解方式，以学生擅长的背景知识作为引导消除畏难情绪，并在讲解主干内容时有意识地填补学生的知识短板，力图通过一轮完整的教学活动让所有参与的学生都能感受到数学和历史的交融，体会到“数学史”这门课程独特的风格与魅力。

参考文献

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Abstract： Based on the wide ignorance and even absence of mathematical history education in colleges and universities， this paper analyses the promotion brought by mathematical history on the study of mathematics， history and some other related courses from several points. Then the effects of this course in general education on improving knowledge system， establishing scientific spirit and cultivating personality are further stated， from which the suggestion of enhancing its curriculum construction is raised. According to teaching experiences， an applicable scheme of mathematical history as a public optional course is finally provided， including its settings on attribute and content.

Key words： mathematical history; general education; knowledge system