数形结合助力小学生数学学习理解的教学实践——以“数射线上的分数”为例

◎ 蒋 娟

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》对数学的课程性质明确表述为“数学是研究数量关系和空间形式的科学”。数学课程目标进一步强调发展学生运用数学知识与方法去发现、提出、分析和解决问题的能力（简称“四能”）。数学课程内容组织，需要重视数学内容的直观表述，处理好直观与抽象之间的关系。学生的学习应是一个主动的过程，要促进学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能，体会和运用数学的思想与方法，获得数学的基本活动经验。［1］数形结合作为小学数学中最为普遍应用的思想方法之一，对学生数学知识体系的构建起着非常关键的作用，它对“促进学生数学学习理解的优势主要体现在两个方面，一是提高数学记忆功能，二是图形语言有利于提升学生抽象数学思维能力。”［2］教师需要充分了解数形结合思想的内涵，理解其对学生数学学习的重要价值，才能正确将数形结合运用于教学中，从而发挥良好的效果。

一、数形结合思想的内涵阐释

不论是数学理论探讨，还是教学实践研究，数形结合思想及其应用都已经有了较长历史，而对于数形结合思想的内涵，却一直没有统一的界定。不过普遍都是从“数”和“形”两者的特征和关系来进行解释的，认为“数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法，数形结合中的‘数’是指数、代数式、方程、函数、数量关系式等，‘形’主要是指几何图形和函数图像等”。［3］数形结合的应用一般分为两种形式，一种是将抽象的“数”通过具体的“形”来表现的“以形助数”，另一种是借助数的精确性来阐述形的性质的“以数解形”。

二、数形结合对小学生数学学习的价值与意义

教师在教学实践中有意识地渗透数形结合思想，引导小学生学习数形结合的方法，对促进小学生数学学习有着非常重要的价值。

抽象知识的形象化，能够降低数学概念的学习难度，增强学习的趣味性，提升学习效果。数学知识内容的高度抽象性，对学习兴趣受到感性认知影响强烈的小学生而言，显得晦涩又枯燥。教师如果利用图形将抽象的数学知识转化为具象化的内容，能够帮助学生降低学习难度，更准确地把握问题的关键，进而有效地习得知识和学会问题的解决。

数学方法日常的渗透，能够帮助学生去理解和解决数学问题，锻炼他们的逻辑思维能力。相较于数学知识的教学，小学数学教师更应注重数学方法在日常教学中的渗透，让学生学会并内化方法，学会、掌握并习惯运用数学思维方法解决问题，这不仅仅能够帮助学生更顺利地解决数学问题，更是一种良好数学思维方式的培养。

三、运用数形结合促进小学生数学学习理解的教学实践

本文以沪教版《数学》四年级第一学期“整理与提高”单元中的“数射线上的分数”教学为例，呈现数形结合在小学数学教学中的具体实践与思考。

（一）理清概念，分析教材与学情，明确学习起点

“数射线上的分数”是小学阶段最后一节分数教学课，是对分数内容的整理与提高。而数射线作为一种学习数的工具，学生从进入小学开始就会接触，比如数的认识、数的大小比较、整数的加减，都是借助数射线开展学习的。学生要学会在数射线上找到计数单位，能直观地比较数的大小，进行数的加减计算。把数射线作为学习工具，在教材的编排上是有连续性的。

“数射线上的分数”这部分学习内容，对于四年级的学生来说，已经有了在数射线上进行整数的大小比较和加减计算的能力，再向前迈进一步，改变“计数单位”（原来的计数单位是1，现在变成几分之一），将技能迁移到在数射线上进行分数的大小比较和加减计算显得顺理成章。因此，运用数射线来进一步开展分数学习，能够帮助学生初步尝试数形结合，建立分数计算的数学模型，解决实际问题。

（二）复习引入，引导学生对接已有学习经验

在引入环节，教师考虑到学生已有的数射线知识还是在一年级时学习的，所以设计了从复习出发，回顾以往学习中数射线的作用，并为了对接分数学习主题，着重复习“计数单位”，以及数的大小比较，数的加减计算的本质——“计数单位”个数发生了变化。

例题 2<4，因为当计数单位是1 的时候，4 里面有4 个1，2 里面有2 个1，所以2<4。

3+4=7，在原来3 个1 的基础上加上4 个1，得到了7 个1，所以等于7。

虽然通过回忆学生能够很快就对数射线的概念和运用熟悉起来，而且在前一阶段的学习后对分数概念也建立起了较好的基础，但根据经验判断，学生对“在数射线上表示分数”的学习还是存在一定困难的。原因可能在于，从长度模型中用分数表示长度，要转化到数射线上用分数表示位置，这个迁移过程对四年级学生来说跨度较大，因为“计数单位”可以根据研究问题的需要发生变化。因此，为了帮助学生顺利过渡，教师设计在“数射线上表示整数”复习中体验“计数单位”的个数变化。

（三）活动探究，指导学生迁移学习改造原有经验

图1

在正式教学环节，教师设计了在“数射线上找分数”活动，引导学生迁移在数射线上找整数的方法，在数射线上找分数。首先在媒体中，大家一起先寻找一个分数，口述寻找的过程：将0—1 这段数射线平均分成5 份，从0开始向右数3 份，这里的计数单位为，然后让学生继续寻找其他的分数。

在这个环节，教师不仅要关注学生是否能够准确找到分数值在数射线上的位置，还要重点引导学生理解数射线上找分数与找整数的主要区别：要将单位1 平均分得到分数单位。通过这个环节，引导学生经历和感受计数单位从整数到分数的变化，在原有对数的理解结构中螺旋上升做出调整。同时，在教学过程中，通过让学生描述找分数的过程，锻炼学生使用规范的数学语言表达的能力。

活动2：分数的大小比较

通过学生分组活动，尝试解决两个不同类型的分数大小比较问题，探究借助数射线解决分数问题的过程。

经过活动1 的练习后，学生已经掌握了在数射线上准确找出分数位置的方法，进而再尝试通过位置比较，来确认两个分数的大小关系。在解决问题中发现，同分母的分数可以在一条数射线上表示，比较的是相同计数单位的个数，个数越多数就越大；同分子的分数可以在两条数射线上表示，再对计数单位的大小进行比较，相同数量的计数单位，计数单位越大，数就越大。因此有：

活动3：分数的加减计算

当准确理解和把握数射线上计数单位变化的规律后，再解决分数的加减问题学生就会觉得轻松。例如，在数射线上，把0—1 这段平均分成7 份，每格是，计数单位就是，先找到，往右跳3 个，跳到，结果就是。

在问题解决过程中，学生在数射线上准确定位分数时知道了这里的一格表示几分之一，进一步明确计数单位是几分之一，再次深入体验到和自然数相比，计数单位如何发生变化。

（四）观察对比，引导学生归纳总结加深学习理解

在前期学习中，学生已经学习过借用分数墙来进行分数的大小比较以及加减计算的方法。本节课再指导学生用数射线来解决同样的问题，为了能够引导学生感受和深入思考，教师设计了问题反思环节，让学生通过讨论和表达，激发更多的思考。

师：既然有这么多方法来解决这些分数的问题，特别是分数墙和数射线很相似（见图2），那今天我们为什么还要使用数射线呢？

图2

教师引导学生观察、对比。学生自己总结表达了利用数射线来解决分数问题的优势。

（1）在数射线上出现的分数可以直观地进行比较，不仅仅局限于同分母和分子。

（2）在数射线上做分数的加减可以更加直观地看到计算结果。

（3）在一条数射线上可以表示很多分数，可以表示比1 小的分数，也可以表示比1 大的分数。

（4）分数墙中的一条只能表示同一分母的分数，如果要表示不同分母的分数要另外叠加一条。不同分母的分数越多，这堵墙会越来越高，但是不同分母的分数却可以在一条数射线上表示。

（5）在数射线上表示分数没有局限性，可以表示出所有的分数，以后也可以表示所有的小数。

教师通过引导学生对所学不同知识之间的观察、对比与思考，尝试列举并归纳观点，不仅加深了学生对数射线解决分数问题的方法理解，初步建立起分数计算数学模型，还更深层理解了数形结合这一思想在数学学习中的优势。

（五）延伸拓展，指导学生在问题解决中锻炼数学思维

数学是为了培养学生理解与解释现实世界的思考方式的学科。要让学生能够在数学与现实世界之间建立起逻辑联系，需要从小学阶段就注重学生在问题解决过程中数学思维能力的培养。为了对本节课学习效果进行反馈，也为了能够让学生进一步运用数形结合思想方法解决问题，教师在教学的最后环节做了如下设计。

拓展活动：小丁、小巧、小亚要包装礼物，小丁拿走整条包装绳的，小巧需要剩下包装绳的，那么小亚能够拿到整条包装绳的多少呢？

根据教学经验，通过列式解答的方法，会有不少学生在理解过程中出现偏差，甚至有部分学生会无从入手。而经过本节课前面部分的学习，学生自然会想到运用数射线来辅助解决问题。如图3 所示，将0—1 这段线段看作包装绳，将它平均分成4 份，然后取走它的，然后把剩下的包装绳平均分成6 份，取走后，就能发现小亚能够拿到剩下包装绳的，也就是整条包装绳的。

图3

借助数射线直观地解决了问题，让学生再一次感悟了数形结合思想方法的便利性与有效性，有助于强化学生在今后解决同类问题时方法的迁移意识，促进学生数学思维的初步养成。

四、教学反思

“数射线上的分数”一课的教学是一次数形结合思想方法的渗透，课堂上，教师引导学生积极地尝试学习。借助形的直观表现，初步实现分数概念从“过程”到“对象”的转变，让学生体验分数知识可以从动手操作、观察实物中去学习，让学生在观察、比较和归纳的过程中，不仅对分数这部分学科内容有了抽象的认识，同时，还在数形结合方法的经历过程中，初步尝试了建立分数计算数学模型来解决实际问题。在小学生数学教学中，教师有意识地进行数形结合方法的运用，帮助学生建立形和数的联系，有助于培养学生的数感，提高学生对数学知识的敏锐度。通过启发式的教学活动，激发学生的学习兴趣，促进小学生数学学习理解，提高学生分析解决数学问题的灵活性。