求多元等式条件下最值问题的方法探究

何东

摘 要：基本不等式是解决最值问题的一种重要方法，其中含有多元条件等式的问题是典型的一类.这类问题的处理可以为学生展示很多的解题技巧.基于具体题例，结合多年的教学经验，试图呈现求多元等式的七种方法：等价变形、特值利用、多次放缩、消元转化、替换变形、分解换元、结构换元.

关键词：多元等式；基本不等式；求最值

用基本不等式解决某些含有多元等式条件的最大值或最小值问题是一种常见手段，但由于有些题目的结构复杂，条件隐晦，导致问题难度增大.这类问题的解答需要学生具备扎实的基本功和一定的解题技巧，这就需要教师在平时的教学中给予学生规范的解题方法指导以及给学生提供有一定量的典型题目的训练.本文从介绍常用解题方法的角度，以研究具体题例的求解方法为索引，解说一般问题的破解方法，希望给读者朋友有一点帮助.

以Δ=b2-4ac≤0且a＞0，则4c≥b2a，于是M=a+2b+4cb-a≥a+2b+b2ab-a=1+2ba+b2a2ba-1，由于a＜b，令t=ba-1＞0，则M≥（t+2）2t=t+4t+4≥8，当且仅当t=4t，即b=3a，c=94a時，M取到最小值8.

点评：本题解法中，对变形后的式子的某个部分（特殊结构）进行换元处理，能够凸现出某个特定的解题形式，由此可以进一步引导、启发下一步的求解.

例14 已知正实数a，b满足1（2a+b）b+2（2b+a）a=1，求ab的最大值.

分析：由于ab=ab1（2a+b）b+2（2b+a）a=a2a+b+2b2b+a，可令2a+b=x，2b+a=y，所以a=2x-y3，b=2y-x3，故而ab=2x-y3x·2（2y-x）3y=2-13yx+2xy

≤2-23yx·2xy=2-223.于是，当且仅当y=2x时，ab有最大值为2-223.

点评：由于题中给出的条件式中分母的结构相对复杂，故而对分母进行换元是必要的选择，这样就能转化式子结构，通过重新整理变形，就显现出了可使用基本不等式的特殊模型，为后面的成功解题创造了条件.

上面是通过对若干个典型题目的分析研判，获得了符合具体所解问题实际的解题技巧，多数是常见且实用的.可以看到，在解题中利用基本不等式是解决含有多元等式条件的最大值或最小值问题的重要方法，当然还需要许多其他方法的配合.需要注意的是，含有条件等式问题只是诸多运用基本不等式求最值问题中的重要一类，其他还有多种题型.