数学文化融入高中三角函数的教学设计研究

蔡雪慧

【摘要】近几年高中数学的教学工作中，数学文化一词的使用频次越来越高，教师对数学文化越来越重视，体现出数学人文价值的创新认识以及数学课程教学观念的创新变化.将数学文化融入课堂的教学活动中，体现了文化的教育价值，体现了数学文化的生命力.从数学化的角度关注数学教学的内容创新，挖掘数学文化的教育价值，这为高中数学教师的教学活动开展开启了一个特殊理解数学的角度和窗户.特别是在高中新课程标准中，也体现了数学文化教育的重要思想和理念，强调了数学与生活以及其他学科之间的联系.将数学文化和教学结合起来，可更好地让学生感悟数学的文化价值、应用价值、审美价值.本文围绕着数学文化和三角函数课堂融合的相关问题进行探讨，希望能够给教学工作人员带来一定的借鉴价值.

【关键词】高中数学；三角函数；教学设计

三角函数是高中数学教学的重要内容之一，在高考中依然占据着重要的位置.学生在学习三角函数过程中存在较多的困难，需要教师深度挖掘三角函数的教学创新模式，了解三角函数的解题教学方法，进一步给学生讲解三角函数的发展历史故事，丰富课堂教学的内容，提升学生的学习兴趣.教师应结合数学文化的相关教育思想理念，将数学文化与三角函数教学之间有效融合起来，让学生对三角函数的学习有一个清晰的认识，提升课堂效率.

1 纵观数学发展历史文化，体会数学思想变迁

在漫长的历史发展过程中，数学家们的智慧和汗水凝聚了数学的发展历史，数学教科书的编制与学生的认识发展、学科发展的关系密切相关.从数学的发展和思想的变化来看，把数学的发展和知识有机地结合起来，既能使学生更好地了解数学，又能引起学习的共鸣，还能使数學的历史和文化在教育领域广泛流传.三角函数章节是高中第一章关于循环函数的系统性研究，也是高中数学学习的重要组成部分.但由于学生对三角函数的认识，不能很自然地跨越到圆弧和任意角度的三角函数，这就是三角学的起源和发展过程，以三角学的历史为载体，让学生了解三角学的发展和思想的变化，激发学生的学习兴趣，为接下来所学内容打破认知壁垒.

最早的三角函数是因为天文观察的需要，古希腊天文学家依巴谷（又译喜帕克斯）在地球上建立了一个坐标系，他画出了有史以来的第一张弦表，他还是首位把圆圈和对弦的数值用图表表示出来.依巴谷又被誉为“三角之父”.

到了15世纪，在文艺复兴时期，三角学也出现了.德国数学家雷格蒙塔努斯首先把三角学与天文分离开来，他于1464年出版了5册《论各种三角形》，第一次完整而独立地阐述了三角学.奥地利数学家哥白尼的弟子雷蒂库斯，把传统的弧和弦的关系改成了角的三角关系，从而对正弦的概念进行了修改.这是一个重大的突破，它使三角学的定义不再局限于一个给定的圆周的长度.16世纪，三角学与天文学科正式分开，成为一门独立的数学学科.

随着数学的发展和微积分的产生，函数方法，如三角函数等，逐渐受到重视.法国数学家阿尔伯特·吉拉德首先用字母sin、cos和tan来描述三角函数.角度的60进制与10进制相比，在计算功能上不太方便，所以有人提出了一种新的测角方法，弧度法就这样诞生了.英国数学家罗杰·柯特斯首先提出了“弧度”这个概念，他并没有给出rad这个标志，而是指出了“分数”可以代表任意角度，可用1r表示.瑞士数学家欧拉明确地提出了弧度系统的概念，1748年，在欧拉所著《无穷小分析概论》中，提出了用圆的半径作为测量弧长的单位，即圆周角度等于2π弧度，1弧度等于周角的12π，这样就可以将曲线和曲线的测量结合在一起.

2 引导学生感受数学之美，发现数学魅力

在三角函数的学习过程中，教师可以引导学生感受数学的魅力，可以感受图形变化的美妙，而这些教学内容的引入都离不开数学文化的融入.首先是弧度制，体现出数学的简洁美.在平面的度量单位中，公共角的度量单位包括弧度、角度、百分制等等，弧度的出现可以简化计算，可以方便建立数学模型，教师可以给学生展示相关的三角函数弧度制的文化和发展过程.

比如：扇形弧长公式（弧度）：I=αR；

扇形面积公式（弧度）：S=12αR2=12IR.

当函数的参数以弧度表示时，受单位“1”的一致性影响，三角函数的平移、伸缩变换都能在形式上体现出数学的简洁性.

例如 函数y=sin（x+1）+2的图形，可通过将正弦函数y=sinx向左平移1个单位之后，再向上平移2个单位所得到.

当函数的参数以弧度表示时，由于单位“1”的一致性，三角函数可以和其他函数简洁地在同一平面直角坐标系下展现图象关系，如图1所示.

当函数的参数以弧度表示时，产生极限公式：limx→0sinxx=1.

根据大众的审美来看，具有各个方向上的中心对称图形，可以给人和谐简洁的美感.三角函数在很长的一段时间研究内都是在单位圆中进行的，因此也被称之为圆函数.三角函数给人以简洁自然的美感，通过单位圆定义任意角的正弦函数、余弦函数可以将单位圆上的弧投影到坐标轴上，使整个函数运动起来.而这样的运动过程就能体现出动轨迹以及函数的几何美.

3 引导学生领会数学文化之用，形成数学解题思维

《普通高中数学课程标准》（2017年版，2020年修订）提出，要加强数学与生活、其他学科的关系，提高学生运用数学的能力，使学生认识到数学的实用价值.高中学生已有主观能动性，可以在某种程度上对事物做出价值判断.通过对数学应用价值的认识，可以使学生更好地理解数学，更好地理解数学在各个方面的渗透和实用，从而提高学生的学习兴趣.三角函数是一门独立的数学分支，在测量、天文学、物理学等方面都具有很大的应用价值，这也是数学三角函数的起源.自希腊以来，数学已经与人们的日常生活融为一体，许多数学知识都是从日常生活中汲取和运用到日常生活中去的.数学教育应贴近实际和社会，使学生了解到数学是无处不在的.在课程中，数据计算、概率统计、生活测量、运筹规划，这些都是与生活息息相关的.为了实现“生活化”的数学课堂，必然会引起教师的行为模式的改变和改变.在教学方式上，教师要采取多种教学方式，引导学生从生活中引进生活题材，向现实问题提出相应的知识，使学生能够更好地把生活问题变成数学问题.通过建立模型来提高学生应用数学知识解决问题的能力，从而提高学生的学习兴趣和积极性.

例如 弧度制在军事方面的应用如图2所示.

在融入数学文化的教学活动中，教师可通过设计良好的教学情境，调动学生学习的积极性.在教学过程中，教师给予更多教学文化内容的展示.让学生主动参与到教学活动中，有利于引导学生进行积极思考，把握住学习的内容本质.比如，在关于三角函数概念的相关情形教学活动中，教师可以引入弧度制的历史发展故事，将实数和角的集合建立起一一对应的关系，也为学生学习单位圆、建立三角函数概念提供了重要的基础，这是后续数学学习函数、微积分中最重要的角度量单位.教师可以以三角学的发展为背景，通过问题解决和三角学的历史相交融为教学的情景.

比如 以不等式sinx＜x为例进行分析：

在教学目标方面，需要引导学生理解弧度的概念，掌握弧度制和角度制之间的换算方法，能掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义，培养了学生数学抽象思维逻辑思维的推理能力.能够在感受三角函数数学发展历史的同时，掌握弧度的概念以及角度的换算.

在教学中，教师引入初中所学习的三角函数知识，比如，sin30°=12，然后引出问题：能用30°和12做比较吗？学生开始思考，发现两者之间的关系，一个是60进制，一个是10进制，进而引入数学文化.在早期，正弦值并不是大家所熟知的sin30°=12形式.教师在白板中展现古希腊天文学家托勒玫在其著作《天文学大成》中绘制的弦表.

然后展示60进制计算的复杂性，给学生引入10进制的计算方法和历史发展，比如，教师展示计算40°的正弦值步骤（图3）：

步骤：①在弦表中找出弧长为80°角，和对应的弦长值：77°8′5″，图3中的AB弦长对应的角∠AOB =80°和弦AB=77°8′5″；

②将弦长AB转化为10进制：

AB=77+860+8602≈77.13472222；

③列出算式计算40°的正弦值：

sin∠BOG=0.5AB60≈0.64278935.

4 借助数形结合，活跃理性思维

教师在关于三角函数的集体教学活动中，可以引入数形结合的教学方式，让学生掌握更多数据学习的解题技巧和方法.数形结合的思想方法也属于数学文化的重要部分组成内容，在培养学生推理能力和解决三角函数的实际问题方面发挥着重要的作用.

例如 利用数形结合证明不等式：

sinx＜x＜tanx，x∈（0，π2）.

首先，考虑构建三角形和扇形的面积关系，这样可简洁表达出不等式的关系，主要重点内容是弧度制、三角函数线、面积的巧妙构建，如图4所展示.

接下来，教师借助三角函数线和弧度建立“形与数”的对应关系（如图5所示），角α与AB与等长线段OB′与自变量x与正弦线BG与函数值y的关系.

5 结语

总之，数学文化不仅关系到学生的数学素质教育培养，还关系到学生的文化素质.因此，在高中数学教育中，应用多元的教育策略，可以改变学生的学习态度，调动学生的学习兴趣，促进他们对数学的认识，提高他们的学习效率.教学中，形成一套动态的、立体的数学思维系統，让学生能够从容应对高考的压力，也能受益一生.

参考文献：

［1］李文琳.高中数学新教材中函数部分的比较研究［D］.广西师范大学，2022.

［2］赵忆.数学文化融入高中数学教学的行动研究［D］.扬州大学，2022.

［3］张倬华.数学文化融入三角函数单元教学的案例设计［D］.河南科技学院，2022.

［4］吴景珠.高中数学教学中“数学文化”渗透策略探析［J］.高考，2022（12）：72-74.

［5］伊丽娜.高中新版数学教材“三角函数”部分比较研究［D］.华东师范大学，2022.