基于大概念的小学数学教育

北京市西城区教育研修学院 刘克臣

随着发展学生核心素养的提出，教育培养目标也逐步明确。对于数学教育而言，落实数学核心素养培养目标的关键是明确学科的组织结构，用少量的、关键性的知识实现对更多内容的统整。这里“少量的、关键性”的知识就是我们说的大概念，即“一引其纲，万目皆张”的“纲”。

我国基于大概念开展教育教学的研究始于高中课程标准的颁布，并提出大概念统摄下的单元教学研究的具体操作模式。随之，对“大概念＋单元教学”模式的研究不断升温，成为教育研究的热点，并辐射到小学数学教育。随着《义务教育数学课程标准（2022年版）》的颁布，基于大概念开展教学成为新一轮教学改革的突破口。

一、大概念的理解

现在普遍被大家认可的大概念，亦称“大观念”或“核心观念”。它并非学科课程的某一具体的知识性概念或名词，而是集中反映学科本质，具有持久性和迁移性，能将离散或琐碎的不同主题和知识进行“有意义”的“粘连”，从而帮助学生真正理解知识。

在教学领域，威金斯和麦克泰格是较早对大概念进行详细阐述的两位学者，在Understanding by Design（《追求理解的教学设计》）中对“什么是大概念”进行了解释。他们将大概念形象地比喻成“辖”，辖是一种配件，能够使车轮固定在车轴上。“辖”是让学生理解的必要条件，抓不住关键思想以及不能将大概念与相关内容知识联系起来，留给学生的就只能是一些零碎的、无用的知识。

大概念是伴随核心素养提出的，那么到底该如何界定数学大概念呢？在课程标准中，只有生物学科给出了明确的学科大概念定义：“大概念是处于学科中心位置、对学生学习具有引领作用的基础知识。”从生物学科界定上看大概念处于众多概念（知识）的中心并且具有引领作用，由此笔者马上联想到了蜘蛛网，而大概念就是这个网的中心。

二、数学大概念的认识及提炼

（一）数学大概念的认识

借鉴其他学科的概念理解，目的是通过理解实现迁移。相比较而言，在普通高中数学课程标准中并没有明确学科大概念，并且不同学者对数学大概念的理解和认识存在差异。查尔斯（Charles. R. I.）将数学大观念定义为对数学学习至关重要的观念的陈述，是数学学习的核心，能够把各种数学理解联系成一个连贯的整体。澳大利亚维多利亚州教育和儿童早期发展部指出，大概念应当落实到实践中去，并可以在活动中观察。作为学科大概念的子集，数学大概念深刻体现了大概念的本质内涵：结构、联系和迁移。

大概念的“大”不是绝对的，而是相对的，可以有宏观层面、中观层面以及微观层面的大概念。宏观大概念是中观和微观的上位概念，更具有普适性，微观大概念则更具体。比如，“简易方程”单元，宏观层面的大概念界定为“具体和抽象对立又统一”，中观层面的大概念是“符号语言是科学表达的重要基础”，微观层面的大概念是“符号使数学具有普适性”。

（二）数学大概念的提炼

数学本身具有严密的逻辑结构，这种结构有赖于大概念的联结。图1是由美国科学教育标准制定委员会撰写的《新一代科学教育标准》中的大概念金字塔模型，从中可以看到，一般的学科事实性知识和具体概念被界定为“小”概念，这为教师提炼大概念提供了重要标准。处于金字塔顶端的是哲学视角的大概念，这和我们要研究的学科大概念相距甚远。跨学科大概念主要包括模型、系统、结构、功能等。跨学科概念的学习，能够在一定程度上模糊学科之间的界限，使各个学科之间建立联系，有利于学生将所学知识迁移应用至不同的情境。未来的数学教育将从小学阶段开始进行数学建模的学习，跨学科大概念将成为引领其发展的重要内容。

图1

就数学教育的现实和研究基础看，目前小学数学教育教学的核心任务是提炼数学学科视角的核心概念。

国外有些学者已经进行了对中小学数学大概念的提炼，如Elementary and middle school mathematics teaching developmentally（《中小学数学教学的发展》）一书中提出了16个数学大概念：

发展早期的数概念和数感；发展运算；培养基本事实的流利性；发展整数位值概念；加法和减法的策略；发展乘法和除法计算的策略；代数思维；方程和函数；发展分数的概念；发展分数的运算；发展小数和百分数的概念和小数的计算；比率、比例和比例推理；发展测量概念；发展几何思维和几何概念；发展数据与统计的概念；探索概率的概念；发展指数、整数和实数的概念。

这样具体的提炼方式值得借鉴，因为其具有很强的操作性。但是，相信很多教师看到这样的提炼会不够满意，这和我们追求的理想的大概念有一定的差距。如果用这些作为核心、引领的大概念显然有点儿“空中楼阁”的感觉，很难体现其作用和价值，而且没有充分体现出结构性、可迁移性和发展性的特征。另外，由于各个国家的课程体系也存在差异，因此大概念的提炼需要结合具体内容本土化。

要落实核心素养遵循 “核心素养→学科核心素养→课程标准→大概念→教学目标”的技术路线，就要用大概念实现内容标准和教学目标的联结。国内学者对如何提取大概念有很多研究，邵朝友、崔允漷指出，大概念主要还是来自内容标准。确定内容标准后，可用四种常见的策略来确定大概念：（1）寻找内容标准中一再出现的名词或重要的短语，将此作为大概念；（2）用追问的方式确定大概念；（3）用配对的方式产生大概念，即对内容标准中的概念进行配对；（4）用归纳的方式获得大概念。对于这样的概括，笔者认为前三个策略在操作中比较容易，但是有“碰运气”的成分，过于机械。归纳的方法是理性的方法，通过归纳找到大概念能体现出其结构性和迁移性的特点，但是这样的策略只指明了途径，如何归纳才是关键问题。对此，笔者提出以下两个提炼策略：

1.自上而下的提炼策略

所谓自上而下进行大概念的提炼，可以认为是一种主动的做法，即依据学习中的某个上位知识分解出不可或缺的组成部分，这样层层递进从而提炼出不同层面的大概念。

以“有理数的认识”为例，哪些能作为大概念呢？依据其价值和作用，笔者认为数轴是统领有理数的大概念，而自然数、十进制、分数和负数则是围绕数轴这个大概念的下位的“小”概念。自然数的产生完全是基于现实生活表达的需要，使人们的表达经历了由具体到抽象的过程，也可以说数学由此产生了。十进制概念的确立，使自然数有了向无穷大发展的依据，而分数则使数向无穷小方向发展，负数的出现则实现了有理数的封闭，至此完整的数轴形成（见图2）。

图2

2.自下而上的提炼策略

所谓自下而上就是依据学习的内容向上梳理的过程，这样的梳理过程需要关注概念之间的包含关系以及关注数学的本质，从而梳理出明确的数学大概念。下面是“小数除法”单元大概念的提炼过程：

“小数除法”单元内容覆盖了小数意义、计数单位、进率、小数性质等多个主题概念。在计算小数除法的过程中，无论移动小数点的位置，还是在小数的末尾添0继续除，其实都是在保证上一级计数单位不够除有余数时，可以在下一级计数单位继续平均分。当除数是小数的时候，利用商不变的性质，将小数转化为整数，其目的也是减少计数单位级别，使其平均分更直观。为了达到突出主线（算理）、加强关联和梳理结构的效果，不难发现“小数除法”单元的大概念是“计数单位的细化”。

本单元大概念的提炼聚焦于运算一致性，运算一致性的解释需要借助算理。理解算理是数学课程标准中对运算教学的重要要求。对于小数除法而言，“除”的过程就是“单位”不断细分的过程，这也是除法的本质。

三、大概念统摄下的教学实施

基于大概念开展教学是未来数学教学的方向，也是实现贯通培养的重要抓手，在实践中往往强调单元教学的方式。因为，具有抽象特征的大概念的获得需要一段时间的学习，单个课时的时间较短，学生在短时间内并不能获得对大概念的理解。

在教学实践过程中，基于大概念的教学应注重遵循以下原则：

（一）以培养核心素养为目标

基于大概念进行教学时，对于大概念的提炼要站在学科发展的视角，其中最有指导意义的就是数学核心素养体系。数学核心素养是贯穿整个数学课程的核心目标，因此围绕数学核心素养提炼大概念可以保证学科教学的贯通发展。

（二）融于真实情境

以大概念统摄的教学需要将数学与真实的问题情境进行结合，将知识与学习融于真实情境中，使学生能将所学知识应用在真实的情境中，实现对知识的理解和迁移。

（三）突出自主建构

基于大概念统摄的教学目标是希望学生理解大概念，通过对特定现象的认识，发现一般性规律，并能举一反三，迁移应用去认识和理解其他事物。因此在教学中，教师要提供充分的学习活动空间，并能适时进行整体反思，让学生形成完整的知识结构。

大概念统摄下的教学是未来各个学科、各个学段共同研究的重点。对于数学学科而言，在大概念的内涵和外延都不是十分清晰的前提下，需要各学段的教师秉承共同的理念开展研究与实践，才能实现大概念统摄教学的目标。