变式教学让数学概念从理解走向深入

山东省烟台高新技术产业开发区益文小学 慕振亮

变式教学在数学教学中应用较为广泛，上海华东师范大学顾泠沅教授在2021国际数学大会上介绍了关于变式教学的“青浦经验”，将数学变式细分为概念变式和问题变式。这两类变式虽有不同，但其相同属性都是通过适当变式凸显不变的因素。我们常说“万变不离其宗”，“宗”便是问题的本质。概念变式是为了让学生更好地理解概念的本质。数学概念作为小学阶段数学判断和初中阶段逻辑推理中的基础，学生只有真正理解其内涵，才能灵活运用数学概念，才能掌握数学基础知识及运算技能，发展判断推理和空间想象能力。在数学教学中，一个很重要的教学内容就是以核心数学概念作为主题的教学内容。本文就应用变式对数学概念教学做了一些努力和尝试。

一、灵活借用变式教学关注数学概念的生成

要理解和形成数学概念，首先要把握这个数学概念的内涵，也就是概念“质”的特征，表示概念的本质含义是什么。概念的外延，即对象“量”的范围。如以角的概念为例，在初中角的定义为具有公共端点的两条射线组成的图形。在这里，“公共端点”“射线”作为认识角的概念的基本特征，其本质特征就是具有顶点和两条边，张开角度的大小、两条边的长短这些外延的特征并不能改变角的本质属性。

数学概念通常以文字的形式表述，也有的数学概念借助符号来表示。数学符号也是表达数学概念的重要形式，使用数学符号语言可以助推学生对数学概念的生成和理解，可以将数学概念的思维过程变得简约和明确。如在低年级用图表示和建立两个数量间的关系，可以将其变化为用数学的文字语言对数量关系进行等价描述，用含有字母的等式来描述方程意义的语言表示。三者之间虽然形式不同，但本质意义相通，通过建立三者之间的联系，建立数与形一一对应的数学思想。再如“鸡兔同笼”问题，可以用一年级的画图法、二年级的拼凑法、三年级的假设法、高年级的方程法来解决，通过画的方法来促进算的办法，借助列表法来列方程，也就是假设计算法和画图法是一种方法，解方程和拼凑法是一种方法，通过具体的画图和拼凑，达到高阶的计算和方程。如此，从某种角度讲，画图和拼凑才是高阶思维的源泉。因此，数学概念的形成过程中往往穿插着文字、符号、图形等多元方法。

在实际操作中，如何更好地促进概念的生成？在变式教学中有哪些具体的做法呢？首先，创设一定的变式情境，面对具体现实问题，需要对特定情境进行重组和创造。教师通过一些实物、例子或模型，引入数学概念，从丰富的材料中抽象出数学概念，让学生经历从形象思维到逻辑思维的转变、从粗浅感知到严谨概括的过程。在数学概念引出之时，往往会借助一些“像这样的……是什么”的范式来定义概念。如在引入分数、负数的定义时，通过让学生举例来认识和理解一种新的数，引出分数、负数等概念。不过需要注意的是，丰富的感性材料虽然能拉近数学知识与生活的距离，但最终的落脚点要落在抽象的数学对象上。因此，教师要在大量的现实举例中甄别出数学概念的非本质特征，抓住数学概念的本质特征，或者说概念内核应是变式教学创设情境的重点。

不同的层次和发展水平的情境导入可以帮助学生对情境进行分析和甄别，启发不同水平的学生进行差异性活动。依据创设情境的层次性，教师需要在编制问题时，设置合理的梯度，将情境调整到合适的“层次差距”，使学生在层次性情境中逐步发展。比如，针对一年级的“几”和“第几”的问题，教师可以创设有层次的情境，通过变式提问让学生进入情境。如图1中：（1）谁是队列中的第四个人？（2）写出Sal在队列中的序号；（3）如果Joe离开队列去找另一本书，谁会变成队列中的第五个人？学生会通过变化的人数，认识几和第几等数学概念，进一步厘清数学概念的本质问题。

图1

二、运用变式教学关注数学概念的理解

在对数学概念进行定义以后，教师要适当地运用相对应的辨析题，通过一系列的变化来让学生掌握概念的本质含义。在分析辨别数学概念时，有很多时候需要借助一定的数学推理、假设验证，才能发掘出概念的内涵，揭示其本质。如正比例的定义，两种相关联的量的变化是一致的，两种量的比值是一定的，那么我们就说这两种量是成正比例的量。反之，如果两个量之间的比值是变化的，或者两个量的变化不是一致的，即不符合一个量增加，另外一个量也随之增加，那么这两种量就不成正比例，它们的关系就不是正比例关系。因此，判断概念是否形成首先是要掌握概念的几个关键要素。由此，教师可以设置相对应的变式辨析题，从概念的几个特征及其非本质特征开始，帮助学生理解和掌握正比例的本质要点。

在变式教学过程中，可以通过改变一两个特征，让学生在变式中区分所提供的条件是否符合概念的含义，从而掌握概念的本质。如在方程的概念生成后，若要判断给出的式子是否是方程，只需把握“未知数”“等式”两个关键特征。针对这两个特征，教师可以设置辨析题，比如，判断下列式子是不是方程：（1）x+7；（2）14+6=20；（3）x÷5<30；（4）2x+6>18；（5） 4m+m=35；（6） 18+2y=360。在变式中理解概念，需要掌握概念的本质特征，为解方程打下基础。借助这样的概念判断可以帮助学生加深对方程等基本概念的把握，通过比对概念的本质特征与非本质特征，让学生在辨析中理解和把握数学概念的本质。

三、加强运用变式教学，使数学概念得以深化

数学概念是数学思维的起点，也是培养学生解决问题能力的最基本单元。只有将平时学习的数学基础知识、基本概念理解透彻，才能在解决问题的过程中透过现象看到本质，从而梳理归结问题的核心所在。要深化理解数学概念的变式教学，一是运用数学语言对数学概念进行多元表征，将数学概念和数学思想方法相结合；二是设置开放和发散思维的问题，让学生掌握概念之间的关联。

对数学概念的多角度理解，可以借助很多数学思想，如数形结合思想，通过变化看待数学对象的角度以及表征对象的方式，对数学对象进行多角度解析，达到进一步深化数学概念、理解数学概念本质的目的。如正比例，用文字语言描述就是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两个量所对应的数比值一定，它们的关系就是成正比例关系；用符号语言表示就是=k（k一定）；用图形语言描述就是画一个正比例图像。这就将同一个数学内容用不同的数学语言描述出来了。

此外，教师还可以通过编制开放性的问题来实现数学概念的拓展和深化。在教学中，基于问题进行变式，将做过的题目进行改编，通过增加条件或减少条件，将改编的要求、背景和过程告诉学生，可以帮助学生发现不同知识之间的联系，进而找到解题的突破口。通过一题多解、一法多用和一题多变的形式让学生理解数学概念之间的关系。选取“母题”进行拆解和重新组合，可以让学生深化对概念的理解，帮助学生多角度、多层次地思考，从而提升学生的数学思维和关键能力。通过变换表征形式，可以突出概念的本质，设置变式训练让学生实现对数学概念的多角度理解，完成对数学概念理解的进一步深化，这也是过程性变式教学功能的体现。

教师可以利用基本图形进行拓展变换来达到培养学生的空间观念和创造能力的目的，借助基本图形的变式操作，呈现连续、动态、有层次的递进运动变化过程。如在图形平移过程中抓住方向不变，变的是距离；在图形旋转过程中，抓住旋转点固定不变，变的是旋转的方向。学生在动手操作、体验过程中逐步理解和掌握变式图形之间不仅仅是形式上的变化，更是将几何对象的本质属性从复杂的非本质属性中凸显出来，深化了对概念的理解。在标准图形变式和非标准图形变式中，从两条直线垂直的位置关系来看，引申为非标准图形变式就是将互相垂直的两条直线通过延长找到垂足。如画普通三角形的高，先是标准图形变式，引申为非标准图形变式就是在钝角三角形的底边延长线上作钝角三角形的高线。再从标准图形变式为平行四边形和梯形，通过改变图形让学生了解多边形的本质含义，通过改编数学概念的非本质属性，达到让学生理解概念的本质属性的目的，进一步培养学生的发散性思维和创新意识，深入理解和把握数学概念，从而落实数学学科素养，实现数学的育人价值。