初中数学章起始课教学的实践与思考

杜印朝 康珂楠

摘   要：章起始课是一章的起点，具有统领全章的作用。教师在进行章起始课教学时，应该在剖析学情、研究教材的基础上，具有整体观、基本套路观、思想方法观，只有这样才能真正发挥章起始课的价值，在提高课堂效率的同时发展学生数学思维，让学生学会思考、学会学习，从而促进学生数学核心素养的发展。

关键词：章起始课；单元整体；核心素养；相交线

中图分类号：G633.6    文献标识码：A    文章编号：1009-010X（2023）14-0031-05

章起始课作为一章的第一课，统领全章，在教材中具有特殊的地位和作用。教师对章起始课的教学，应该让学生对本章的知识结构有整体感知和了解，进而把握全章的知识主线和研究方法。正如外出旅游一样，导游往往会在一开始就向游客介绍基本行程，包括要游览哪些景点、怎么去、如何游览、耗时多长等，让游客心中有数。章起始课也有类似的作用，在新一章知识的一开始，就让学生了解本章要学什么、为什么学和怎么学等问题，能为后边的连续学习打下知识技能和思想方法的基础。因此，笔者认为章起始课应立足单元整体视角展开教学。下面以人教版七年级下册第五章第一节“相交线”为例，阐述笔者对章起始课的教学实践与思考。

一、背景分析

学生在七年级上册已经学过的直线、射线、线段和角的相关概念，以及线段和角的度量与大小比较等知识，学生对图形有初步的认知，具备一定的空间观念和数学基本活动经验，但对概念学习的一般过程比较模糊，运用严谨规范的推理论证方法经验不足。本节课的学习内容包括邻补角、对顶角的概念获得、性质探究和应用提升，同时让学生对整章的知识框架和整体目标有整体把握，这些知识是以后继续学习的基础，同时其学习方法可以迁移到以后其他图形的研究中，思考问题的方法甚至可以应用于其他领域。鑒于以上分析，采用单元整体的视角设计本节章起始课是可行且有意义的。

二、教学实践

（一）情景导入，整体感知

1.情景导入：老师用幻灯片播放章头图（纵横交错的道路图片），让学生思考这些道路给人们什么形象？再次让学生寻找生活中、自己身边的相交线、平行线的实例，比如教室中黑板面相邻的两条边、相对的两条边、操场上的双杠、中国象棋棋盘上的横线和竖线等等。

教学分析：让学生从生活中的实物抽象出相交线、平行线，体会数学和生活的密切联系，培养学生用数学的眼光观察现实世界的意识。

2.整体感知：引导学生回忆以前学过的一些平面图形的相关知识（直线、射线、线段和角），了解本章研究的主题（相交线、平行线、平移等），明确研究图形的一般方法（位置关系和数量关系）。

教学分析：让学生明白要学的知识从哪里来、要到哪里去，初步了解全章的知识框架和学习目标，感悟局部和整体的关系。

（二）数学活动，抽象概念

1.观察剪刀剪纸的过程，引入两条相交直线所成的角

问题1：（老师展示一把张开的箭刀），同学们观察一下它给我们什么样的形象？

学生容易发现给人们两条相交直线的形象。

问题2：（老师演示用剪刀剪纸的过程，图1），请同学们观察剪的过程中剪刀两个把手之间的角发生了什么变化？剪刀刀刃张开的口又怎么变化？

教师引导学生发现握紧把手时，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刃之间的角边相应变小。

教学分析：让学生经历从剪刀剪纸抽象出两条直线相交的过程，让学生直观理解所学的数学知识及其现实背景，培养学生从实际情景中发现和提出数学问题的能力。

2.探究角的位置关系

问题1：任意两条直线AB、CD相交于点O，说出形成几个角（小于平角）？

老师画图2，学生易发现形成4个，老师在图中标出∠1、∠2、∠3、∠4.

问题2：这4个角每两个组成一对， 一共能组成几对？

学生易得到共6对，为∠1与∠2、∠1与∠3、∠1与∠4、∠2与∠3、∠2与∠4、∠3与∠4.

问题3：这6对角按照位置关系分类，可以分成哪几类？

学生经过独立思考、合作交流后，把这6对角分成下表中两类。

教学分析：调动学生的主观能动性，让学生在试着分类过程中初步感受这些角的位置特点，并让学生体会分类思想。

问题4：我们为什么这样分类，每一类角有什么样的位置关系？

教师引导学生首先以第一类中的∠1与∠2为例来研究。观察它们的位置特点，感知它们的“相邻”关系，按照组成角的两个要素——顶点和边的位置关系进一步说出它们有公共顶点，有一条公共边OC，它们的另一条边OA与OB互为反向延长线。

追问：分类一中另外3对角是否也具有这种位置关系呢？

师生共同得出邻补角的概念：有一条公共边，而且另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角。

问题5：分类二中这2对角在位置上有什么共同的特点？

教师引导学生以∠1与∠3为例来研究，按照研究第一类角的方法，首先感知它们有“对顶”的位置关系，进一步观察它们的顶点和角的位置关系，发现它们有公共顶点O，没有公共边，∠1的两条边分别是∠3的两条边的反向延长线。

追问：分类二中另一对角是否也具有这种位置关系？

教师引导学生用规范的语言表达对顶角的概念：有一个公共顶点， 而且两边分别互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。

问题6：邻补角、对顶角有什么共同的特点？

学生易发现它们都是由两条直线相交所成的角，都是成对出现的。

教学分析：让学生首先直观感受邻补角、对顶角的位置关系，然后引导学生理性分析，从组成角的两个要素分析它们的位置关系，最后归纳概括出邻补角、对顶角的定义，符合学生的认知规律，有利于学生形成科学的思考方法。

3.找一找

（1）找出图3中的对顶角

（2）找出图4中的邻补角

教学分析：设计这组练习是为了让学生辨析和掌握邻补角、对顶角的概念，培养学生的识图能力，感受几何直观。

（三）合作探究，总结性质

问题1：互为邻补角的两个角数量上有什么关系？

教师引导学生以∠1与∠2为例研究，由补角的定义易得到：邻补角互补。

问题2：互为对顶角的两个角数量上有什么关系？

教师引导学生以∠1与∠3为例来研究。教师首先引导学生直观观察，然后合理猜测∠1=∠3，再然后使用量角器分别量出∠1与∠3的度数得后到∠1=∠3.

追问：能用说理的方法推出∠1=∠3吗？

师生分析思考后，用数学符号展示：

因为∠1与∠2互补，∠3与∠2互补（邻补角定义），所以∠1=∠3（同角的补角相等）。

类似地有∠2=∠4. 总结概括后得到：

对顶角的性质：对顶角相等。

教学分析：探究对顶角的性质，让学生经历观察、猜测、动手操作、推理论证的探究过程，体会分析问题和解决问题的一般方法，培养学生讲道理、有条理的思维习惯，渗透从特殊到一般的思想，发展学生的数学核心素质。

（四）一题多变，知识迁移

1.课本原例题

例1：如图5，直线a、b相交，∠1=40°，求∠2、∠3、∠4的度数.

师生共同分析后写出规范的解题步骤。

2.课本例题变式一

如上图，直线a、b相交，若∠1=m°，求∠2、∠3、∠4的度数.

3.课本例题变式二

如图，直线a、b相交，若∠2是∠1的3倍，求∠3的度数.

教学分析：首先应用邻补角和对顶角的性质进行计算，对本节课的重点知识进行巩固和强化，同时培养学生用规范的数学语言书写过程的能力。其次通过一题多变，让学生对所学的知识进行迁移，培养学生创新性思维，促进学生应用能力的提高。

（五）学以致用，解决问题

1.判一判

（1）有公共顶点的两个角是对顶角。（   ）

（2）相等的两个角是对顶角。（    ）

（3）若∠1+∠2=180°，则∠1和∠2互为邻补角。（   ）

（4）两条直线相交所成的四个角中，有公共定点且没有公共边的两个角互为对顶角。（    ）

2.练一练

（1）如图6，三条直线a、b、c相交于点O，则∠1+∠2+∠3=           .

（2）如图8，直线a、b相交，若∠1∶∠2=2∶7 ，求∠3的度数。

3.想一想

如图7，要测量两堵围墙所形成的角的度数，但人不能进入围墙，你能帮助解决吗？

教学分析：“判一判”是为了进一步辨析对顶角和邻补角的定义；“练一练”是对对顶角、邻补角及前面知识的综合应用；“想一想”需要把实际问题转化成数学问题，蕴含数学建模的思想方法，这道题有不同的解决方案，可以培养学生的创新意识，发展学生的核心素质。

（六）课堂小结，反思建构

老师引导学生完成以下表格（表2），并回忆学习概念的一般过程：情景—概念—性质—应用，研究过程中用到了由特殊到一般、数学建模等思想方法。

教学分析：老师引导学生梳理归纳本节课所学习内容，符合“整体—局部—整体”的认知规律，帮助学生归纳反思所学知识及思想方法，建构新的知识结构。

三、教学思考

（一）章起始课要有整体观

章起始课具有承前启后、开山引路的作用。通过章起始课的教学，要让学生对本章的内容框架、知识特点有整体认识，形成全局观念和系统思维习惯，又要让学生对后续的学习内容和学习方法了然于胸，增强学习的预见性和主动性，提高学习的效率和质量。

单元整体教学正是遵循了“整体—局部—整体”的认知规律，按照“总—分—总”的路径开展教学。就是首先从整体入手，以单元起始课帮助学生形成对整个单元的整体认知；然后在整体感知的基础上，进行分课时的探究学习；最后再回到整体，以单元复习课帮助学生形成更高层次的认知结构，引导学生迁移应用本单元所学的数学知识解决问题。本节课首先通过章头图、章引言这个“先行组织者”，从实际情景中抽象出相交线和平行线，然后引出本章内容总的学习框架和学习目标，最后过渡到相交线这一局部的学习任务中，让学生在学习过程中“既能看到树木，又能看到森林”，有助于学生对知识的理解和掌握。

（二）章起始课要有基本套路观

人们认识事物的过程有一定的规律和方法。每个研究数学对象内部都存在着一定的逻辑关系，不同的研究对象之间也存在着很多共性和通性。章建跃博士曾指出，無论是代数教学还是几何教学，都要重视基本套路的教学，以提高课堂教学效率，培养学生的系统思维习惯。立足单元整体视角下的教学应该体现基本套路教学的思想，引导学生了解一个知识的发生、发展过程，认识它的呈现形式、结构特点、发展方向等，感悟学习它的基本环节和一般步骤，形成知识学习的基本套路，从而将本节课获得的学习经验、基本套路迁移到后续同类知识的学习中，达到提高学习效率、发展核心素养的目的，而章起始课无疑是非常好的时机。

本节课在学习邻补角的概念时，引导学生从组成角的两个要素（一个顶点、两条边）上考虑，学习对顶角的概念时采用相同的思路进行，感悟相似内容研究套路的一致性。学习邻补角、对顶角的一般路径是：情景—概念—判定—性质—应用，其实后边垂线、平行线、三角形、四边形、函数等知识的研究也具有相同的套路。这种相对固定的研究套路是我们认识数学对象的有效方法，教学时要合理运用这些基本套路，培养学生系统思维的习惯。

（三）章起始课要有思想方法观

数学思想是在数学活动中解决问题的基本观点和根本方法，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，并在认识活动中被反复运用，具有普遍的指导意义。章起始课作为一章的第一课，示范引领作用明显，我们更应该注重通过教学揭示知识的本质，挖掘蕴含在数学知识中的规律和思想方法，提高学生对所学知识及所用方法的认知水平，逐步提升学生自主思考的意识和能力。

本节课通过设置剪刀剪纸的情景，引出了两条直线相交及所成四个角的内容，体现了引导学生在真实情景中发现问题和提出问题的原则。在研究对顶角的性质时，引导学生先后经历对两个对顶角的大小进行直观观察，对结论合理猜测，动手用量角器测量验证，进行演绎推理等环节，最后归纳得到“对顶角相等”这一结论，帮助学生积累了数学基本活动经验，感悟了分析问题和解决问题的一般方法。在练习测量两堵墙形成的角度（不能进入围墙）一题时，引导学生通过构建数学模型来解决问题，培养了学生模型观念和应用意识。这些教学行为都蕴含了研究数学的一般方法或思想，为后续的学习打下了良好的基础，促进了学生数学核心素养的发展。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，要重视单元整体教学设计，体现数学知识之间的内在逻辑关系，促进学生对数学教学内容的整体理解与把握，逐步培养学生的核心素养。单元整体视角下的章起始课的教学设计正是基于此理念的有益探索和尝试。

参考文献：

［1］曹一鸣.数学教学论［M］.北京：高等教育出版社，2018.

［2］张伟俊.单元整体视角下综合与实践的教学探索［J］.中学数学教学参考（中旬），2021，（7）：11～13.