以建模为主线聚焦核心素养

方舒祎　章建荣

摘要：文章以培养学生数学建模核心素养为例，选取北师大版高中数学必修二教材中的三角函数习题进行建模设计，使学生在整节课中充分参与数学建模的各个环节，促进学生对数学基础知识的掌握和内化。

关键词：三角函数；数学建模；核心素养

数学习题可以帮助学生巩固课堂学习内容，是学生发展数学核心素养的重要途径。因此，教师要在把握高中数学习题课的教学特点和核心内容的同时，对学生进行针对性引导，使学生能够积极、主动地投入习题课的学习中，从而提高数学习题课的教学效果，发展和培养学生的数学思维，实现学生的全面发展。

数学建模是对现实问题进行数学抽象，要求用数学的眼光观察实际问题，用数学的思维思考实际问题，用数学的语言提出问题，建立模型，检验结果，完善模型，最后达到运用数学模型解决实际问题的目的。基于此，笔者以培养学生数学建模核心素养为目的，进行习题课的教学设计。

笔者选取北师大版高中数学必修二教材中三角函数习题中的“货船进出港时间问题”，并进行改编，在原题目的基础上增加了适量符合实际问题的数据，帮助学生找到合适的数学模型。同时，笔者在原题目的基础上增加了卸货问题，使得问题情境更加符合现实情况。在教学过程中，笔者引导学生合作讨论，开展探究式学习，并为学生准备坐标纸等教学工具，帮助学生厘清数学建模的主要环节，从而建立正确的三角函数模型。在这个过程中，学生能有效锻炼分析数据、处理数据的能力，提高数学运算能力和数学语言表达能力，数学建模核心素养也能得到培养。

一、教学内容分析

“货船进出港时间问题”是北师大版高中数学必修二教材第一章三角函数复习题中的问题，考查的是三角函数的简单应用。三角函数作为刻画周期变化规律的重要模型，是培养学生数学建模核心素养的有效载体。“三角函数的应用”是三角函数概念、图象、性质等知识的应用和延续，笔者以潮汐现象作为引入，选择学生能够理解且较为熟悉的货船进出港情境，通过数学建模的探究活动，提高学生的数学应用能力和数学建模核心素养，同时促进学生对三角函数相关知识的理解和运用，并为后期学习回归分析奠定好基础。

二、教学目标分析

基于教学内容和学生的学情，笔者设置本节课的教学目标如下：第一，结合实际案例，学生学会将实际问题抽象为三角函数模型，并用三角函数知识解决问题；第二，学生经历完整的数学建模过程，明晰数学建模的基本流程，体验三角函数的应用价值，感悟数学知识与生活之间的联系。

三、教学重点与难点分析

本节课的教学重点为三角函数的建模与应用。本节课的教学难点为根据实际问题选择合适的数学模型刻画变量关系。

四、教学过程设计与实录

（一）自然现象的情境导入

笔者播放视频《钱塘江大潮》，由著名潮汐现象——钱塘江大潮引入新课。笔者再播放视频《潮汐现象产生的原因》，让学生了解这个神奇的自然现象产生的原因。

设计意图：笔者以生活中的自然现象导入，调动学生学习的积极性，让学生感受大自然的神奇和魅力，深化学生的爱国情怀。此外，学生通过科普视频了解潮汐产生的原因，能促进学科间知识的交融，并了解到潮汐现象是一个周期现象，为后续的数学建模作准备。

（二）合作探究数学建模（课堂实录）

1.聚焦问题，探究变量

笔者提出三个问题。问题1：通过视频可以了解到潮汐现象一天出现几次？有什么特征？问题2：这里有两张港口在涨潮和退潮时的延时摄影图片，请大家仔细观察图片，找一找在涨潮和退潮过程中有哪些量在改变？问题3：货船应该选择什么时候进港，什么时候出港？

设计意图：在整个教学过程中，笔者引导学生用数学眼光看实际情境，用数学的思维思考问题；通过分析每天涨潮与退潮的次数，为后续数学建模提供依据；通过引导学生选择合适的变量进行研究，方便后续建立符合情境的数学模型；通过分析问题得出为了避免搁浅，货船要选择合适的时间进出港，从而得出需要研究水深与时间的关系的结论，自然而然地进入如何解决实际问题的下一环节。根据这三个问题，教师将实际情境中的问题变成了研究数学变量间关系的问题，培养学生分析问题的能力。

2.收集数据，梳理变量

探究活动1：为了了解一天中某港口水深随时间的变化需要收集哪些数据？在探究完成后，教师给出这个港口17个整点所对应的水深，如表1所示。

探究活动2：如何研究时刻与对应水深这两个变量之间的关系？

設计意图：笔者引导学生学会用数学思维分析变量关系，了解建立数学模型的前提是针对实际情景找出合适变量，然后针对变量收集数据，再根据数据分析变量关系。当学生得出变量间有函数关系后，笔者带领学生回顾函数知识，得出运用图象研究函数的结论。这个过程环环相扣，培养了学生分析问题、解决问题的能力。

3.图象直观，刻画变量

在本环节，笔者向学生发放印有网格直角坐标系的学案，学生通过小组合作将给出的17组数据画入该直角坐标系中，完成画函数图象中描点的环节，并请一个小组代表上台展示。

设计意图：学生利用图形直观感受到随时间的变化，水深呈现“初始位置－涨潮－平衡位置－落潮－平衡位置”的两次周期变化。

4.数据优化，模型拟合

探究活动3：如何拟合函数模型？

学生完成画函数图象过程中的连线环节后，思考两个问题：第一，用直线将相邻的两点连接，用分段函数大致反映水深随时间的变化可行吗？第二：如何更准确地刻画水深随时刻的变化情况？

教师发放有49个数据的散点图的纸张给各个小组，请学生再次进行连线，每个小组请一个学生展示图象并说明理由，选择y=Asin（ωt+φ）+h的函数来拟合水深与时间之间的函数关系。

设计意图：这是数学建模环节最关键的一步，通过两个思考问题，学生学会通过分析散点图得出两变量的变化趋势，并紧扣周期性找到合适的函数模型，拟合两变量之间的函数关系，明白三角函数是研究周期现象的重要模型。

5.数学建模，确定参数

学生合作探究完成参数的求解过程后，笔者请一个学生讲述求解过程，并最后归纳数学建模的主要环节，即聚焦问题、探究变量；收集数据，梳理变量；图象直观，刻画变量；数据优化，模型拟合；数学建模，确定参数。

设计意图：在利用现实数据的时候，笔者合理地优化数据，方便计算和研究，提高学生的数学运算能力，在学生得到函数模型后，笔者带领学生再梳理一遍数学建模的具体过程，再次感受数学建模思想，加深学生对数学建模的认识。

（三）学以致用，数形解模

实际应用1：一般情况下，船舶航行时船底与海底距离不小于4.5米时是安全的，如果货船的吃水深度（船底与水面的距离）为7米，那么该货船什么时间段能够安全进港？

设计意图：笔者让学生感受三角函数的应用，体会数学应用于生活的过程。在解决问题的过程中，笔者始终引导学生运用数学语言来表示情境中的变量关系，将实际问题转化为数学中的解不等式问题，并在解数学不等式的过程中，呈现出一题多解的过程，培养学生的发散思维。

实际应用2：对某条货船而言，其相应吃水深度为7米，安全间隙是4.5米，该船在2∶00开始卸货，12个小时内要卸完货，吃水深度以0.375米/小时的速度减少，即便没有卸完货也要及时驶入深水域，该货船应该在什么时刻停止卸货？

设计意图：本题需要选择合适的函数模型来刻画吃水深度关于时间的函数关系，再次数学建模，培养学生数学建模的核心素养。这个环节强调实际情境中的2∶00开始卸货应该如何用数学语言表示，培养学生将实际问题转化为数学问题来解决的能力，能提高学生分析问题、解决问题的能力。不仅如此，在解决数学问题时，学生能再次感受数形结合解决复杂函数不等式的解题方法。

（四）课堂小结

回顾整节课，学生先欣赏了自然现象，得出了实际问题，然后通过收集数据、分析数据、模型拟合进行数学建模，最后利用模型解决问题。整个过程蕴含了数形结合的数学思想，涉及的数学核心素养有数学建模、数学运算、逻辑推理。

（五）课后作业

笔者布置课后作业：“南昌之星”摩天轮总高度为160米，直径为153米，同学们可以利用周末的时间去体验一下。当坐上摩天轮后，你能大致计算出自己在不同时刻距离地面的高度吗？请尝试数学建模得出离地距离关于时间的函数模型。

五、课堂反思

笔者通过选取教材习题中的“货船进出港时间问题”，让学生感受数学建模思维形成的“数学化”与“再创造”过程。笔者对教材中的习题进行改编，不仅增加了数据数量，使学生充分感受两变量之间的变化规律，还增加了卸货时间问题，更加贴近现实生活，让学生感受到数学来源于生活又应用于生活。在教学环节中，笔者为学生准备坐标纸，让学生充分参与数据的整理环节，通过实际情况结合散点图感受周期性，从而选择合适的函数模型刻画变量之间的关系。

在本节习题教学中，笔者采取分组合作探究教学法，使学生充分感受数学建模的主要过程，并且体验三角函数的应用价值，感悟数学与生活的关联性。

參考文献：

[1]赖淮进.核心素养导向下高中数学建模与培养策略探讨[J].数理天地（高中版），2022（19）.

[2]潘冬丽，何正文.基于核心素养的高中数学建模教学的实例探究[J].教学考试，2023（2）.

[3]李猛.关于高中数学建模教学的实践[J].新课程教学（电子版），2022（22）.

[4]刘天明.高中数学建模教学策略的实践研究：以三角函数模型为例[J].数学之友，2022（22）.

[5]张双平.浅谈数学建模思想在高中数学教学中的应用[J].数学学习与研究，2022（32）.

[6]张桂祯.高中数学教学中建模思想的渗透路径探析[J].考试周刊，2022（41）.

基金项目：江西省教育科学 “十四五”规划2022年度课题“高中数学‘一课四研教研范式的研究”的研究成果，项目编号：22PTZD035。

（作者单位：江西省南昌市铁路第一中学）