APOS理论对中学数学教学的启示

朱怡祺 喻平

摘 要：APOS理论的一个基本假设是，数学知识的心理建构需要经历操作、过程、对象和图式四个阶段。这四个阶段不是一种线性关系，而是一个循环系统。APOS理论主要是针对概念学习的。从教学的角度看，四个阶段之间的转化机制比四个阶段本身更有意义。由此，在中学数学教学中，教师应当采取适当的策略促进学生四种心理状态之间的转化，具体包括：用活动促进内化，用概括实现压缩；用新知促进解压，用系统生成图式。

关键词：中学数学；APOS理论；概念教学；转化机制；图式

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本文系喻平教授团队的“数学学习心理学研究及其教学启示”（中学）系列文章之十六。

APOS理论是美国学者杜宾斯基等基于皮亚杰的“反思抽象”观点提出的一种建构主义的数学学习理论。他们认为，人们透过心智结构使学习的数学概念产生意义，而教学的目的就在于帮助学生建立适当的心智结构。再读APOS理论，可以看到它对中学数学教学很有指导价值。

一、 APOS理论概述

APOS理论主要涉及四个概念：操作（Action）、过程（Process）、对象（Object）和图式（Schema）。［1］具体地说，操作、过程、对象和图式是数学学习中的一种心理结构。对某一数学对象实施操作，这种操作经过内化成为过程，过程可以被压缩为一个完整的对象，整个系统成为图式。［2］

（一） APOS理论的基本假设

APOS理论的一个基本假设是：数学知识是个体在解决所感知的数学问题的过程中获得的，在这个过程中个体要进行心理建构，这种建构需要经历四个阶段。在学习过程中，学生对教师提供的外部信息进行辨认，将其转换为一系列操作，通过亲身体验，感受直观背景和数学概念之间的关系，这是操作阶段。学生经过多次操作和反思后，便能通过想象执行一系列指令，抽象出概念的本质特征，在大脑中进行一种内部的心理建构，即形成一种过程模式。［3］这种模式使得操作呈现出自动化的表现形式，而不再借助于外部的不断刺激，学生从依靠外在的提示转向依靠内部的调控，这是过程阶段。而学生意识到转换可以运用于整体，并且实际可以建构这样的转换时，就达到了对象阶段。在这一阶段，给抽象出的本质特征赋予形式化的定义和符号，也就是说，学生把过程看作一个整体，并对它进行转换和操作时，过程也就凝聚成了对象。

包括操作、过程、对象在内的整个认知系统即为图式。杜宾斯基指出，任何图式的开发都涉及三个阶段：图式内部、图式之间、图式迁移。图式内部阶段的特点是，个体只注意离散的操作、程序和对象，而把具有类似性质的其他知识点隔离开来；在图式之间阶段，个体注意到各个图式中蕴涵的知识点之间的关系和衔接，从而能把这些知识点组成一个整体；在图式迁移阶段，个体彻底清楚知识点之间的关系，建构出这些点之间的内部结构，形成一个大的图式，最终能判断哪些问题存在于这个图式，哪些问题超出了这个图式的范围。［4］

（二） 对APOS理论的几点认识

其一，四个阶段不是一种线性关系，而是一个循环系统。如图1，操作阶段通过将外部信息转化为内部信息，逐渐脱离相对具体的情境，转变上升为心理上的操作，不再完全依赖具体的被操作对象和实际问题。经过多次操作之后，进入过程阶段，这就是内化。这时，学习者得到了一堆关于知识的信息，就需要去除一些枝节，梳理出最精华的成分，从而进入对象阶段。从过程阶段到对象阶段，需要将内化的心理操作简约和抽象（形成直觉），这就是压缩。［5］只有当个体尝试对过程进行压缩时，才有可能将动态的结构转化为可以应用的静态结构；只有当个体意识到过程可以作为整体时，才能形成对象。当然，也存在这样一种情况，即简单的操作或达到高度自动化的操作可以直接形成对象。过程被压缩成心理对象之后，还可以在需要引发时解压为潜在的过程。经过解压机制，个体能将对象还原为先前的过程。两个对象在分别解压为先前的过程后，可能相互协调并重新被压缩为一个新的对象。逆转则是建构新对象的另一个心理机制。某一过程在逆转机制的作用下形成的新过程，将被重新压缩为新的对象。［6］

其二，APOS不是一种教学模式，而是学习数学的一种心理结构。教学模式包含的基本要素是理论基础、教学目标、教学程序、教学策略以及教学评价。显然，APOS框架不具有这些属性，因而不属于教学模式。当然，从操作、过程、对象、图式四个阶段来看，确实体现了一种知识学习的“程序”，或者说学习者对信息的加工过程。可以根据这个心理过程设计相应的教学步骤，但是，这个心理结构的描述本身不能称为教学模式。

其三，并非所有数学知识的学习都能用这个结构来解释。杜宾斯基提出这个理论，主要针对的是概念学习，诸如大量的命题学习、思想方法的学习等，难以用这种心理结构来描述。事实上，许多数学概念本身就具有“过程”与“对象”的双重性。斯法德提出，数学中的许多概念（特别是代数概念）在具有过程性的同时，又表现出对象性；过程性指具备可操作的法则，对象性指概念的结构。［7］例如，加法既代表两个集合中的元素合并或添加起来的过程，又代表合并或添加起来的结果；轴对称既代表图形关于指定直线翻折的过程，又代表图形之间具有的特定性质或位置关系；数列极限既代表數列变化趋势的过程，又代表变化趋势的结果。因此，概念的双重性决定了学习心理也会表现出这两个特性。

其四，经历四个阶段，就是对知识的建构过程。所谓建构性学习，是指学习者通过对一类事物的认识，结合已有的知识、经验，概括出一类事物本质属性来形成知识，并与同伴交流、协商使知识精确化的过程。学生经历的操作、过程、对象、图式四个阶段恰好是知识建构的各个环节（当然，主要是个人建构，缺少社会建构），整个学习过程体现出建构主义思想和知识建构的基本理路。

二、 对中学数学教学的启示

从教学的角度看，四个阶段之间的转化机制比四个阶段本身更有意义。在图1中可以看到，内化、压缩、解压、协调、逆转等就是要素之间转化的心理机制。APOS理论的价值不在于依据四个阶段设计教学，而在于如何干预内化、压缩、解压等心理机制，使从操作到过程到对象再到图式的转化得以实现。因此，研究如何实现心理状态之间的转化，才有真正意义上的教学论价值。

（一） 用活动促进内化，用概括实现压缩

在APOS循环中，要实现从操作到过程的过渡需要内化。而内化的实现，需要个体主动地反复操作实施相应的活动。因此在中学数学教学中，教师应当合理设计操作环节，让学生通过活动促进内化。这里的“活动”一是指动手操作的外显活动，二是指头脑中的思维活动，因此与通常所说的“做数学”含义相同。“做数学”是学生在教师的指导下，利用一定的工具（实物或软件），通过动手操作、观察思考、归纳抽象等过程建构数学概念、验证数学结论、探索数学规律、解决数学问题的一种学习方式。可以看到，“做数学”的过程能够充分激发学生的思维，促进行为的内化。

另一方面，从过程到对象的心理机制是压缩。压缩的隐喻是挤出事物的水分，使其瘦身，本质是抛弃无关信息，找出一类事物的共同特征和本质属性。因此，教师要引导思维方向，清除思维障碍，让学生通过概括来实现压缩。概括是指人脑在比较和抽象的基础上，把抽象出来的事物的共同本质特征综合起来，并推广到同类事物上去的过程。

这里，教师预计学生在函数概念的理解中可能出现的问题，由此设计一系列涉及多个知识点、综合性较强的变式练习，从而促使学生通过解压回到过程阶段，还原先前的探究操作，再进一步协调，重新压缩得到新的对象。

杜宾斯基指出，个体对概念理解的深度和复杂性，取决于他在构成这个概念的心理结构之间建立联系的能力。这些联系构成了图式的基础，而图式的连贯性对个体理解与概念相关的数学情境的能力至关重要。图式是对事物的综合性表征，它是命题网络、表象表征和线性排序的组合。［9］加涅概括了图式的三个特征：（1） 图式含有变量；（2） 图式可以按层级组织起来，也可以嵌入另一个图式之中；（3） 图式能促进推论。［10］图式含有变量是指，图式中的许多属性是允许改变的。例如，函数的本质是数集到数集的映射，但它的表现形式是多样的：解析式表征、图像表征、表格表征等。函数图式按层级组成指的是，一些特殊的函数作为一般函数的子图式，而函数本身又是映射的子图式。图式的第三个特征主要指，一级图式的许多性质可由上一级图式直接推出。例如，指数函数必然有定义域、值域和对应关系，这些信息没有必要在定义指数函数y=ax（a>0）时给出，因为作为子图式，指数函数嵌入函数图式之中，具有函数的所有特征。

帮助学生形成图式的基本方法有：

第一，对学过的知识进行梳理，可以用具有层次的概念图作为辅助工具进行表达，从而厘清知识的来龙去脉（纵向发展）；同时，还要找出知识之间的横向联系。当然，除了建立章节或单元内部的知识网络，还应打通章节或单元之间的知识联系。

参考文献：

［1］ S.Lerman.Encyclopedia of Mathematics Education［M］.Dordrecht：Springer Netherlands，2014：89.

［2］ 鮑建生，周超.数学学习的心理基础与过程［M］.上海：上海教育出版社，2009：96.

［3］ A.Ilana，Jim Cottrill，Ed Dubinsky，et al.APOS Theory：A Framework for Research and Curriculum Development in Mathematics Education［M］.New York：SpringerVerlag，2014：526.

［4］ 乔连全.APOS：一种建构主义的数学学习理论［J］.全球教育展望，2001（3）：1618.

［5］ 李士锜.PME：数学教育心理［M］.上海：华东师范大学出版社，2001：114.

［6］ 马晓丹.APOS理论探索的反思与超越［J］.教学与管理，2020（33）：7477.

［7］［8］ A.Sfard.On the dual nature of mathematical conception，Reflections and objects as different sides of the same coin［J］.Educational Studies in Mathematics，1991（1）：136，136.

［8］ A.Sfard.On the dual nature of mathematical conception，Reflections and objects as different sides of the same coin［J］.Educational Studies in Mathematics，1991（1）：136.

［9］ 喻平.数学教育心理学（第三版）［M］.南宁：广西教育出版社，2015：61.

［10］ E.Gagne.The Cognitive Psychology of School Learning［M］.Boston：Litlle，Brown ａｎｄ Cｏｍｐａｎｙ， 1985：81.