分类讨论思想在高中数学解题中的应用

2023-06-23金传朝

数理化解题研究·综合版 2023年5期

关键词：分类讨论思想高中数学解题

金传朝

摘要：分类讨论思想是当前数学解题应用十分广泛的一种方式，其在处理复杂、综合性问题中具有良好的效果，高中数学數学教师在教学中可以指引学生尝试利用分类讨论思想来解决问题，促进学生数学学习效果提升.

关键词：分类讨论思想；高中数学；解题

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2023）15-0044-03

很多时候，同一个题目有多种解题思路，在平常教学中教师就要特别注重指引学生将数学思想应用到解题过程中.分类讨论思想的应用可以让学生从更加简单的角度来分析处理复杂数学问题.

1 高中数学解题中分类讨论思想的应用价值

分类讨论思想的应用大多是在综合题目中，主要考查学生数学知识的应用能力，学生在解决这些问题时虽然通过强行计算也可以得出相应的答案，但是学生经常会在计算中出现错误，从而影响到解题准确性.而分类讨论思想的应用则可以让学生更加轻松地对数学问题进行分析，在讨论中得出正确的答案.对此在实际教学中，高中数学教师需要特别注重学生分类讨论思想的应用，让学生能借助分类讨论的方法灵活地处理数学问题，促进学生学习效果提升.

2 高中数学解题中应用分类讨论思想的基本原则

分类讨论思想在数学解题中的应用可以帮助学生更好地转变数学解题思维，对于学生解题能力提升十分有利.在实践中高中数学教师应用分类讨论思想引导学生解题时，还需要注意坚持相应的原则，主要包括：

一是坚持同一性原则，也就是在分类讨论过程中，应该按照统一的标准对解题对象进行分类.分类讨论思想应用中，明确研究对象是最基本的一个点，学生只有充分了解到研究对象的特征，才可以针对性地开展分类.同时在分类过程中需要注意选择同一种属性，避免在同一个组别中出现对象属性交集的情况，为后续解决问题奠定基础.

二是坚持循序渐进原则.在分类讨论中，如果遇到多次分类的状况，则需要特别注意循序渐进，对研究对象逐层次的进行分类，这也需要学生保持思维清晰，不能忽视研究对象的某个属性，避免出现分类讨论失败的情况.

3 分类讨论思想在数学解题中的应用

3.1 在集合题中的应用

在高中数学教材中，集合是很重要的一个知识点，也是学生必须掌握的知识点.

例1已知集合A=-4，2a-1，a2，B=a-5，1-a，9，如果a∈R，9∈A∩B，求实数a的定值.

由于9∈A∩B，则可以判定9∈A，9∈B，那么2a-1=9或a2=9，从而得出a=5或a=±3，对a的情况进行分类讨论：

当a=-3时，A=-4，-7，9，B=-8，4，9，符合题意；

当a=3时，A=-4，9，25，而B不满足集合互异性要求；

当a=5时，A=-4，9，25，B=-8，4，9，符合题意.

综上可得a=5或a=-3.

对于这类问题，相对比较简单，学生通过分类讨论可以很轻松地完成解题，需要注意的是教师要指引学生在完成解题后注重检验.

例2集合A=x|x2-x-2=0，B=x|x2+x+a=0，a∈R，A∪B=A，求实数a的取值范围.

A=x|x2-x-2=0=-1，2，集合B是关于x的方程x2+x+a=0的解集，由于A∪B=A，得出BA，当B≠时，那么关于x的方程x2+x+a=0没有实数根，Δ=1-4a＜0，即便a＞14，符合题意；当集合B中只有一个元素时，关于x的方程x2+x+a=0有两个相等的实数根，Δ=1-4a=0，a=14，则B=x|x2+x+14=0=-12，集合B不是集合A的子集，不符合题意；当集合B中有两个元素，即B=-1，2，关于x的方程x2+x+a=0有两个根，分别是-1和2，由于-1+2=-1不成立，舍去；综上可得a的取值范围是14，+∞.

3.2 在函数问题中的应用

函数知识是高中数学的重难点知识之一，也是很多高中生在学习中最为头痛的点.很多学生在学习中函数时，面对最值、单调性、极值等问题已经感觉十分吃力，如果再加上参数问题，函数问题就会变得更加复杂，对此在实际教学中，便于学生能逐层次地解决问题.

例3函数s（x）=-12x2-ax+3x+2.x∈0，2a，a＞0，求函数s（x）的最大值M（a）.

在本题中，区间、对称轴都涉及到参数，两者的变化存在相互制约关系，因此在解题中必须对两者的制约关系进行分类讨论，讨论标准是对称轴位于区间的什么位置.

由于s（x）=-12x2-ax+3x+2=-12［x-（3-a）］2+12（3-a）2+2，对此可以将区间［0，2a］，a＞0看成是固定的，然后进行分类讨论：

当0＜3-a＜2a，（a＞0），即0＜a＜1或2＜a＜3时，在区间［0，2a］中，函数s（x）先增后减，因此函数s（x）的最大值M（a）=s（3-a）=12（3-a）2+2；

当3-a＞2a，（a＞0），即1≤a≤2时，在区间［0，2a］中，函数s（x）是增函数，函数的最大值M（a）=s（2a）=-2a2+6a；

当3-a≤0，（a＞0），即a≥3，在区间［0，2a］中，函数s（x）是减函数，函数的最大值M（a）=s（0）=2；

综上可得函数的最大值是M（a）=12（3-a）2+2，0＜a＜1或2＜a＜3;-2a2+6a，1≤a≤2;2，a≥3.

3.3 在一元二次不等式问题的应用

对于一元二次不等式的解法，与一元二次函数之间有比较紧密的联系，在实际中，教师可以引导学生利用一元二次函数的性质处理一元二次不等式问题.需要注意的是在一元二次不等式解题中，经常会将一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数等三个“二次”放在一起应用，同时三者之间也有十分紧密的关系.

例4求关于x的不等式x2+（1-a）x-a＜0的解，已知a是常数.

本题是一元二次不等式中比较简单的情况，二次项系数没有参数，不需要进行因式分解，但是两个根中有参数，这也导致学生无法确定两个根的大小关系，对图像中零点位置确定造成了影响.因此在分类中需要学生根据两个根的大小关系确立，即x1=x2、x1＜x2、x1＞x2三种状况，在解题中学生可以根据二次函数图像来得出一元二次不等式的解集.

在本题中，一元二次不等式可以等价为（x-a）（x+1）＜0，其对应的一元二次方程根是x1=-1，x2=a.

当a=-1时，x1=x2，原来的不等式解集是；

当a＞-1时，x1＜x2，原不等式的解集是x|-1＜x＜a；

当a＜-1时，x1＞x2，原不等式的解集是x|a＜x＜-1.

3.4 在导数问题中的应用

导数也是高中数学学习中的一个难点，在加入参数后题目会变得更加复杂，对参数进行分类讨论又是高考中的一个常考点.

例5求函数f（x）=ax2-a-lnx，（a∈R）的单调区间.

本题中导函数道德分子上二次函数属于基本类型，含有一次项，需要注意的是二次项系数与0之间的大小关系，要对其进行分类讨论.对于不含一次项的情况，则导函数两个根时互为相反数，需要注意根是否在定义域中.

本题中函数的定义域是（0，+∞），f ′（x）=2ax-1x=2ax2-1x，

当a≤0时，f ′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）中单调递减；

当a＞0时，设f ′（x）=0，可以得出x=12a或x=-12a（舍），令f ′（x）＞0，得出x＞12a；令f ′（x）＜0，得出0＜x＜12a；

因此可以得出当a≤0时，f（x）在0，12a上单调递减；当a＞0时，f（x）在0，12a上单调递减；在12a，+∞上单调递增.