初中数学例题教学变式设计探究

潘美清

【摘要】变式教学设计是数学教学的精髓，教师要培养学生的变式意识，引导学生熟练掌握变式方式，遵照变式规律，主动逻辑思考和推理判断。学生在变式训练中会进行发散思维，总结教学方法，把握解题规律，构建解题模型，从“题海战术”中解脱出来。变式训练培养学生的创造性思想，激发学生的数学学习兴趣，有利于学习能力的提高。深入探究初中数学例题变式教学设计，促进学生在掌握例题的基础上灵活思考，提高数学解题能力。

【关键词】初中数学；例题；变式教学；设计

《义务教育数学课程标准》指出数学学习内容应该是现实的，富有挑战性的，学生通过观察、实验、猜想、推理和总结等方式训练能力，形成学习方法，找到有效的解题门路。教师要引导学生抓住典型习题的解题思路，鼓励学生追求多种解题门路，促进学生思想向着多层次、多方向发散，在变式训练中总结规律，把握解决问题的本质和规律。

一、变式教学目标应遵循的三个原则

1.系统性原则

教师在为学生提供数学例题引导学生进行变式训练时要关注知识的系统性，通过一定类别来引导学生掌握解决问题的通性通法，促进学生由此及彼，触类旁通，在规律总结中建构解题模型，掌握一类试题的解题方法。

2.具体性原则

在变式教学中，教师要明确具体的教学内容和教学方法，通过具体设计例题的方式来引导学生发散思维，促进学生具体问题具体分析，在探究中掌握方法[1]。教师为学生提供具体的例题会引导学生思维发散，在对例题的分析中掌握一类试题的解题方法和解题规律。例如在解决函数面积最值问题时，教师可以为学生提供例题，之后引导学生采用补形、割形法；铅锤定理，也就是铅垂高，水平宽的面积法；还可以采用切线法等不同的解题方法来鼓励学生进行变式训练，促进学生思维发散，掌握不同解题方法。

3.阶段性原则

教师为学生提供变式习题要关注阶段性原则，在不同阶段为学生提供不同难度和不同类别的变式训练，促进学生在阶段性的训练中灵活掌握某一类试题的解题方法，达到触类旁通。教师可以在某一阶段为学生提供代数解题变式训练，在某一阶段为学生提供平面几何变式训练，引导学生在对典型例题的变式训练中横向联系，创建规律，提高思维的深刻性[2]。

二、变式教学重难点要掌握的度

1.数目要适度

教师在选择数学试题时要根据数学特点和知识类型设计教学，按照不同类型的知识“量体裁衣”，进行教学设计。教师设计的数目要适度，并且符合学生的学习心理和年龄特征，做到为学习而设计，在设计过程中做到“心中有学生”。

2.内容有梯度

在引导学生探究数学知识的重难点时，教师要关注循序渐进，通过逐级递进的方式来引导学生领会知识关键点，促进学生掌握解决问题的基本思路。教学的梯度应该根据课程目标要求和教材的知识体系来确定，引导学生通过逐级递进的方式来理解知识，掌握关键性概念、观点和原理。重难点往往是学生接受知识遇到的主要障碍，也是学生能力提高过程中的主要困惑。教师要以学生的接受程度为依据，引导学生对抽象的数学内容进行探究。

3.学生参与度

在解决知识重难点过程中，教师要改变传统的说教模式，要采用变式训练的方式来引导学生主动探究，突破重难点。在课堂上教师要引导学生通过自主学习、合作学习和探究学习的方式来理解知识，并且在学生出现问题和不解时，教师要通过精讲点拨、释疑解难的方式引导学生归纳提升，促进学生体验学习过程[3]。

三、变式教学设计在教学过程中的运用

1.加强一题多变，创新例题设计

“一题多变”是变式教学设计的有效方式，是初中数学例题教学中的常用形式。“一题多变”促进例题教学形式的多样化，变单一为多元，丰富例题教学的呈现形式，对培养学生归纳能力、培养学生发散思维能力、培养学生举一反三能力、培养学生良好的学习习惯和思维品质有很好的促进作用。学生在变式探究中更好地理解知识的生成过程，把握知识本质和解题规律，形成对数学本质的客观性认识。

例如“在平面直角坐标系中求几何图形面积”教学中可以安排这样一道变式探究题做为新课引入。

在平面直角坐标中给出点C（-3，3）。

（1）若点A（-1，0），B（3，0），则三角形ABC的面积为      ；若将三角形ABC向上平移1个单位长度，则所得三角形A´B´C´的面积为      ；

（2）若点A（0，1），B（0，-3），则三角形ABC的面积为      ；若将三角形ABC向左平移1个单位长度，则所得三角形A´B´C´的面积为      。

本例虽然只是简单的变式，但其中蕴含的乾坤却不小。从第（1）小题的第一空到第（2）小题的第二空，虽然改变的只是点A和占B的坐标，却把三角形由“横卧式”变成“竖立式”，改变了易得的高与底的方向，引导学生从多角度寻找三角形可用的底和高。而第（1）（2）小题的第一空到第二空增加了平移的变式，这是从静到动的变化，在求高上增加了一定的难度。两种小小的变式促进了学生能更好地掌握数学知识的本源，增强了学生多角度看问题的意识。

当然，变式并没有至此为止，学生完成前两个问题后，又抛出第三个变式问题。

（3）求出下列网格中（每格均为1×1单位）三角形ABC的面积（如图1所示），并在图中画出你的做法。

本变式引导学生进一步复习了分割法求面积的方法，起到了承上啟下的作用，为引进新课讲授起到很好的过渡效果。以上三个变式创新了例题教学设计，丰富了课堂教学，有利于培养学生思维的广阔性、变通性和创造性。变式教学遵循发散性思维和认知规律，有利于锻炼学生的发散思维和创造性思维[4]。

2.利用一题多变，引导横纵联想

为了培养学生的发散思维，教师在引导学生进行变式教学时要关注“一题多变”，通过主动变化题目要求或命题条件等方式来引导学生从不同角度思考问题，促进学生发现解题规律，从变化中找到“不变”的知识和规律，建构解题模型。在“一题多变”中教师可以变换命题的条件与结论；保留条件，深化结论；减弱条件，加强结论；或者是探讨命题的推广；分析命题的特例以及生根伸枝，进行图形变换。通过主动变化，学生学会从不同角度思考问题和分析问题，参与到解题过程中，在分析中总结规律，在探究中掌握方法。例如图2所示：已知，△ABC中，∠ACB=90º，CD⊥AB，D为垂足。求证：CD2=AD·DB。在引导学生解决该问题后，教师又在条件不变的情况下设计了一系列问题，①求证：AC·BC=AB·CD；②求证：S△ADC：S△CDB＝AD：DB；③求证：AC2= AD·AB，BC2=BD·AB等。教师通过“一题多变”的方式会促进学生主动加工所给条件，分析题目中的信息，在主动探究中明确要点和关键，形成对知识的客观性认识。引导学生对知识进行纵横联系，促进学生分析探究能力不断提高，实现学生数学思维品质的提升。

3.采用一题多导，创建思维情境

教师是学生学习上的引路人和指导者。在变式教学设计过程中，教师要通过积极引导的方式来活跃学生思维，促进学生明确思考方向，指导解决问题的最佳方法。教师在引导学生时可以用问题作为“催化剂”，鼓励学生在对问题的探究中深化理解数学知识，掌握数学规律。

例如图3所示，（１）∠４和∠２哪两条直线被哪一条直线所截形成的内错角？图中共有多少对内错角？∠５和∠２是哪两条直线被哪一条直线所形成的同旁内角？图中共有多少对同旁内角？又如：已知，△ABC中（图2），∠ACB=90º， CD⊥AB，D为垂足。求证：CD2=AD·DB。教师从不同角度提出各个相关明确的小问题，引导学生分析理解题目，如：图中有几条线段？图中有几个角，是哪几个角？图中有几个三角形，分别是什么？图中和∠CAB相等的是哪些角？和∠CAB互余的角是哪些角？△ABC中，BC边上的高是哪条线段？△ABC的垂心是哪个点？

教师用问题来引导学生会活跃学生思维，促进学生从不同角度思考问题，总结规律，调动学生思考的积极性，让学生参与寻求解题途径的过程，给学生充分展示思维过程的机会。学生通过教师的引导思维会不断深入、发展、完善，在深入挖掘中把握知识本质，建构知识框架，总结知识规律。在这个分析和探究过程中，学生思维的缜密性和逻辑严谨性也会得到真正训练。

4.开展一题多用，理论联系实际

在数学探究过程中，教师要鼓励学生将数学知识与生活实际联系起来，使问题实际化。教师在设计变式训练时要引导学生在变化的过程中掌握不变的规律，总结出一般规律和数学知识本质，这样学生的解题能力就会逐步提高。数学知识在生活中的应用是非常广泛的，利于电费问题，燃气费问题等，通过对生活化问题的变式训练，会让学生灵活应用知识。例如在学习了电费问题，在变式训练中，教师可以为学生提供有关出租车打的收费问题，或者是电话收费问题，让学生将所学的数学知识灵活应用。例如学习了“一元一次方程”时，教师为学生提供例题：移动海报：新业务出炉5G手机享受无月租优惠，其通话套餐为每分钟0.35元；联通海报：月租18元，通话每分钟0.25元。问：若每月通话300分钟，哪个套餐更优惠？如果付费方式一的月使用是58元，主叫限定时间为150分，超时每分钟按照0.25元每分计算，被叫免费；付费方式二的月使用费是88元，主叫限定350分，超时每分0.19元，被叫免费，每月通话费300元，哪个付费方式更划算？通过对例题的分析，学生会明白什么是月使用费，主叫限定时间和主叫超时费，明确如何对电话费收费进行计算和管理。在解决问题时，学生会学会分类讨论，思考当主叫时间小于150分钟、等于150分钟、在150分钟和270分钟以及在270分钟和350分钟、等于350分钟、大于350分钟等情况。通过分类探究，学生会制定合理的付费方式。当教师为学生提供例题后，可以为学生提供变式训练，通过一题多用的方式引导学生掌握一类试题的解题方法，掌握其中的规律。

5.关注多题一解，学会异中求同

数学例题都具有一定的典型性，教师要引导学生多总结，由问题的条件或结论，联想到与其形式相近的相关题型。通过对不同试题的分析和归纳，学生会发现有些试题的解题方法是一样的，促进学生搭建知识与解题之间的桥梁，形成解题思路。教师要引导学生异中求同，了解常用的解题方法。例如数学中常用的凑整法、主元法、消元法、参数法、待定系数法都是常用的解题方法，学生在不断地总结会掌握通性通法。通过对多道例题分析和总结，学生也会找到解决问题的一般规律。例如有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨；5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？解题过程中学生会想到了一个三元一次方程组来解决问题，设出x，y，z，通过求出x+y+z的代数和的方式来变形问题，解决问题。通过对通性通法的总结，学生会异中求同，掌握规律，解决问题。

总之，在变式教学设计过程中教师要做到“因学定教”“以人为本”关注学生的思维过程和探究体验，促进学生在参与中提高能力，实现数学学习能力的提高。学生通过对例题的变式训练会构建知识结点，理解数学思想，掌握数学方法，提高学习能力。例题变式教学设计过程中，学生是学习主体，他们会通过探究使所学知识条理化，系统化，提高解题能力，优化思维品质，促进学生在对知识的深入挖掘中发展思维能力，提高学生思维的缜密性和逻辑性。通过不断地练习，学生会夯实基础知识，提高数学基本技能，实现学习效率的提高。

【参考文献】

[1]官月兰.变式训练教学模式在初中数学解题中的应用探索[J].数理化解题研究，2021（14）.

[2]孙连杰.例谈初中数学教学中的变式训练[J].中学生数理化（教与学），2020（08）.

[3]林怡鈴.以“变”促教，引领高效教学—例析初中数学变式训练的实施策略[J].读写算，2020（11）.

[4]吴细金.以“变”促教 引领高效教学—例析初中数学变式训练的实施策略[J].考试周刊，2020（27）.