“随机事件的概率”教学设计及体会

李军文

一、课标要求

（1）结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型模型中简单随机事件的概率。

（2）通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则。

二、基本情况分析

教学目标：（1）理解等可能基本事件的意义；（2）通过实例，理解古典概型及其概率计算公式；（3）会用列举法写出样本点和样本空间并计算出随机事件的概率。

教学重点：（1）理解古典概型的两个特征；（2）掌握用列举法写出样本点和样本空间，并进行古典概型的概率计算。

教学难点：（1）会判断一个试验是否是古典概型；（2）正确计算古典概型中随机试验的样本空间及随机事件包含的样本点数。

三、教学过程

（一）在问题情境中认识古典概型

问题1 “抛掷一颗骰子，结果向上的点数为偶数”，记事件A，怎样求P（A）的值？

生1： 3除以6就可以了，即概率是[12]。

师：能给出理由吗？

生2：本试验的样本空间Ω={1，2，3，4，5，6}，样本空间中每一样本点发生的可能性应该相同。事件A={2，4，6}含3个样本点，所以P（A）=[36=][12]。

问题2 一枚均匀硬币抛掷两次，求两次都出现正面的概率。

生3：一枚均匀硬币抛掷两次，有4个样本点：（正正），（正反），（反正），（反反）。所以样本空间为Ω={（正正），（正反），（反正），（反反）}。

生4：我觉得生3说法不对，样本空间应该是Ω={（正正），（正反），（反反）}，样本点应该是3个。

师：（对着全班）谁的理解更准确？

生众：热烈讨论交流。

生5：我觉得生3说法对，应该有4个样本点，这样保证每一个样本点发生的可能性相等，如果样本空间是Ω={（正正），（正反），（反反）}，样本点：（正反）发生的可能性就更大了，违反了公平性（笑）。

生众：点头认同。

师：很好！如果记“两次都出现正面”为事件B，P（B）多少？

生6：因为事件B={（正正）}，含1个样本点，所以P（B）=[14]。

设计意图：选择贴近学生实际生活的问题，通过问题1和问题2的分析，让学生感受古典概型的特征和计算方法。

问题3 豌豆的黄绿色性状的遗传由一对基因决定，其中决定黄色的基因记为D，决定绿色的基因记为d，则杂交所得第一代的一对基因为Dd，若第二代的D，d的遗传是等可能的，求第二代为黄色的概率，只要有基因D就是黄色，只有两个基因都是d才显现绿色。

师：由于第二代的D，d的遗传是等可能的，故来自父方的配子D，d与来自母方的配子D，d可随机组合，会有多少个样本点呢？

生7：有4个，列举如：DD，Dd，dD，dd。所以样本空间为Ω={DD，Dd，dD，dd}，每一样本点发生的可能性都是相同的。

师：好！如果记“第二代为黄色”事件C，则事件C包含几个样本点？

生8：C={DD，Dd，dD}，有3个样本点，所以P（B）=[34]。

师：在一次试验中可能出现的每一个样本点都称为一个基本事件，所有样本点的集合就是一个样本空间，请指出上述三个问题中样本空间里的样本点（基本事件）有何共同点？

设计意图：引出“基本事件”的概念，并进一步引导学生对比发现、归纳出随机实验中样本点的特点，揭示出古典概型的基本特征。

（二）在归纳对比中构建古典概型

生众：（交流讨论）上述三个问题的样本空间的样本点有有限个，每一个样本点发生的可能性也相同，且计算方法都是使用了除法。

师：很好！具有上述问题特征的概率模型我们称之为古典概型。

（板书）上述三个问题具有以下两个特点：（1）样本点有有限个；（2）每一个样本点发生都是等可能的。

满足上述两个特点的随机试验概率模型称为古典概型。

如果一次试验的样本空间中有n个样本点，那么每个样本点发生的概率都是[1n]；如果某个事件A包含了其中m个样本点，那么事件发生的概率为[mn]，即P（A）=[事件A包含的样本点数样本点总数]。

设计意图：问题的设置要有启发性和准确性，让学生去探究问题的共性，充分发挥学生的主体作用，提高课堂效率。

四、在应用中计算古典概型

例1 一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球、2只黑球，从中一次摸出两只球。

（1）写出样本空间。（2）摸出的两只球是一白一黑的概率是多少？

生9： 3只白球分别标记为a、b、c，2只黑球分别标记为1、2，现从中一次摸出两个球，样本点有10种，列举如：ab、ac、a1、a2、bc、b1、b2、c1、c2、12。所以樣本空间Ω={ab、ac、a1、a2、bc、b1、b2、c1、c2、12}，每一个样本点发生的可能性都是相同的。

生10：“摸出的两只球是一白一黑”，记事件A={a1、a2、b1、b2、c1、c2}有6个样本点，所以P（A）=[610=35]。

设计意图：突出古典概型中样本点是等可能的这一特征，让学生在自主探讨中思考，培养理解能力。

变式1 一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，不放回地从中摸出两只球，则摸出的两只球至少一只是黑球的概率是_______。

分析：直接法，3只白球分别标记为a、b、c，2只黑球分别标记为1、2，样本空间Ω={ab、ac、a1、a2、bc、b1、b2、c1、c2、12}，两只球至少一只是黑球含7个样本点，故P=[710]，也可以间接法1-P（都是白球）=1-[310] = [710]。

变式2 一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，第一次从中摸出一只球后放回，第二次从中再摸出一只球，则摸出的两只球颜色不同的概率是_______。

分析：样本空间Ω={aa、ab、ac、a1、a2、ba、bb、bc、b1、b2、ca、cb、cc、c1、c2、1a、1b、1c、11、12、2a、2b、2c、21、22}共25个，两只球颜色不同有12个，所以P=[1225]。

设计意图：让学生理解有放回抽样和不放回抽样的样本点总数是有差异的，但等可能性和有限性是不变的，即古典概型的甄别问题要准确。

例2 同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，问：（1）写出试验的样本空间Ω所包含的样本点。（2）点数之和是2的概率？（3）点数之和是6的概率？（4）两数之和是3的倍数的概率是多少？

师：第一次抛出1点，第二次抛出3点，我们可用（1，3）来表示这个样本点，本试验共有多少个呢？

生11：（1，1），（1，2），（1，3）…（6，5），（6，6）共36个基本事件。

（有些同学露出了迷茫的神情，看来他们是不知道怎样计数，老师在黑板上进行示范。）

师：可以一一列出.Ω={（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）}。

生12：记“两点数之和是2”为事件A，则事件A={（1，1）}含1个样本点，所以P（A）=[136]。

生13：记“两点数之和是6”为事件B，则事件B={（1，5）（2，4）（3，3）（4，2）（5，1）}含5个样本点，所以P（B）=[536]。

生14：记“两数之和是3的倍数”为事件C，则事件C={（1，2）（1，5）（2，1）（2，4）（3，3）（3，6）（4，2）（4，5）（5，1）（5，4）（6，3）（6，6）}含12个样本点，所以P（C）=[13]。

设计意图：列举法是计数的基本方法（编号→列表或画树状图），并进一步巩固古典概型概率的计算方法.在此基础上，教师给出了如下变式题。

变式1 某地新冠疫情防控中，发现A，B，C，D，E这5人是密切接触者，要将这5人分成两组，一组2人，另一组3人，分派到两个酒店隔离，则A，B两人在同一组的概率_________。

分析：将A，B，C，D，E按要求分成两组，（AB，CDE），（AC，BDE），（AD，BCE），（AE，BCD），（BC，ADE），（BD，ACE），（BE，ACD），（CD，ABE），（CE，ABD），（DE，ABC），共有10种情况，其中A，B两人在同一组的共有4种，所以A，B两人在同一组的概率为[410=25]。

变式2 袋中装有5个白球和若干个红球（每个球除颜色外都相同），某位学生从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率为0.75，则袋中红球的个数为_______。

分析：设袋中红球的个数为χ，根据题意得[χχ+5]=0.75，解得χ=15，经检验χ=15是原方程的解，所以红球15个。

设计意图：在学生的思维发展区变式引申，训练思维的广阔性，以达到少教多学的目的。

师：归纳古典概型解题步骤（强调规范书写）：

（1）判断试验是否为古典概型；

（2）计算样本空间包含的样本点总数n；

（3）计算随机事件A包含的样本点个数m；

（4）利用公式P（A）=[事件A包含的样本点总数（m）样本点总数（n）]计算事件A的概率。

五、在练习反馈中巩固古典概型

巩固练习（限时5分钟）

1．据人口普查统计，育龄妇女生男生女是近似等可能的，如果允许生育二胎，则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是___________。

2．已知集合A={-3，-1，0，2，4}，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（x，y），其中x∈A，y∈A，且x≠y，则M在第二象限的概率____________。

3．将一颗骰子先后各抛掷1次，向上的点数之积为偶数的概率____________。

4．在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是__________。

设计意图：用多媒体显示巩固练习，以期提升课堂容量和速度。几分钟的精选练习，旨在巩固本节课内容，反馈学生存在的问题，为进一步教学做好准备。

六、在总结反思中掌握古典概型

师生合作，主要围绕以下几方面进行总结：

（一）知识脉络（如图）

特征←古典概型→计算公式

↓

解题步骤

（二）思想方法：在运用观察、比较方法得出古典概型计算公式的过程中，主要运用了哪些数学思想方法？

（三）解题方法：如何判断一个实验是否是古典概型？计算古典概型的随机事件概率的步骤是什么？

七、教后反思

（一）创设合理的问题情境

教师创设恰当合理的问题情境，选取贴近学生生活实际的问题或情境，以便引起学生的兴趣，使学生知道数学与日常生活实际的紧密联系，明确研究数学问题的意义和价值，在兴趣和疑惑中思考问题，进一步激发学生学习数学的热情，发展学生的思维能力。

（二）发挥教师的主导性

数学教学的实质是教师通过设置有效的问题引导学生经历从具体事例中抽象出数学概念，并在运用中逐步理解概念的本质。在本节课的教学中，最让学生感到困惑的是古典概型的特征以及如何在一个个实际问题中去甄别此问题是否是古典概型。在本课中，教师采用設置情境→问题引导→探究发现→归纳概括→应用拓展→变式巩固的方式推动教学进程，并且引导学生通过观察、类比、思考、探究、概括和归纳古典概型的概念及其概率公式，再通过具体问题的提出，鼓励学生在思维和行为上积极参与到教学活动中，发现数学的规律和问题解决的途径。

（三）重视学生的自主性

在数学教学中，学生应该主动参与到数学活动中，并且生成和建构数学概念。教师使用自主探索、动手实践、合作交流的学习方式，发挥学生学习的主动性，使学生的数学学习成为“再发现，再创造”的过程。通过引入日常生活中的大量实例，教师明确了本节课要解决的问题，学生在教师的引导下自主探究、合作交流，“再创造”，让学生充分发表自己的见解，展示自己的思考成果，培养表达能力和自信心。

（四）提升课堂教学的有效性

有效教学是课程改革中一个重要课题，是提升教学质量、实现教育目标的重要内核。设置有效问题是有效教学的一个重要抓手，在知识构建过程中去发展学习能力，在课堂上老师要能突出重点、化解难点、点拨疑点，整堂课的教学要围绕教学重点逐步展开，激发学生的学习兴趣，提高学生对新知识的接受能力。