“孪生题”设计在初中数学教学中的应用

严慧君

【摘要】“孪生题”作为一类相对比较简单的分层作业模式以及一题多变形式，主要是指具有相同的关键理论知识要素，且相关层次架构的情境背景设计方式以及其相对应的表现类型也有一定的相似性，但能力要求却比较明显的两道题.在初中数学教学以及评价中，为了能够有效提升教学效率、巩固知识点、培养学生的应用意识以及创新意识，教师往往通过设计不同类型变化的“孪生题”来考查学生对于基础知识的理解以及相关的推理计算能力.为了进一步了解“孪生题”，同时为其在相关学科中的应用提供一些参考，本文对其在初中数学教学工作中的应用进行简单的概述分析.

【关键词】“孪生题”；分层作业；一题多变

与模拟题不同，“孪生题”主要是指具有相同的关键理论知识要素，且相关层次架构的情境背景设计方式以及其相对应的表现类型也有一定的相似性，但能力要求却有明显不同的两道题，我们一般将其中难度较低且具备基础知识点的题称为A类题，难度较高且在基础知识点上得以延伸扩展的则称为B类题.“孪生题”设计中侧重体现的模式为分层作业模式，除此之外，基于一种类型的题而进行灵活多变的设计改编也是其特点之一[1].本文主要通过相关的“孪生题”题型案例来对初中数学教学过程中“孪生题”设计的基本思路以及实际的应用进行简单的说明与分析.

1 实质与表象互补的“孪生题”

实质与表象互补的“孪生题”的主要作用是对学生所学基础知识的掌握程度以及能力水平进行有效地考查，而在进行具体“孪生题”的设计时，其题型中的A类题能够以“知识点复习巩固”的方式来对数学课本中的知识点概念以及表述的性质表象进行考查，而B类题则以“应用求解”的方式对概念以及性质的实质进行考查[2].此类设计方式的进行能够确保每组题的层次结构非常分明，并能够对相关联的知识点进行互补性地呈现.在进行答题的过程中，学生既可以根据自己的能力水平以及学习需求在A、B两类题中选答一道题，也可以同时解答A、B两类题，即对一个知识点进行完整的认知.

例1 （A类）解不等式－3x≤9得x≥－3，依据是____.

（B类）“不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.”用字母表示这条性质：____.

在该题中，原不等式－3x≤9的两边同时除以-3后，得到x≥－3，由此可知A类题主要要求学生对“不等式的性质2”进行回忆，而B类题则是要求学生通过具体的符号语言来对“不等式的性质2”进行表达，需要注意的是，该相关表达形式在初中数学课本中并没有进行具体的体现.学生不仅可以对相关的知识点以及概念定理进行巩固，还可以在既有知识点的基础上进行不同程度地拓展与创新.

2 条件与结论变化的“孪生题”

与以上所述实质与表象互补的“孪生题”不同，条件与结论变化的“孪生题”的设计则主要是对学生所掌握的推理计算能力进行考查.在数学的学习过程中，往往对包括计算能力、推理能力以及空间想象能力在内的三大能力非常重视[3].

接下来，通过实际例题来对“已知条件不同，所求结果一样”进行分析说明.

例2 （A类）如图1，正方形OABC的顶点A、C分别位于x轴和y轴上，顶点B位于反比例函数y=k/x的图象上，已知点A的横坐标为2，那么k的值是____.

（B类）如图2，正方形OABC的顶点A、B分别位于反比例函数y=k/x的图象上，已知点A的横坐标为2，那么k的值是____.

在例2中，A类题所述正方形OABC的顶点A、C分别位于x轴与y轴上，而点B位于反比例函数的图象上.在此条件下，我们可以基于正方形的性质，根据A点的坐标来算得C点的坐标，并且进一步得出B点的坐标，然后再通过将相关的坐标值代入表达式中便可得出k的值[4].具体过程为：首先根据A点的横坐标以及正方形的性质可知A、C点坐标分别为（2，0）、（0，2），然后可知B点坐标为（2，2），代入反比例函数y=kx后，便可得k值为4.

在对A类题的题型特点及解题思路进行分析后，我们便进行B类题的分析.对于B类题而言，我们看到正方形OABC呈现倾斜的样式，要想求得k的值，便需要将正方形的性质、解一元二次方程以及全等三角形判定等知识进行综合性的利用，通过结合各项知识点并进行合理的推理计算，才能够最终算出k的值.实际解题过程中，我们首先应该算出B点的坐标：

继续延伸，我们可以将此题内容设计为“小球放回”与“小球不放回”两种，当设计为“小球放回”时，其题干内容可为“需要从袋中取出甲、乙两球，在取出其中一球后，该球不放回，则该两球取出的概率是多少？”通过分析可知，我们取第一球的概率是1/4，在不放回的前提下，再取一球的概率是1/3，二者相乘，所得1/12，即为所求结果.而如果取出一球后放回，则在取第二个小球时，袋中仍有四个球，故每个小球取出的概率皆为1/4，该两球取出的概率则为1/4×1/4=1/16.

3 不同形式但是解题思路相同的“孪生题”

初中数学在知识点考查时，尤其注重学生对知识的灵活应用能力，很多题目在阅读的时候，虽然题目的形式和表达的方式与所接触的练习题存在不同，但是透过现象看本质，能够对数学练习题所考查的重点知识有清楚地把握和详细地理解.不同形式但是解题思路相同的“孪生题”贯穿在学生数学学习中，学生若是能够在分析问题和解决问题的时候清楚地认识题目实质，便可以快速找到问题的新解决思路.

例如 就“勾股定理”这部分知识点的学習而言，会利用折叠图形的方式对学生展开知识点考查，折叠图形作为突出的特征是经过折叠处理的两个图形，会绕着图形的折线翻折后完全重合，折叠的本质就是对称轴.在折叠问题方面，最为常见的是正方形折叠、矩形折叠以及直角三角形折叠，要求学生利用所学习的知识求解出图形的面积、线段的长度或者是某个角的角度等等.在折叠的过程中，可能会出现直角三角形，求解的时候可以选择使用勾股定理进行解答线段长度.也可能会出现等腰三角形，利用平行线的性质解答线段长度，在平面直角坐标系中折叠，可利用勾股定理对点的坐标和线段的长度进行求解.基于“孪生题”的设计思路和求解思路，常见的图形折叠有以下几种，如图4所示：

此种类型的解题关键是掌握对称性，利用勾股定理的数学关系进行计算.第一步，寻找出折痕，折痕所在的直线就是对称轴；第二步，按照全等三角形的性质和概念，从图形中寻找出所有相等的角和线段；第三步，按照题目的要求假设出未知数；第四步，从图形中寻找出关键的三角形，尤其是直角三角形，利用勾股定理建立其未知数与其他数字之间的关系；第五步，求解出未知数；第六步，检验求取的结果是否与题目的实际条件相符合.

通过上述关于折叠方面的题目可以了解到，在选择应用勾股定理解答折叠方面的问题时，其思考路径基本是保持一致的.首先要寻找出折叠图的性质，并从折叠图中找到相等的角或者线段；其次要从图形中寻找到一个直角三角形，假设图形中的某个线段长度为x，利用直角三角形的三边关系，将带有未知数x的公式表示出来；再次，利用勾股定理两条直角边的平方和等于斜边的平方这一定理列出方程；最后，通过计算取得结果.“孪生题”在解答的时候，最为关键的是寻找出与之前所做题目相似的点，同时要在日常的练习过程中梳理出解答步骤，将其形成自己的经验，从而在后续数学问题解决的时候，以套模板的方式完成解答，实现数学解题能力提高.

4 结语

为了有效避免学生做同类型题时“屡做屡错”现象的发生，教师在教学过程中采用了“孪生题”设计方式，该题型的设计与应用可以有效提升习题课的教学效率，并且可以在一定程度上降低学生错误的重现率.为了确保“孪生题”的设计可以充分发挥其应有的作用，教师们往往会基于一定的选编策略来进行，例如实质与表象互补.为了对“孪生题”设计进行进一步的了解，我们从实质与表象互补、条件与结论变化及不同形式但是解题思路相同的“孪生题”三个方面对“孪生题”设计在初中数学教学中的应用进行了简单的概述分析.

参考文献：

[1]张小娜.初中数学教学中“一题多变 一题多问”的教学实践[J].数理化学习（教研版），2022（04）：31-33.

[2]夏幫青.生物教学中“孪生题”的设计及应用[J].中学生物教学，2006（10）：23-24.

[3]王平.初中数学“孪生题”设计[J].教育研究与评论（中学教育教学），2022（06）：94-96.

[4]付小杰.运用“一题多解”助力初中数学教学探讨[J].新课程（中），2018（12）：98.