基于Dandelin 双球模型对一道高三调研试题的溯源探究

福建省南平市高级中学(353000) 江智如 陈美婷 蔡 珺

1 试题呈现

试题(2023 届广州高三年级调研测试B 卷第16 题)如图1, 是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型. 在圆锥内放两个大小不同的小球,使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切, 设图中球O1, 球O2的半径分别为4 和2, 球心距离,截面分别与球O1,球O2相切于点E,F(E,F是截口椭圆的焦点),则此椭圆的离心率等于____.

图1

2 试题分析

本试题以Dandelin 双球模型为载体,考查圆锥曲线内容,要求考生会根据对几何图形的分析,探索解决问题的思路[1].考查圆锥与球相切、截面、椭圆第一定义和离心率等相关知识, 考查考生数形结合思想、化归与转化思想、空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力,突出试题的区分与选拔功能.

3 试题溯源

2019 版人教社A 版《普通高中教科书数学选择性必修第一册》第104 页第三章章头图中(如图2)用一个不垂直于圆锥轴的平面截圆锥,当圆锥轴与截面所成角不同时,可以得到椭圆、双曲线、抛物线三种不同的曲线,因此把这三种线统称为圆锥曲线[2]. 但这种联系在后续的圆锥曲线定义中,均未再体现,而在2005 版人教社A 版《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1》第42 页“探究与发现”中,介绍数学家Germinal Dandelin 利用两个球的切线长相等(如图3),可以证明截口曲线是椭圆[3]. 基于这些背景知识,本文依循数学家Germinal Dandelin 的思路,在直观素养指引下,对试题进行溯源探究与推广.

图2

4 解法探究

引理在圆锥内放两个大小不同的小球,使得它们分别与圆锥侧面相切. 若不垂直于圆锥轴的截面分别与两个小球相切,则截面截圆锥所得的截口曲线是以两切点为焦点的椭圆.

证明如图3, 在Dandelin 双球中, 两个小球与圆锥面的交线分别为一个圆, 并与圆锥的底面平行, 记这两条交线圆分别S1,S2, 且所在平面分别为π1,π2, 与圆锥轴不垂直的截面π与圆锥面的截口曲线为S, 且分别与两个小球相切于点E,F. 在截口曲线S上任取一点A,过点A的圆锥母线分别与圆S1,S2相交于点B,C, 则BC长度是两个小球的外公切线长, 是定值, 即(其中d是球心距,r1,r2分别是两个小球的半径). 另一方面, 由球的切线性质可得,AE=AC,AF=AB, 于是AE+AF=AC+AB=BC>EF,即曲线S上点到两切点的距离和为定值,所以由椭圆第一定义知,截口曲线S是以E,F为焦点的椭圆.

图3

图4

图5

试题解析(一)依据引理的推导过程, 试题1 可以转化为分别求椭圆的焦距2c=EF, 长轴2a=BC. 如图4, 在圆锥的轴截面中, 连接O1O2交EF于点H, 连接O1E,O2F, 则Rt∆O2FH∽Rt∆O1EH, 于是, 故,从而,所以2c=EF= 3FH= 2,即c= 1. 过点O2作O2D//BC,交O1C于点D,则由圆的外公切线性质可求,,即2a=BC= 6, 所以a= 3, 因此, 椭圆的离心率为.

5 溯源推广

6 高考应用

在历年高考与各地的质检中也出现Dandelin 双球模型的试题,可以引导考生根据对问题情境的分析,运用已有数学思维方法分析问题的内部结构和内在联系,调动相关知识与能力解决问题[5].

题目(2021 年成都七中高三二诊模拟理12) 如图6所示, 在圆锥内放入两个球O1,O2, 它们都与圆锥相切(即与圆锥的每条母线相切),切点圆(图中粗线所示)分别为⊙C1,⊙C2. 这两个球都与平面α相切,切点分别为F1,F2,丹德林(G·Dandelin)利用这个模型证明了平面α与圆锥侧面的交线为椭圆,F1,F2为此椭圆的两个焦点,这两个球也称为Dandelin 双球.

图6

圆锥的母线与它的轴的夹角为30◦,⊙C1,⊙C2的半径分别为1,4,点M为⊙C2上的一个定点,点P为椭圆上的一个动点,则从点P沿圆锥表面到达点M的路线长与线段PF1的长之和最小值是( )

解题思路根据Dendelin 双球模型,可以把问题转化两个内切球的外公切线长.

题目解析连接VP, 分别交⊙C1,⊙C2于点Q,R, 连接PF1, 则由球的切线性质可得,PF1=PQ. 设点P沿圆锥表面到达点M的路线长为dPM, 则PF1+dPM=PQ+dPM≥PQ+PR=QR,当且仅当点P是母线VM与交线椭圆的交点时取等号,而QR为两个球O1,O2的外公切线长,故,所以最小值为3√3,因此选A.

评析本试题将圆锥、球、椭圆、动点的轨迹等内容有机结合,考查考生对Dendelin 双球模型的理解与应用,突出考查考生运用数形结合的思想方法和综合应用数学知识解决问题的能力,对几何直观能力、逻辑推理能力、运算求解能力有一定的要求,重基础、重能力,对引领数学课程改革有导向作用.

7 结语

在高考评价体系[5]指引下, 高中几何教学应由传统的“结果性教学”转变为素养立意的“过程性教学”,这就要求学生不仅要知其然,更要知其所以然,同时应引导学生探究问题的“本源”,学会举一反三,夯实数学基础. 一方面,教师通过探寻几何问题的本“源”,追溯数学思维发展的源泉,可以提升自身数学专业素养和专业水平[6];另一方面,教师把握几何问题的“流”[7],登高望远,拓展视野,可以培养学生思维的深度和广度. 通过设置精致练习[8],摒弃“题海战术”,提高学生学习数学的兴趣,挖掘学习数学的潜能,促进数学综合素养的提升[9].