厘清背景 明晰本源 培养思维品质——以圆锥曲线中一类动圆过双定点问题为例

广东省惠州仲恺中学(516229) 陈伟流

《普通高中数学课程标准》(2017 年版2020 年修订)在教学建议中强调: 教师要加强学习方法指导,帮助学生养成良好的数学学习习惯,敢于质疑、善于思考,理解概念、把握本质,数形结合、明晰算理,厘清知识的来龙去脉,建立知识之间的关联[1]. 由此可见,教学实践中必须注重并落实知识背景,数学本源等教与学的双向工作,引导学生秉承整体关联的理念进行解题,研题,形成透过现象看本质的高观点整体认知思维,从而才能培养并提升关键能力、核心素养等方面的学科思维品质.

一、试题剖析

评析本题以直线与椭圆位置关系为载体,以定点,数量积为定值的呈现形式考查运算求解,逻辑思维及数学建模等关键能力,反映了数学运算,逻辑推理,数学抽象等核心素养的测量导向,在难度系数上归属中档题水平. 但实际教学中,多数学生却因概念背景模糊,模型观念单薄,运算能力低弱而屡屡在解析几何试题的情境中出现卡点弃答,无法获得良好的解题认知能力,欠缺透析一题看一类本质的数学抽象思维.

解题中发现,P,Q两点的纵坐标乘积为定值,而P,Q由直线AM,AN所生成,lMN过椭圆的右焦点(定点), 因右顶点A的特殊性, 进一步探索知:kAM·kAN= −(e+1)2(e为椭圆的离心率), 所以笔者初断这是存在定点S满足的根源所在;而,动弦PQ携定点张直角,以线段PQ为直径的圆恒过定点是形异质同的多种外在形式,在逻辑上抽象为类题归一并入同一探索主线.

二、背景探索

三、发散推广

四、应用提升

题1(2023 届广西梧州柳州统考理科第20 题)在直角坐标系xOy中,动点M到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1.

(1)求动点M的轨迹方程;

(2)当x≥0 时,记动点M的轨迹为曲线C,过F的直线与曲线C交于P,Q两点,直线OP,OQ与直线x= 1 分别交于A,B两点,试判断以AB为直径的圆是否经过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.

五、结束语

高考解析几何试题多次以经典的高等几何知识为命题依据,极具丰富的研究价值,如2022 年全国高考试题便以经典的手电筒模型,圆锥曲线垂径定理,米勒最大张角问题,圆锥曲线极点极线理论等高深背景而成为广大师生爱不释手,乐于耕耘的一片沃土, 具备师生备考上的典范性与指导性.所谓一题一世界,一变千万面. 只有明晰每道试题的一般命制背景,厘清其知识本源,师生共同触摸问题本质,才能实现试题背后的教育价值,帮助学生夯实运算求解,逻辑思维等关键能力, 提升数学运算, 逻辑推理, 数学抽象等核心素养,从而才能培养好思维品质!