函数极值点偏移问题研究综述

广东省佛山市华南师范大学附属北滘学校中学部(528311) 宋 波

函数极值点偏移问题是近几年高考和诊断考试的热点,也是高考复习中的重点和难点. 这类试题可以很好的考查考生的推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想,着力考查逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养. 但因其综合性强、难度大,使人望而生畏,本文通过对相关文献的研究综述,揭示此类问题的本质,得到构造法是解决此类问题的根本方法.

一、函数极值点偏移的概念

x0是函数y=f(x)在(a,b)上的极值点,设f(x)=0(或f(x) =m) 的根分别是x1,x2(a

从概念可以看出,函数极值点偏移是相对于极值点不偏移而言的,函数极值点偏移时,函数图象中极值点左右两侧“增减速度”即变化率不同,函数的图象不具有对称性.

二、函数极值点偏移的本质

1. 从函数值的增减速度即变化率看:

定理[1]x0是函数y=f(x)在(a,b)上的唯一极值点,当x∈(a,x0)时,f′(x) < 0,当x∈(x0,b)时,f′(x) > 0(函数图象下凸). 若∀x∈(a,b),f′′′(x)>0 (<0),则函数f(x)在(a,b)上的极值点x0向右偏移(向左偏移);当x∈(a,x0)时,f′(x) > 0,当x∈(x0,b)时,f′(x) < 0(函数图象上凸).若∀x∈(a,b),f′′′(x)>0 (<0),则函数f(x)在(a,b)上的极值点x0向左偏移(向右偏移). (可用泰勒中值定理证明,此处不再赘述)

于是, 极值点偏移方向(左偏还是右偏),可用三阶导函数f′′′(x)的符号正负来判定: 若f′′′(x) > 0,则极小值点右偏(极大值点左偏);若f′′′(x) < 0,则极小值点左偏(极大值点右偏).

2. 从函数图象的对称性看: 当极值点偏移时,函数图象关于直线x=x0(x0是函数y=f(x)在(a,b)上的极值点)不对称,此时可构造关于直线x=x0对称的函数,将自变量转移到极值点x0同侧的单调区间上,再利用函数单调性比较自标量的大小关系.

三、函数极值点偏移问题的解题策略

理解函数极值点偏移的概念,把握函数极值点偏移的本质和精髓,不难发现构造法是解决极值点偏移问题的通性通法,由于问题的背景和结构特征的不同,导致通过构造相应的目标函数或数学模型解决此类问题的具体策略也多种多样.

1. 构造三阶导函数

例1(2016 年高考全国Ⅰ卷理科第21 题) 已知函数f(x)=(x−2)ex+a(x−1)2有两个零点.

(Ⅰ)求a的取值范围;

(Ⅱ)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.

解 析(Ⅰ)a> 0 (过 程 从 略). (Ⅱ) 由f′(x) = (x−1)(ex+ 2a) 得f(x) 在R 上只有一个极值点为1, 当x∈(−∞,1)时,f′(x)<0,当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0(函数图象下凸). 设x1 0,f′′′(x)=(x+1)ex>0,由本质1 得f(x)在(0,2)上的极值点1 向右偏移,即,得x1+x2<2.

评析构造三阶导函数的方法体现了解决函数极值点偏移问题的导数本质,思想深刻,方法程序化、模式化,易操作,是解决极值点偏移问题行之有效的方法.

2. 构造对称函数

例2题目同例1.

解析(Ⅰ)a>0(过程从略). (Ⅱ)由f′(x)=(x−1)(ex+2a)得f(x)在R 上只有一个极值点为1,当x∈(−∞,1)时,f′(x) < 0,当x∈(1,+∞)时,f′(x) > 0,所以函数f(x)在(−∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增,则设x1<11,则

所以F(x) 在(1,+∞)单调递增, 所以F(x) >F(1) = 0,由x2> 1, 则F(x2) > 0, 即f(x2) >f(2 −x2), 因 为f(x1) =f(x2), 所以f(x1) >f(2 −x2), 又x1< 1

例3(2022年高考全国甲卷理科第21 题) 已知函数.

(Ⅰ)若f(x)≥0,求a的取值范围;

(Ⅱ)若f(x)有两个零点x1,x2,求证:x1x2<1.

评析从根本上来说,由函数值相等研究自变量的关系,一般说来,等量关系考查对称性,不等关系则考查单调性,而利用单调性比大小的关键在于把变量转化到同一个单调区间,于是借助对称构造函数,恰好能实现这一目标. 构造对称函数是解决形如x1+x2>(<)2x0和类型的极值点偏移问题的通性通法[2-3],它是从“形”的角度解决问题,从函数图象对称性的角度反映极值点偏移问题数形结合的本质和精髓. 其解题的一般步骤是:

①求函数f(x)的极值点x0;

②构造对称函数: 对于x1+x2> (<)2x0类型, 构造F(x)=f(x)−f(2x0−x); 对于, 构造;)0,即f(x)>(<)f(2x0−x)或;

③对F(x)求导判断F(x)的单调性,证明F(x) > (<

④由x1,x2的范围,结合f(x1)=f(x2)及f(x)的单调性,确定x1+x2与2x0或x1x2与的大小关系.

3. 分析法

例4题目同例1.

解析(Ⅰ)a>0(过程从略). (Ⅱ)由f′(x)=(x−1)(ex+2a)得f(x)在R 上只有一个极值点为1,当x∈(−∞,1)时,f′(x) < 0,当x∈(1,+∞)时,f′(x) > 0,所以函数f(x)在(−∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增,设x1<1

欲证明x1+x2< 2, 即证x1< 2 −x2, 再由x1<1 f(2 −x2), 由f(x1) =f(x2), 只需证f(x2) >f(2 −x2), 即f(x2) −f(2 −x2) > 0. 令F(x) =f(x)−f(2 −x) = (x−2)ex+xe2−x,设x> 1,则F′(x)=ex+(x−2)ex+e2−x−xe2−x=(x−1)(ex−e2−x)>0,所以F(x)在(1,+∞)单调递增,所以F(x) >F(1) = 0,即f(x)>(2 −x)成立,故x1+x2<2.

评析分析法是证明数学命题的重要方法之一,是探索和解决极值点偏移问题的逆向思维,用分析法解决极值点偏移问题从结论入手持果索因,具有解题方向明确,切入点单一,容易上手的优点,所以处理极值点偏移问题常常用分析法找证明的思路,但运用时应特别注意分析法对表述格式的特殊要求.

4. 构造差值换元

评析对于含指数式的极值点偏移问题, 可以考虑依据已知条件f(x1) =f(x2)列方程组,当原函数中含有参数时通过两方程作差或求和可消去参数, 将问题转化为只含x1,x2的双变量问题,再利用差值换元(即t=x2−x1),构造关于t的不等式和函数,用导数解决问题.

5. 构造比值换元

评析与构造差值换元相仿,对于含对数式的极值点偏移问题,可以考虑依据已知条件f(x1)=f(x2)列方程组,两方程作差或求和消去参数,将问题转化为只含x1,x2的双变量问题,再利用比值换元(即),构造关于t的不等式和函数,用导数解决问题.

不论构造差值换元还是构造比值换元, 都是利用题设条件列出方程组, 通过对两方程作差或求和得到含参数及x1,x2的方程,利用该方程消参得到只含x1,x2的不等式,消参规避了对参数的分析,简化了问题,同时从结论入手,结合分析法证明. 而最后构造差值或比值进行换元,其实是一种常见的减元思想,通过换元将双变量问题成功转化为单变量问题,进一步简化了问题. 此解法没有分析原函数的图象与性质,而是另辟蹊径构造了关于参数t的函数进行分析. 这两种解法的亮点是将双变量x1,x2转化为单变量t,但同时也存在一定的局限性,有些题目是无法顺利转化的[4].

6. 构造二次函数

例7题目同例1.

解析(Ⅰ)a>0(过程从略). (Ⅱ)由f′(x)=(x−1)(ex+2a)得f(x)在R 上只有一个极值点为1,当x∈(−∞,1)时,f′(x) < 0,当x∈(1,+∞)时,f′(x) > 0,所以函数f(x)在(−∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增,f(x)的极小值为f(1)=−e,又f(x1)=f(x2)=0,设x1<1

评析从函数图象轴对称性的角度,巧妙利用极限点偏移与不偏移时图象轴对称性的关系,考虑用常见的二次函数逼近的思想方法来处理极值点偏移问题,可以构造一个极值点与题中函数的极值点重合,且极值相等的二次函数,通过二次函数的轴对称性,利用两个函数在极值点两侧的位置关系,就可以解决极值点偏移问题. 构造二次函数逼近的方法体现了极值点偏移问题数形结合的思想,更能贴近学生思维的最近发展区[5],但构造二次函数时,匹配出合适的二次项系数有一定的技巧.

7. 构造对数均值不等式

例8(2010 年高考天津卷理科第21 题) 已知函数f(x)=xe−x(x∈R).

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值;

(Ⅱ)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1 对称,求证: 当x>1 时,f(x)>g(x);

(Ⅲ)如果x1x2,且f(x1)=f(x2),求证:x1+x2>2.

涉及算数平均数、几何平均数、调和平均数、平方平均数和对数平均数等结构特征的极值点偏移的问题可考虑用对数均值不等式. 在处理原函数中含有e 或lnx的极值点偏移问题时,可通过取自然对数等方法适当变形,将原问题转化为对数均值不等式模型,是从“数”的角度解决问题. 应用对数均值不等式处理极值点偏移问题,思路简捷,别具新意,易于理解和掌握[6],是一种行之有效的简便方法. 但在证明解答题时要先证明对数均值不等式后再应用.

8. 构造齐次式

评析齐次式是代数式中的常见数学形式,“齐次化”是等式和不等式变形过程中特殊且重要的方法之一,构造“齐次化”的思维方法处理极值点偏移问题,可以使复杂的结构形式实现快速转化,减少运算量,从而通过换元,易于将双变量问题转化为一元问题,有利于问题的解决.[7]

9. 构造定积分

例10(2021 年新高考Ⅰ卷第22 题)已知函数f(x) =x(1 −lnx).

评析定积分虽不是现行高中数学教学的主要内容,但定积分的思想方法是学习高等数学的基础和重要内容. 对于学有余力的学生,在教学中渗透和应用定积分的知识、思想和方法,有利于培养和提升优生的数学核心素养和综合能力.[8]

通过构造定积分,利用微积分基本定理对导函数进行积分放缩,是解决和探索极值点偏移问题的新尝试,具有程序化、模式化的特点,此方法打破常规,另辟蹊径,别具匠心,是一种特殊的另类做法,是对解决极值点偏移问题方法上的丰富和有益补充.

四、启示

函数极值点偏移问题因其综合性强、难度大、方法多样、不易解决,已成为近些年高考中的压轴题,是高考考查的重点、难点和热点. 极值点偏移问题的本质是函数图象的对称性破缺,是函数值变化快慢的问题,是导数在函数研究中的具体应用. 查阅相关文献,对此类问题进行研究综述,发现构造法是解决函数极值点偏移问题的本质和根本方法,不论是直接构造法、转化构造法、分析法,还是构造二次函数、对数均值不等式、齐次式和定积分等具体的、别具一格的特殊函数或模型,都要从问题的本质和结构特征出发去合理构造新的函数或数学模型,通过对新函数求导,判断单调性,从而使问题得以解决.

通常函数极值点偏移问题的基本结构形式有两种:x1+x2>(<)2x0和,若求证结论不是以上两种基本结构形式,一般可通过构造、换元等方法化归转化为以上两种形式. 证明时找出问题的结构特征,采用相应的解题策略,引导学生理解掌握极值点偏移的解题策略与通性通法,构造相应的函数或数学模型,将双变量问题转化为单变量问题,通过逐步深入的逻辑推理和数据分析、数学运算简化问题,最后使问题得以轻松解决.

数学是形式化的科学,不同的数学形式有不同的结构特征,不同的结构对应着不同的解题思想方法. 数学解题中,应立足于数学结构,利用结构所呈现的形式、特征与功能,通过对结构的感知、识别、联想、归纳、类比、转化、建构等认知方式实现问题解决. 教学中,重视问题的数学结构,从形式和结构着手,选择适当解题方法,强化通性通法,淡化技巧,有利于优化学生数学思维,提高学生数学解题能力,培养学生数学创造性思维,发展学生的核心素养,提高学生数学素质.[9]