2023 届江苏七市一模解几问题的探究及推广

江苏省兴化市楚水实验学校(225700) 蒋爱国 袁小强

一、问题呈现

题目(2023 届江苏七市高三一模第21题)已知双曲线的左顶点为A,过左焦点F的直线与C交于P,Q两点. 当PQ⊥x轴时,,∆PAQ的面积为3.

(1)求C的方程;

(2)证明: 以PQ为直径的圆经过定点.

本题第(1)问本质是三元方程组,由此可得出C的方程:;第(2)问综合性较强,但是本质仍然是定点定值问题,该题能有效考查学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养,下面对其进行深入探究.

二、解法探究

解法一(万能设线法) 设P(x1,y1),Q(x2,y2). 当直线PQ斜率不为零时, 设直线PQ为:x=my−2, 将其与双曲线方程联立得: (3m2−1)y2−12my+ 9 = 0,(3m2−10,∆>0),故

以PQ为直径的圆的方程为: (x−x1)(x−x2)+(y−y1)(y−y2) = 0. 由对称性可知,以PQ为直径的圆所过的定点应该在x轴上. 令y=0,得x2−(x1+x2)x+x1x2+y1y2=0,于是,化简整理得:,所以x= 1,所以PQ为直径的圆经过定点(1,0). 当直线PQ斜率为零时,显然PQ为直径的圆经过定点(1,0). 综上,PQ为直径的圆经过定点.

评注以上是参考答案提供的解法,很自然,依题意用坐标表示出PQ为直径的圆,由对称性可知定点必在x轴上,令y=0,解出x即可.

分析由对称性可知,以PQ为直径的圆所经过的定点必在x轴上. 当直线PQ斜率不存在时,PQ为直径的圆:(x+2)2+y2=9 过(1,0),(−5,0),当直线PQ斜率为零时,PQ为直径的圆:x2+y2= 1 过(1,0),(−1,0),于是PQ为直径的圆过定点M(1,0), 只需证明MP⊥MQ. 寻此思路,我们采用先充分后必要的策略求解.

解法二(向量坐标化) 设P(x1,y1),Q(x2,y2). 当直线PQ斜率不为零时, 设直线PQ为:x=my−2, 将其与双曲线方程联立得: (3m2−1)y2−12my+ 9 = 0,, 故,y1y2=,从而得到(∗)式,因此

所以MP⊥MQ,即PQ为直径的圆经过定点M(1,0).

评注直线过定点在运动,动中有静,动中求定,这里通过设而不求,达成向量数量积为0.

三、结论推广