关于b-度量空间的一点注记

韦健偲, 谢利红

（五邑大学数学与计算科学学院, 广东 江门 529020）

1906 年，Maurice 将实数空间、复数空间、向量空间、函数空间等基本空间的共性提取出来，给出度量空间的定义.随后人们从不同的角度推广了度量空间， 并研究了它们的一些性质.Steve[1]为研究给定数字的近似值，定义了p-度量.推广度量空间也可以通过弱化度量公理中的条件.例如在度量公理中把对称性条件去掉，就得到拟度量；把度量公理中的三角不等式弱化为d(x,y)≤b(d(x,z)+d(z,y))（b≥1 是一个给定实数）就得到了b-度量.

b-度量空间提出来后，关于b-度量空间的性质成为了研究热点.例如b-度量空间中有关映象的一些不动点定理[2-3]以及广义b-度量空间[4].度量化问题是一般拓扑学中的中心问题，2022年，Kunzi等[5]证明b-度量诱导的拓扑是可度量化的.但是其证明过程中存在漏洞.

主要运用Nagata-Smirnov度量化定理[6]：一个拓扑空间是可度量化的当且仅当这个空间是T1的，正则的，具有σ离散基.但是他们在证明分离公理的时候默认了每个球B(x,r)是b-度量诱导的拓扑中包含x的开集.然而据查阅文献，有例子表明b-度量诱导的球B(x,r)不是b-度量诱导的拓扑中的开集， 但没有文献证明这个球是不是球中心x的邻域.因此该文章的证明是不够严谨的.

证明了b-度量诱导的球是球心的一个邻域.对文献[4]的引理2.1和引理2.2给出严格的证明.

1 预备知识

1993 年，为了解决可测函数关于测度的收敛性问题，Czerwik[7]引入b-度量的概念，对度量的概念进行了推广.

定义1[7]设X是一个非空集，b≥1 是一个给定实数，b-度量是一个函数d:X×X→[0,+∞)，对任意x,y,z∈X满足：

1）d(x,y)=0当且仅当x=y;

2）d(x,y)=d(y,x);

3）d(x,y)≤b(d(x,z)+d(z,y)).

集X带有b-度量d后称为b-度量空间，可记为(X,d,b).

定义2[5]设(X,d,b)为一个b-度量空间，对任意x∈X，任意r＞0，称B(x,r)={y∈X:d(x,y)＜r}以x为中心，r为半径的球.

引理1[5]设(X,d,b)是一个b-度量空间，令

则τ是X上的一个拓扑.

2 主要结论及证明

首先举例说明b-度量诱导的球B(x，r)不一定是b-度量诱导拓扑中的开集.N0表示自然数集，N+表示正整数集.

例1[8]对于一个给定实数ε＞0，对于X=N0={0,1,…}，定义d:X×X→[0,∞)，则有

然后通过d(n,n)=0 和d(m,n)=d(n,m)把d扩展到X×X，则对任意的m,n,k∈X，有d(m,n)≤(1+ε)[d(n,k)+d(k,m)].

则d是一个b-度量， 令τ是该b-度量诱导的拓扑.容易得到

而对任意r＞0球B(1,r)包含无数多个元.所以有

虽然b-度量诱导的球B(x,r)不一定是b-度量诱导的拓扑中的开集，但是有以下结论.

定理1设(X,d,b)是一个b-度量空间，τ是b-度量诱导的拓扑.则对任意x∈X，任意r＞0，球B(x,r)是拓扑τ中点x的一个邻域.

证明令A={h∈B(x,r):∃r0＞0,B(h,r0)⊆B(x,r)}.则对∀a∈A，∃ra＞0，使得B(a,ra)⊆B(x,r).下证A是一个开集.

故z∈B(a,ra)，因此有，由A的构造方法可知从而A是一个开集，球B(x,r)是点x的一个邻域.

定理2设(X,d,b)是b-度量空间，τ是b-度量诱导的拓扑，则对是点x的邻域基.

证明任取U∈τ，任取x∈U，由引理1 知∃r0＞0 使得B(x,r0)⊆U.取n0∈N+使得则对有

推论1每个b-度量空间都是第一可数的.

利用定理1和定理2可以对文献[5]的引理2.1和引理2.2给出严格的证明.

定理3每个b-度量空间都是Hausdorff的.

证明设(X,d,b)是b-度量空间，任取X中不同的两点x,y，令d(x,y)=r.由定理1可得B(x,r4b)是点x的一个邻域.下证

这显然是不可能的，故不存在这样的z，即

定理4每个b-度量空间都是正则的.

证明设(X,d,b)是b-度量空间，τ是b-度量诱导的拓扑.任取x∈X，任取U∈τ使得x∈U.下证存在V∈τ，使得

则由定理1的证明过程可得V∈τ，并且有

下证

3 结束语

首先指出Kunzi 等在拓扑学权威期刊TopologyandItsApplication上发表的论文中一个漏洞; 其次证明了b-度量诱导的球是球心的一个邻域，从而使得了Kunzi 等的证明更严谨； 最后重新证明了每个b-度量空间是Hausdorff 和每个b-度量空间是正则的.对于b-度量空间，可以进一步考虑每一个b-度量空间的完备化和全有界等性质.