理清算理算法 提升运算素养——以一道解析几何题为例

江苏省扬州中学 (225007) 褚玉霞

江苏省扬州市教育科学研究院 (225009) 戚有建

一、问题提出

《普通高中数学课程标准(2017版)》提出了数学六大核心素养,明确把“数学运算”列为六大核心素养之一,明确了“数学运算”的定位:数学运算是在明晰运算对象的基础上,依据法则解决数学问题的素养.通过运算可以促进数学思维发展,形成规范化思考问题的品质,养成实事求是、严谨求实的科学精神.“数学运算”主要表现为:理解运算对象,掌握运算法则,探究运算思路,选择运算方法,设计运算程序,求得运算结果.

教学中,很多教师片面的将数学运算理解为追求速度、技巧、准确率的技能训练,这样的训练方式对学生运算素养的提升是低效的.实际上数学运算是演绎推理的一种形式,数学运算离不开算理的支撑.算理是客观存在的规律,能为数学运算提供正确的思维方式,从而保证运算的合理性和正确性.算理是在把握问题结构的基础上,从格局上合理布置运算的各个环节,使运算承上启下、有条不紊和结构紧凑,便于运算过程的自然展开,算法是一个将需要引入的运算法则、定理、公式组织成一个紧凑的系统,形成运算的一套程序.每个运算环节中都蕴含着相应的“算理”,我们应该帮助学生分析这些算理,从而指导运算,让学生体会到算理是进行一类运算的客观规律,进而提高运算的严密性和可操作性.本文以一道解几题为例,谈谈笔者在数学运算素养培养和提升方面的一些做法和思考.

二、教学案例

图1

点评:解法1通俗易懂,学生容易想到,其中对方程(m2+8)x2+4m2x+4m2-32=0的认识是关键,可能有学生担心此二次方程的根会很复杂、会是无理根,实际上,此二次方程的根肯定是有理根,不会是无理根,因为此方程实际上已经知道一根是-2.另外此二次方程实际上可以化简为一次方程,因为有一个因式是(x-2)．

导图3:设点P(x0,y0)→

点评:解法3以P点的坐标P(x0,y0)为参数,看起来有2个参数,但这2个参数满足椭圆方程,所以可以通过方程的变形整体消参,这里对方程的代数变形要求较高.另外,解法1、解法2都需要将直线和椭圆的方程联列,而解法3不需要方程的联列,所以解法3运算的效率更高,充分彰显了解析法的特点和方程的魅力.

分析4:根据分析3,本题可以设P点坐标,P点坐标包括三角形式.

点评:解法4和解法3本质上是一样的,但解法4比解法3运算路径更短、运算效率更高,因为解法4中只有一个参数.

三、教学思考

1、明晰运算对象是提升运算素养的前提

《普通高中数学课程标准(2017版)》指出,数学运算素养是在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.可见明晰运算对象是思路探究、程序设计、方法选择的前提和起源．所以我们要结合运算情境,引导学生多角度、多层次观察运算对象,得到不同的表达形式,即运算对象的多元表征,挖掘运算对象的内涵和背景,从而探究运算思路,设计运算程序．

2、理清算理算法是提升运算素养的关键

当前,很多教师在进行运算教学时侧重于技能的训练,将数学运算变成了追求速度、技巧、准确率的技能训练,这样的训练方式对学生运算素养的提升是盲目的、低效的.实际上,数学运算是演绎推理的一种形式,数学运算离不开算理的支撑.算理是客观存在的规律,能为数学运算提供正确的思维方式,从而保证运算的合理性和正确性,提高运算的严密性和可操作性.

3、亲身体验过程是提升运算素养的根本

很多教师在进行运算教学时,重视思路分析却忽视让学生真正动手去算,从而导致部分学生不愿算、不敢算、不会算．忽视学生的亲身体验,运算经验的积累、运算素养的提升是一句空话．因此,只有让学生亲身经历完整的运算过程,把分析运算条件、探求运算思路、设计运算程序、检验运算结果这些过程还给学生,才能充分培养他们的运算素养,优化他们的思维品质．