三棱锥的外接球回归到几何体模型的变式探究

宁小红

摘  要：高中数学立体几何是培养空间能力的重要载体，而多面体的外接球，尤其是三棱锥的外接球问题是有关球的问题的典型题型之一。这类问题在解答过程中通常需要做出图形，进一步分析与思考，同时对学生空间想象能力要求很高，多角度、全面、深入地考查学生的空間想象能力。外接球问题出现比较频繁，且具有一定的难度，如果能回归到具体的空间几何体模型中去，那就简单很多，也有利于培养学生的数学建模素养。

关键词：外接球;几何体模型;变式探究

【推广4】 一般的，同一点的所有棱相等，底面是任意的三角形（必有外接圆）或者能够共圆的多边形都可以回归圆锥模型。因为底面三角形的外接圆可以看成是圆锥底面，而相等的棱就是圆锥的母线，这时只需先求出底面三角形外接圆的半径，再利用勾股定理求出此棱锥的高，再利用勾股定理求出外接球的半径。特殊的例如正三棱锥、正四棱锥等正棱锥都可以回归圆锥模型。

以上是利用简单几何体模型求外接球问题的几种变式探究。正方体与长方体的外接球很容易得到，对圆柱与圆锥的外接球的半径，只要掌握了图形的结构，圆柱与圆锥相关量也能很快求解。这种构造典型几何体模型的思想在解决其他立体几何问题时也具有很好的优越性，如果能够从已知条件发现，并联系属于以上几个特殊的模型，问题将迎刃而解，这也体现了解决立体几何问题最重要的思想—转化化归。

从近几年的高考试卷上看，对空间想象能力的考查，主要是集中体现在立体几何上的，对外接球考查，一般以中档题题为主。解决这类题目，需要掌握相关的截面图和几个简单几何体的模型。事实上，球与多面体之间还有折叠的模型问题，希望在以后的教学过程中不断探究和总结。

参考文献：

[1] 王卫琼. 模型归类，速解三棱锥外接球问题[J]. 数理天地（高中版），2022（16）：2-5.

[2] 熊向前，杨墁. 例析破解三棱锥外接球问题的六种方法[J]. 中学数学研究（华南师范大学版），2020（05）：37-40.

[3] 吴平生. 三棱锥外接球半径的求法探究[J]. 数学通讯，2019（21）：9-10+13.

[4] 张文玫. 求三棱锥外接球半径的几种常见题型及解法[J]. 语数外学习（高中版中旬），2019（07）：38.

（责任编辑：向志莉）