化归与转化思想在解题中的应用

罗文军

化归与转化思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决.这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.化归与转化的原则有：（1）简单化原则，将数学问题的条件和结论，通过数学推理运算，最大限度地化简；（2）熟悉化标准化原则，将数学问题运用合理的转化方法，从陌生问题化归与转化为熟悉问题，从非标准不规范化归与转化为标准规范；（3）正难则反，遇难则转，有些问题直接很难解决，可以把角度放到問题的对立面；（4）变通性实用性原则，具体问题具体分析，选取合理的转化途径和方法.

一、函数与导数中化归与转化思想的运用

函数与导数中化归与转化思想的运用主要体现在：（1）指数与对数的互化；（2）函数与方程的转化；（3）抽象函数与一般函数的相互转化；（4）不等式问题与函数极值、最值之间的转化.

例1.已知a=log23，则4a+4－a=____________.

解析：因为a=log23，所以，2a=3，

所以，4a+4－a=2a2+2a－2=32+3－2=9+19=829.

【点评】本题运用了知识a=logbNba=N，其中b>0且b≠1，N>0.

包含把已知的对数式化为指数式的知识，体现了等价转化思想的简单化原则，可以提升运算求解能力，落实数学运算核心素养的培育.

例2.已知偶函数f（x）在［0，+）单调递增，f（3）=0，若f（x－2）<0，则x的取值范围是____________.

解析：结合题设可构造符合题意的二次函数f（x）=x2－9，

由f（x－2）=（x－2）2－9<0，可得（x－2）2<9，所以（x－2）2－32<0，

所以，（x+1）（x－5）<0，解得－1

所以，x的取值范围是（－1，5）.

【点评】本题是抽象函数问题，根据题设，构造了一个符合题意的熟悉的二次函数，再通过解一元二次不等式得出结果，将抽象问题具体化，体现了将陌生问题熟悉化、复杂问题具体化的化归与转化原则，通过本解法可以提升学生的运算求解能力和创新能力，可以提升数学抽象和数学运算的核心素养.

例3.若函数f（x）=ex－ax2（a∈R）在（0，+）有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）

A.e22，+

B.e2，+

C.e4，+

D.e24，+

【答案】D.

解析：函数f（x）=ex－ax2（a∈R）在（0，+）有两个不同的零点，

方程ex－ax2=0（a∈R）在（0，+）有两个不同的实根，

函数y=exx2与函数y=a（a∈R）在（0，+）有两个不同的交点.

令h（x）=exx2，x∈（0，+），

h′（x）=exx2－2xexx4=exx－2x3，令h′（x）=0，x=2，

当02时，h′（x）>0，

所以，函数h（x）=exx2在x∈（0，+）的最小值为h（x）min=h（2）=e24，

所以，a>e24，故选答案D.

【点评】本题运用到的知识是把已知函数在给定区间上的有两个不同零点问题化归为方程在给定区间上有两个不同实根，通过分离参数，再化归为两个函数的图像在给定区间上有两个不同交点问题，构造函数后，再化归求函数在给定开区间上的最值问题，这个题目将一个函数最终分解为两个函数，而这两个函数都有着明显的特征，这体现了复杂问题简单化的化归与转化原则，通过本题可以提升运算求解能力和创新能力，可以提升数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养.

例4.已知函数fx－1x=x2+1x2，则f23=（）

A.229

B.47

C.72

D.9736

【答案】A.

解析：fx－1x=x2+1x2=x－1x2+2，

令t=x－1x，则f（t）=t2+2，所以f23=232+2=49+2=229，

故选答案A.

【点评】本题中先结合题设中函数解析式的结构特征，借助完全平方公式整理后，整体换元后，得出函数解析式，再计算函数值，代数换元法的运用体现了把复杂化问题简单化的化归与转化原则，通过本题可以提升数学抽象和数学运算的核心素养.

例5.若函数y=x2+2mx+1在［2，+）上单调递增，则实数m的取值范围是（）

A.［－2，+）

B.［2，+）

C.（－，2）

D.（－，2］

解析：函数y=x2+2mx+1的单调递增区间为［－m，+），

所以［2，+）［－m，+），所以，－m≤2，所以，m≥－2，故选答案A.

【点评】本题结合函数单调性的定义，把问题化归为区间之间的包含关系，可得出参数m的取值范围，体现了把复杂问题简单化的化归原则.

例6.已知命题“x∈R，2x2+（m－4）x+12≤0”是假命题，则实数m的取值范围为（）

A.（－，2）

B.［2，6］

C.［6，+）

D.（2，6）

解析：因为命题“x∈R，2x2+（m－4）x+12≤0”是假命题，

所以其否定形式“x∈R，2x2+（m－4）x+12>0”是真命题，

则Δ=（m－4）2－4×2×12=（m－2）（m－6）<0，解得2

【点评】本题利用知识点把“特称命题p：x0∈M，p（x0）为假命题”化归为则它的否定“全称命题┐p：x∈M，┐p（x）为真命题”，再根据不等式恒成立的知识，可以求出参数m的取值范围.

例7.已知函数f（x）=ln（x2+1+x），若实数a，b满足f（a+2）+f（b）=0，则a+b=____________.

解析：因为函数f（x）=ln（x2+1+x），所以函数f（x）的定义域为R，关于原点对称.

又因为f（－x）=ln（x2+1－x）=ln1x2+1+x=－ln（x2+1+x）=－f（x），

所以，f（x）为奇函数，易知函数f（x）单调递增，因为实数a，b满足f（a+2）+f（b）=0，

所以f（a+2）=－f（b）=f（－b），所以，a+2=－b，所以，a+b=－2，故答案为：-2.

【点评】本题把求参数之和问题，化归为判断函数的单调性为奇函数后，利用奇函数的性质“函数之和为0则对应的自变量之和为0”求解.

例8.已知函数f（x）=ax3－3ax2+b，其中实数a>0，b∈R，则下列结论正确的是（）

A.f（x）必有两个极值点

B.y=f（x）有且仅有3个零点时，b的范围是（0，6a）

C.当b=2a时，点（1，0）是曲线y=f（x）的对称中心

D.当5a

解析：令f′（x）=3ax2－6ax=3ax（x－2）=0，得x=0或x=2，

所以f（x）必有两个极值点，故A正确；

因为a>0，令f′（x）>0，可得，x<0或x>2，令f′（x）<0，可得0

所以，函数f（x）的单调递增区间为（－，0）和（2，+），单调递增区间为（0，2），

所以f（x）极大值=f（0）=b，f（x）极小值=f（2）=b－4a，

当y=f（x）有且仅有3个零点时，则f（0）>0，f（2）<0，所以，0

当b=2a时，f（x）=ax3－3ax2+2a，f′（x）=3ax2－6ax，f″（x）=6ax－6a=0，

x=1，f（1）=a－3a+2a=0，对称中心为（1，0），故答案C正确.

设切点（x0，ax30－3ax20+b），k=f′（x0）=3ax20－6ax0，

所以y－（ax30－3ax20+b）=（3ax20－6ax0）（x－x0）.

因为过点A（2，a），所以a－（ax30－3ax20+b）=（3ax20－6ax0）（2－x0），

所以，2x30－9x20+12x0+1=ba，令g（x）=2x3－9x2+12x+1，g′（x）=6x2－18x+12=0，

则x=1或x=2，所以，g（x）极大值=g（1）=6，g（x）极小值=g（2）=5，

所以，5

【点评】本题中把判断三次函数极值点个数问题化归为判断其导函数的变号零点个数问题，把三次函数有且只有三个零点化归为其极大值大于0且极小值小于0，把求三次函数的对称中心的横坐标化归为求三次函数二阶导函数的零点，把过点A（2，a）可以作曲线y=f（x）的3条切线化归为函数g（x）=2x3－9x2+12x+1与函数y=ba的图像有三个不同交点问题.

例9.已知函数f（x）=lnx+ax+1.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若不等式f（x）－xex≤0恒成立，求a的取值范围.（参考数据：e≈1.6，ln2≈0.7）.

解析：（1）因为f（x）=lnx+ax+1，所以，f′（x）=1x+a=ax+1x，

当a≥0时，f′（x）>0恒成立，所以，f（x）在（0，+）上单调递增，

當a<0时，令f′（x）>0，得0－1a，

所以，f（x）在（0，－1a）上单调递增，在（－1a，+）上单调递减.

（2）f（x）－xex≤0，即lnx+ax+1－xex≤0，即a≤ex－lnxx－1x，

令g（x）=ex－lnxx－1x，g′（x）=ex－1－lnxx2+1x2=x2ex+lnxx2.

令h（x）=x2ex+lnx，则h′（x）=（x2+2x）ex+1x>0恒成立，

所以h（x）=x2ex+lnx在（0，+）上单调递增，因为h（12）=e4－ln2<0，h（1）=e>0，

所以存在x0∈（12，1），h（x0）=0，即x20ex0+lnx0=0，

所以，当x∈（0，x0）时，g′（x）<0；当x∈（x0，+）时，g′（x）>0，

所以，g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增，

所以，g（x）min=g（x0）=ex0－lnx0x0－1x0.

因为，x20ex0+lnx0=0，所以x20ex0=－lnx0，x0ex0=－1x0lnx0=1x0ln1x0=ln1x0×eln1x0，

令φ（x）=xex（x>0），则φ′（x）=（x+1）ex>0，所以φ（x）在（0，+）上单调递增，

因为x0，ln1x0∈（0，+），所以，x0=ln1x0=－lnx0，ex0=1x0，

所以，g（x）min=1x0－－x0x0－1x0=1，

则a的取值范围为（－，1］.

【点评】本题第（2）问中运用到分离变量法和化归与转化思想，把证明a≤g（x）在（0，+）上恒成立转化为a≤gmin（x），其中x∈（0，+）；把x20ex0=－lnx0运用对数和指数运算性质等价转化为x0ex0=ln1x0×eln1x0，运用同构法的思想构造函数φ（x）=xex（x>0），把x0ex0和ln1x0×eln1x0分别看成函数φ（x）=xex（x>0）在x0和ln1x0处的函数值.

例10.若函数f（x）=lnx－ax，g（x）=f（x）－2（x－1）x+1+ax.

（1）求g（x）的零点个数；

（2）若f（x）的两个相异零点为x1，x2，求证：x1x2>e2.

解析：（1）g（x）=lnx－2（x－1）x+1，定义域为x∈（0，+），g′（x）=1x－4（x+1）2=（x－1）2x（x+1）2，

因为x∈（0，+），所以g′（x）≥0恒成立，只有g′（1）=0，

所以g（x）在（0，+）上单调递增，又g（1）=0，

所以，当x∈（0，+）时，g（x）的零点个数为1.

（2）不妨设x1>x2>0，由lnx1=ax1，lnx2=ax2，得ln（x1x2）=a（x1+x2），lnx1x2=a（x1－x2），则ln（x1x2）lnx1x2=x1+x2x1－x2=x1x2+1x1x2－1，令t=x1x2>1，即ln（x1x2）lnt=t+1t－1，ln（x1x2）=t+1t－1lnt，

要证x1x2>e2，只需证ln（x1x2）>2，只要证t+1t－1lnt>2，即证lnt>2（t－1）t+1（其中t>1），

即证当t>1时，lnt－2（t－1）t+1>0，

由（1）中可知，当x∈（1，+）时，g（x）>g（1）=0，

所以，lnt－2（t－1）t+1>0成立，故x1x2>e2.

【点评】本题的第（2）问运用了化归与转化思想，既有分析法的运用，又有构造法的运用，运用函数零点的定义结合已知条件建立方程组，把其中的两个方程分别做乘法和除法，运用对数的运算性质进行化简，巧用比值代换法，通过分析法的叙述，不断把原问题转化为更简单和更清晰的问题，最后终于把问题转化成与函数g（x）相关联的问题，结合第（1）问的探究过程，第（2）问得证.通过本题，可以提升运算求解能力和逻辑思维能力，可以提升数学抽象、数学运算和逻辑推理的核心素养.

二、三角函数与解三角形中的化归与转化思想

三角函数中化归与转化思想的运用主要体现在：（1）多个三角函数通过辅助角公式化为只含一个三角函数；（2）通过换元法化归为二次函数.化归与转化思想在解三角形中的应用主要体现在三角形的边角之间利用正弦定理、余弦定理统一的转化化简上，使关系式中的变量达到统一.

例11.已知α∈－π4，0，β∈π2，π，cosα+β=－45，cosβ－π4=513，则cosα+π4=____________.

解析：因为α∈－π4，0，β∈π2，π，

所以α+β∈π4，π，β－π4∈π4，3π4.

又因为cosα+β=－45，cosβ－π4=513，

所以，sinα+β=35，sinβ－π4=1213，

所以，cosα+π4=cosα+β－β－π4

=cosα+βcosβ－π4+sinα+βsinβ－π4

=－45×513+35×1213=1665.

【点评】本题中把角α+π4化归为α+β与β－π4之差，根据题设以及同角三角函数平方关系式求出sinα+β的值和cosβ－π4的值，再运用差角的余弦公式可以求出cosα+π4的值.

例12.已知函数f（x）=3sinxcosx+12cos2x，若将其图像向右平移φ（φ>0）个单位长度后所得的图像关于原点对称，则φ的最小值为______.

解析：f（x）=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6，

将其图像向右平移φ（φ>0）个单位长度后得，g（x）=sin2x－2φ+π6，

因为g（x）所得的图像关于原点对称，所以g（x）为奇函数，

所以，sin－2x－2φ+π6=－sin2x－2φ+π6，

所以，－2φ+π6=kπ，其中k∈Z，

所以，φ=π12－kπ2，因为φ>0，所以φmin=π12.

【点评】本题中把将其图像向右平移φ（φ>0）个单位长度后所得的图象关于原点对称化归为平移后得到的函数g（x）=sin2x－2φ+π6为奇函数，利用奇函数的性质，通过化简可得出φ的最小值.

例13.设x∈－π6，2π3，求函数y=sin2x－4sinx+1的最值.

解析：令t=sinx，由于x∈－π6，2π3，故t∈－12，1，

y=t2－4t+1=t－22－3，

因為当t∈－12，1时，函数单调递减，所以当t=－12，即x=－π6时，ymax=134，

当t=1，即x=π2时，ymin=－2，

故函数的最大值为134，最小值为－2.

【点评】本题运用了换元法，把三角函数最值问题化归为二次函数在闭区间上的最值问题，体现了熟悉化标准化原则.

例14.在锐角ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3cosC+sinC=3b且a=1.

（1）求ΔABC的外接圆的半径；

（2）求2b－c的取值范围.

解析：（1）由3cosC+sinC=3b且a=1，可得

a（3cosC+sinC）=3b.

由正弦定理，可得sinA（3cosC+sinC）=3sinB，

因为A+B+C=π，所以sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，

所以，3cosAsinC=sinCsinA，

因为，0

又因为0

（2）由（1）知2R=233，

所以2b－c=2×233sinB－233sinC=433sinB－233sin2π3－B

=433sinB－33sinB－cosB=3sinB－cosB=2sinB－π6.

因为ΔABC为锐角三角形，所以0

则0

【点评】本题第（1）问中，利用正弦定理实现了把边化归为角，第（2）问中，运用正弦定理，把边的问题化归为关于三角形的一个角的三角函数值在给定开区间上的取值范围问题.

例15.在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosC－3sinC=a－2cb.

（1）求角B的大小；

（2）若b=2，记r为ΔABC的内切圆半径，求r的最大值.

解析：（1）因为cosC－3sinC=a－2cb，

所以bcosC－3bsinC=a－2c，

根据正弦定理：sinBcosC－3sinBsinC=sinA－2sinC，

所以，sinBcosC－3sinBsinC=sin（B+C）－2sinC，

则2sinC－3sinBsinC=sin（B+C）－sinBcosC=cosBsinC，

因为sinC≠0，所以2－3sinB=cosB，所以2=3sinB+cosB=2sinB+π6，

所以，B+π6=π2，所以B=π3.

（2）已知r为ΔABC的内切圆半径，所以B=π3，b=2，

所以，b2=4=a2+c2－ac=a+c2－3ac.

因为ac≤a+c22，所以4≥a+c2－34a+c2=14（a+c）2，

所以a+c≤4，SΔABC=12acsinB=34ac，

又因为SΔABC=12a+b+cr=12（a+c+2）r，所以r=32·aca+c+2，

所以，r=32·aca+c+2=123·3aca+c+2=123·（a+c）2－4a+c+2=123·（a+c－2）≤33，

當且仅当a=c，即ΔABC为等边三角形时，r取的最大值为33.

【点评】第（1）问先代数变形后，根据正弦定理，把等式两边的边全部化归与转化成角的正弦，再运用三角形内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式、辅助角公式化简，最后得出角B的值；第（2）问运用余弦定理、基本不等式、三角形面积公式化简后，化归为不等式问题，运用不等式性质可得出r取的最大值.

三、立体几何中的化归与转化思想

立体几何中化归与转化思想的应用体现在：（1）运用长方体模型将一般问题特殊化；（2）在求空间几何体的表面积或侧面积时将空间问题化归为平面问题；（3）求四面体的体积时等体积法的运用；（4）运用空间向量法证明线、面之间的平行、垂直关系，运用空间向量求解空间角和距离问题，实现了立体几何问题代数化.

例16.点M是正方体ABCD－A1B1C1D1中侧面正方形ADD1A1内的一个动点，正方体棱长为1，则下面结论正确的是（）

1.满足MC⊥AD1的点M的轨迹长度为2;

2.点M存在无数个位置满足直线BM1//平面BC1D;

3.在线段AD1上存在点M，使异面直线BM1与CD所成的角是30度;

4.若E是CC1的中点，则平面AD1E与平面BCC1B1所成锐二面角的正切值为22.

【答案】ABD.

【解析】对于A，如图1，因为CD⊥平面ADD1A1，AD1平面ADD1A1，

所以CD⊥AD1；因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D，

又CD，AD1平面A1B1CD，CD∩AD1=D，所以AD1⊥平面A1B1CD，

所以点M的轨迹即为平面A1B1CD与平面ADD1A1的交线，即为A1D，

所以，点M轨迹的长度为AD2+AA21=2，答案A符合题意；

对于B，如图2，因为B1D1//BD，BD平面BDC1，B1D1平面BDC1，

所以B1D1//平面BDC1；同理可得：AD1//平面BDC1，又B1D1∩AD1=D1，

B1D1，AD1平面AB1D1，所以平面AB1D1//平面BDC1，

所以点M的轨迹为平面AB1D1与平面ADD1A1的交线，即AD1，

所以点M存在无数个位置满足直线BM1//平面BC1D，B符合题意；

对于C，以D为坐标原点，DA，DC，DD1正方向为x，y，z轴，可建立如图3所示空间直角坐标系，则C（0，1，0），D（0，0，0），B1（1，1，1），A（1，0，0），D1（0，0，1），

所以DC=（0，1，0），AD1=（－1，0，1），设M（s，0，t），AM=λAD1（0≤λ≤1），

所以（s－1，0，t）=（－λ，0，λ），则M（1－λ，0，λ），所以，B1M=（－λ，－1，λ－1），

所以|cos|=|B1M·DC||B1M|·|DC|=|－1|λ2+1+（λ－1）2=12（λ－12）2+32，

即当λ=12时，|cos|max=63<32=cos30°，

所以B1M与DC夹角大于30度，古答案C不符合题意；对于D，有C可得空间直角坐标系如图4，则A（1，0，0），D1（0，0，1），E（0，1，12），

所以，AD1=（－1，0，1），D1E=（0，1，－12），設平面AD1E的法向量n→=（x，y，z），

所以，AD1·n→=－x+z=0，D1E·n→=y－12z=0，令z=2，解得：x=2，y=1，所以n→=（2，1，2）.

又平面BCC1B1⊥y轴，所以平面BCC1B1的一个法向量m→=（0，1，0），

所以，|cos|=|m→·n→||m→|·|n→|=13，所以|tan|=22，

即平面AD1E与平面BCC1B1所成锐二面角的正切值为22，故D符合题意.

【点评】对于答案A，把找线线垂直化归与转化为找线面垂直，进而再转化成找线线垂直，运用到了直线与平面垂直的定义和直线与平面垂直的判定定理，满足MC⊥AD1的点M的轨迹即为A1D，运用勾股定理可求得其长度；对于答案B，把找线面平行化归为转化为找面面平行，运用了平面与平面平行的判定定理和性质定理，从而得出点M的轨迹为AD1.

对于答案C和答案D，建立空间直角坐标系后，把立体几何问题转化成向量问题，实现几何问题代数化，答案C中把异面直线所成角问题化归成空间向量所成角问题，运用二次函数的知识，得出|cos|的最大值，从而判断答案C不符合题意，对于答案D，运用法向量的知识，先求出两平面的法向量的所成角的余弦值的绝对值，再运用同角函数基本关系式可求出两平面的法向量的所成角的正切值的绝对值，得出答案D正确.

例17.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为362π，则它的体积为（）

A.182π

B.72π

C. 642π

D.216π

【答案】B.

解析：设该直角圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以h=r，l=2r，因为直角圆锥的侧面积为362π，

所以πrl=2πr2=362π，解得r=6，

所以，该直角圆锥的体积为V=13πr2h=13πr3=13π×63=72π.

【点评】本题中直角圆锥的侧面积化归与转化为其侧面展开图扇形的面积，体现了把立体几何问题转化为平面几何问题的思想，运用到了直角圆锥轴截面的性质和圆锥的体积公式.

四、概率与统计中的化归与转化思想

概率与统计中的化归与转化思想的运用体现在：（1）利用赋值法求二项式的系数；（2）概率中，当求原事件的概率比较复杂时，利用互为对立事件的概率公式，先求对立事件的概率.

例18.（x+y+z）11展开式的项数有____________，各项系数之和为____________.

解析：（x+y+z）11的展开式当中，所有项的结构都是xryszt（其中r，s，t都是自然数且r+s+t=11），这样一来，我们就可以分类列举一下：t=0时，r+s=11，这样会产生12项；t=1时，r+s=10，这样会产生11项；t=2时，r+s=9，这样会产生10项；t=3时，r+s=8，这样会产生9项；t=4时，r+s=7，这样会产生8项；…t=11时，r+s=0，这样会产生1项，所以共有12+11+10+…+1=78项；

（x+y+z）11=x1xr1ys1zt1+x2xr2ys2zt2+x3xr3ys3zt3+…+xkxrkyskztk，

运用赋值法，令x=1，y=1，z=1可得系数之和为x1+x2+x3+…+xk=311，

故答案为78，311.

【点评】这是一道二项式定理问题，体现了化归与转化思想的熟悉化标准化原则.

例19.围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为13，都是白子的概率为215，则取出的2粒颜色不同的概率为（）

A.15

B. 13

C. 715

D. 815

【答案】D.

解析：2粒都是黑子或2粒都是白子的概率为13+215=715，

取出的2粒颜色不同的概率为1－715=815.故选：D.

【点评】本题中运用了对立事件的定义及概率公式，蕴含着“正难则反”思想，运用了化归与转化的思想.

五、解析几何中的化归与转化思想

解析几何中化归与转化思想的应用体现在：（1）一些探究性问题中，运用一般问题特殊化先探路；（2）把一些解析几何定值、最值问题，通过圆锥曲线方程与直线方程联立消元后，实现几何问题代数化.

例20.过抛物线y=－ax2（a>0）的焦点F，作一直线交抛物线于M，N两点.若线段MF与FN的长度分别为p，q，则1p+1q等于（）

A.2a

B.12a

C.4a

D.4a

解析：抛物线y=－ax2（a>0）的标准方程为－1ay=x2（a>0），焦点F（0，－14a），

过焦点F作直线垂直于y轴，则|PF|+|QF|=12a，

所以，1p+1q=4a.

【点评】本题中把过焦点F交抛物线于M，N两点的直线取成过焦点F垂直于y轴的直线，一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，运用了化归与转化思想，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.

例21.已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，点D（x0，2）在抛物线C上，且|DF|=2.

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）直线l：x=my+t与抛物线C交于A，B两点，点P（－4，0），若∠APO=∠BPO（O为坐标原点），直线l是否恒过点M？若是，求出定点M的坐标；若不是，请说明理由.

解析：（1）由题意可得，2px0=4，x0+p2=2，解得p=2，

所以，抛物线C的标准方程为y2=4x.

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立x=my+t，y2=4x，整理可得，y2－4my－4t=0，则y1+y2=4m，y1y2=－4t，

因为∠APO=∠BPO，所以kAP+kBP=0，

所以，y1x1+4+y2x2+4=y1（my2+t+4）+y2（my1+t+4）（my1+t+4）（my2+t+4）=

2my1y2+（t+4）（y1+y2）（my1+t+4）（my2+t+4）=0，

则2m×（－4t）+4m（t+4）=0，即16m－4mt=0，

当m≠0时，t=4，即M（4，0），当m=0时，t=4，符合题意，即M（4，0），

综上，直线l过定点M（4，0）.

【点评】本题第（2）问中把∠APO=∠BPO化归与转化为直线AP与BP的倾斜角互补，进而等价于它们的斜率互为相反数，再采用通法联立直线方程和抛物线的方方程的方法，本题中把已知的几何条件化归与转化成代数计算，体现把几何问题化归成代数计算的特征.

六、不等式中的化归与转化思想

不等式中的化归与转化思想体现在：（1）运用换元法求二元条件最值问题；（2）利用反证法证明不等式.

例22.已知实数x，y满足2x2－3y2－xy=1，则2x2+3y2的最小值为____________.

解析：因为2x2－3y2－xy=1，所以（2x－3y）（x+y）=1，令m=2x－3y，n=x+y，

则x=m+3n5，y=2n－m5，且mn=1，

所以，2x2+3y2=2m2+18n2+12mn25+3m2+12n2－12mn25=m2+6n25≥265，

当且仅当m2=6，n2=66时，等号成立.

【點评】本题是一道二元条件最值问题，运用了换元法，通过换元，把复杂的已知条件简单化，体现了化归与转化思想的简单化、熟悉化的原则.

例23.若a

A.1a－b<1a

B. ba

C.a+1b>b+1a

D.（1－a）a<（1－b）b

【答案】ABD.

【解析】取a=－2，b=－1，

对于答案A，1a－b=1－2+1=－1，1a=－12，所以1a－b<1a成立，故答案A正确；

对于答案B，ba=12，b－1a－1=－1－1－2－1=23，所以ba

对于答案C，a+1b=－2－1=－3，b+1a=－1－12=－32，故答案C错误；

对于答案D，（1－a）a=（1+2）－2=19，（1－b）b=（1+1）－2=14，故（1－a）a<（1－b）b，

故答案D正确.

【点评】本题运用了特殊值法，把变量问题化归为常量问题，体现了化归与转化思想的简单化、熟悉化原则.

例24.若0<μ≤14，求证：μ+1μ≥174.

证明：假设μ+1μ<174，

因为μ>0，所以不等式为μ2－174μ+1<0，

即4μ2－17μ+4<0，所以（μ－4）（4μ－1）<0，

所以，14<μ<4，与0<μ≤14矛盾.所以假设不成立.故原不等式成立.

【点评】本题运用了间接证明方法的反证法，把视野转化到问题的对立面，假设原命题不成立，通过推理论证得出与已知条件矛盾，故原命题成立，体现了化归与转化思想.

责任编辑徐国坚