基于教材情境促进数学交流的原理学习再认识

江丽梅 刘永东

[摘  要] 文章以“角的平分线的性质”为例，基于对数学原理学习的再认识开展教学实践，提出教师可依托教材设置的问题情境内涵，引领学生开展数学交流，以促进学生体悟数学思想，在深度的概念思辨中习得原理，并在拓展应用原理的过程中完善思维，积累迁移探究新问题的数学活动经验.

[关键词] 原理学习;角平分线;数学交流;教材情境

对原理学习的再认识

数学中的原理主要包括公式、法则、定理和性质. 数学原理学习实际上是学习一些概念之间的关系，它不是习得描述原理的言语信息，而是习得原理的心理意义，是一种有意义的学习，学习者学习后能指导自己的行为并解决遇到的新问题[1]. 在学习认知方式上，教师开展原理学习的一般教学方式可分三步：引入、证明和应用. 引入是教师通过创设情境让学生经历原理发现的过程;证明是对原理进行严密的推理和论证，使得学生原有的原理知识被再次激活，形成新知，完善原理网络;应用是教师引导学生运用原理解决数学问题或实际问题，逐步认识数学的应用价值.

然而，在原理教学中，教师容易走进一些误区. 如直接告知原理，没有揭示原理产生的过程，导致学生未能真正理解原理. 又如原理证明后，不再引导学生通过阅读教材来剖析原理，导致学生仅是习得描述原理的信息，停留在知其然而不知其所以然的状态. 虽然，当前教师通过开展不同形式的探究活动来改进原理教学，但又有新问题出现. 如少用教材中的素材来引发学生思考，而用自创情境探索原理，但教师自创的情境有时会偏离数学问题的本质，导致学生很难理解原理.

《义务教育数学课程标准（2011年版）》对教材的编写给出了明确的建议，其应体现科学性、整体性、可读性，此外内容的呈现应体现过程性，内容的设计要有一定弹性，总的来说，要有利于教师创造性教学[2]. 不管是教师的创造性教学，还是学生的创造性学习，都离不开对教材的合理使用. 合理使用教材的前提是师生需具有一定的数学阅读能力. 教师阅读教材越深入，越能挖掘教材的编写意图，通过问题转换和思辨交流来引导学生学习;学生阅读教材越深入，越能习得描述原理的信息，并在教师的引导下对原理开展自我探究和深度思考，真正明其意、辨其理.

开展原理学习，需师生共同精读教材，理解教材内涵，依托教材探究，其最终目的是引发学生深度交流，从中发现问题，完善和积累学习原理的经验. 下面，文章将以“角的平分线的性质“原理学习（下文简称“性质”，源于人教版数学八年级上册第12章）为例实践这一认识.

对原理学习的再探索

（一）如何依托教材实现创造性教学

很多教师都非常认同“用教材教，而不是教教材”这一观点，即教师在吃透教材的基础上再创造、再设计，而教教材则是生搬硬套，照本宣科. 何为吃透？即深入了解编者的设计意图和设计理念，深度挖掘和领悟教材内涵，达到用教材教的境界.

本课例也遵循着一定的“研究套路”，人教版教材对初中几何图形的“研究套路”是从定义到性质再到判定，其中研究性质的过程可以通过观察测量、猜想证明等方式完成. 由于角平分线的性质学习是全等三角形知识的运用和延续，为学生学习线段垂直平分线的性质提供了探索经验. 一般情况下，学生阅读教材后，难以分辨是新性质学习还是全等三角形的知识应用. 除此之外，教材对如何探究原理都有明确指向性. 如在性质探究中指出要在角的平分线上任意取点，并向角的两边作垂线，然后测量所得垂线段长度从而猜想性质，学生只需按部就班操作即可获得性质. 但教材没有指出为什么向角的两边作垂线，如果作其他辅助线是否还存在其他性质，对这些问题学生并不清楚.

实际上，探索该性质的难点在于添加辅助线，需要借助几何直观，但又不是能直接通过观察图形而得到某种结论. 这与学生已学习的一些原理不同. 如三角形的内角和定理，能通过图形直观看到三个内角而直接猜想. 角的平分线图形除了角相等，不存在线段相等的情形，如何让学生基于图形添加辅助线得到相等关系，是教学难点. 教师可以把解决问题的眼光聚焦到教材上，教材一开始给出分角器的素材（图1）的作用是引导学生习得用尺规作角的平分线的方法，以及启发学生添加辅助线. 然而学生无法通过独立阅读教材去理解其中隐含的思路，此时教师应依托教材情境增设疑问，引导学生发现和探究，体悟研究图形的新思路.

（二）如何挖掘教材以达成善用

如何挖掘教材让其转化为课堂教学素材，如何在教学实践中让学生深度思辨，在充分的数学交流中转化认知，以达成对教材的创造性使用？笔者对此再探索，结合课堂四个片段简要解析.

1. 引入教學片段

上课后，教师带领学生回顾全等三角形的性质和判定，明确全等三角形的原理学习为证明线段和角相等提供了方法，为以后研究几何图形的边角关系增加了工具.

师：学完全等三角形的性质与判定方法后，我们接着学习什么？

生：全等三角形的应用.

师：为什么教材的编排却是先研究角平分线的性质呢？

生：这个角平分线的性质的探索就是全等三角形的应用.

师：既然角平分线的性质研究是全等三角形的应用，那么通过这个图形除了得到角的数量关系，还能得到线段的数量关系吗？

学生陷入沉思……

师：我们能否利用全等三角形的知识，探索角的平分线的更多性质呢？

问题解析：这样设疑是让学生明确性质探索实质上是全等三角形的应用，掌握对几何图形认识研究的一般规律. 当学生暂且无法回答问题时，引导他们回顾三角形三条重要线段的作用：中线可平分线段，还可平分三角形面积;由高可得直角，还可求三角形面积;通过角的平分线得到角相等. 由此思考可添加辅助线去探索新性质.

2. 发现教学片段

教材中分角器是个好素材. 利用它可引导学生探索尺规作角的平分线的原理，还可启发学生的探究思维. 观察分角器（如图1），射线AE平分∠DAB是建立在DE=BE，AD=AB的基础上的，运用全等三角形判定定理和性质定理得到∠DAE与∠BAE相等，进而设置问题：基于角的平分线，在角的内部如何构造两条相等线段？显然，由于图形中不存在线段，如何构造两条线段是个难点，对此教师设置如下疑问引导学生自主探究.

师：线段是由点构成的，那么线段的第一个端点要在哪里选择？为什么？

生：角的平分线上，因为研究对象是角平分线.

师：线段的另外一个端点落在哪里，如何确定？

生：在角的两边分别取点M，N，使得MP=NP.

师：这样的构造能得到哪些线段相等呢？

生1：OM=ON.

生2：不一定. 以点P为圆心，PM为半径画圆，交角的两边共有四个点，分別为M，N，N′，M′，虽然PM=PN=PM′=PN′，但根据全等三角形的判定定理，由“SSA”无法证明这四个点与角的顶点O的距离相等（图2），所以这样取点不准确.

师：显然，这样的做法确实不够准确. 换个角度，为避免出现这种情况，我们可以找最特殊的相等线段进行研究，也就是从点P到∠AOB的两边都只能画出唯一确定的线段，结合所学知识，大家认为怎样作辅助线更合适？

问题解析：原理学习要求学生能从已有知识中提出问题或解决问题，当学生不知道如何选点时，可引导学生回顾已有知识去思考问题，进而从特殊位置思考，即在相等的线段中，垂线段具备位置关系和数量关系的特殊性. 由此向角的两边作垂线段（图2），当点P确定，PD和PE就是唯一确定的位置关系. 这里让学生体悟一般到特殊的数学思想，体悟发现问题和解决问题的途径，形成运用知识解决问题时的批判性思维.

3. 再发现教学片段

在学生完成性质探索和证明后，教师强调性质是通过探索特殊位置得到相等数量关系，明确探究未知问题时，特殊点、特殊位置、特殊值都是发现问题的起点，此时，不妨再追问.

师：如图3，过点P作射线OC的垂线，交角的两边于点M，N，得到的MP与NP是否也相等呢？

生：MP=NP.

师：既然两条线段相等，为什么它不能作为角的平分线性质呢？

问题解析：引导观察，发现△MON是一个等腰三角形，且角的平分线OP不仅是△MON的顶角的平分线，还是底边上的高和中线，该性质不作为角的平分线的独特性质学习，而是留在等腰三角形中再深化学习，这样便为后面学习等腰三角形三线合一的性质作铺垫.

4. 原理应用教学设计

教材并没有安排例题作为原理应用，由此，教师需要在教材中选择习题来作为例题. 例如教材P56第12题（图4），由已知AD平分∠BAC，求证S△ABD ∶ S△ACD =AB ∶ AC，此题能较好地体现原理的应用，起到承上启下的效果，并且通过小结能让学生加深添加辅助线得到相等关系的探索方法，从而习得原理学习的产生式，即当出现角的平分线条件时，产生向角的两边作垂线段的几何思维. 同时教师可对角的平分线的性质进行拓展应用或课后思考，让学生合作证明、类比学习，运用等高的三角形面积比解决四条线段之间存在的数量关系，即有如下拓展题.

拓展题：如图5，已知OC平分∠AOB，过点P的直线MN若不垂直于OC，则MP与NP是否相等？若不相等，线段MP，NP和OM，ON的长度存在着怎样的数量关系呢？

教学启示

1. 原理系统化，促进知识生长延伸

学生需要明白角平分线的性质研究是全等三角形的应用，这是知识学习套路中的一步. 而在研究角平分线的性质时，是否存在相等线段，则是由全等三角形的性质学习而顺其自然想到的. 通过类比三角形的另外两条重要线段：中线和高除了各自固有功能，还和三角形的面积紧密相关，来联想角平分线和三角形面积是否也有关联. 这些问题是学生学习角平分线性质的内在需求，也是原理系统网络化的体现，符合实践课程标准中教学建议：“数学知识的教学，要注重知识的‘生长点与‘延伸点，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中……[2]”

2. 阅读多质疑，激发深度数学交流

从一些优秀课例发现，教师精心设置问题情境能让学生经历原理再发现和探索的过程. 如勾股定理的探索活动，精彩案例多不胜数. 教材从一幅地砖图片引入，讲述毕达哥拉斯从图中发现定理，但学生能否看图也能发现呢？显然，学生不是数学家，但教材设置的情境能有效地刺激学生神经，若教师针对教材精准设问，引发学生深度思考，回归教材深入研究素材，长此以往，学生则会带着思考去阅读教材，逐渐形成精读教材、思辨教材的习惯，从而提升发现问题的能力.

3. 拓展合理化，提升数学思维能力

数学有着很强的结构性和系统性，任何一个数学原理都处在一定的系统和结构之中. 学生只有弄清原理之间的内在联系，才能从整体的高度和全局的视野把握原理. 前述拓展应用内容在学生高中探究三角函数二倍角公式时有十分重要的意义，这充分体现中学数学知识间的联系，也体现几何与代数间的联系. 教学拓展应用内容是为了完善学生的探索思维，使学生从特殊角出发来探索性质的一般规律，经历“从特殊到一般”的思维过程，真正提高学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.

结束语

原理的学习，关键在于教师依托教材，创设适当的情境让学生再经历探究的过程. 在此过程中，教师通过设置问题引发学生深度思考，并通过实质性的数学交流以提升学生发现问题、解决问题的能力，使学生逐渐养成用批判性思维学习原理的习惯，最终发展学生的数学核心素养.

参考文献：

[1]何小亚，姚静. 中学数学教学设计（第二版）[M]. 北京：科学出版社，2012.

[2]中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.