发展学生数学运算能力的基本途径分析

［摘  要］ 实践证明，新颖的教育理念，扎實的文化底蕴，多元化的教学手段，先进的运算思想等，是发展学生数学运算能力的重要因素. 文章从“亲历过程，感知运算意义”“注重策略，优化运算过程”“加强反思，形成良好习惯”三方面展开阐述.

［关键词］ 运算能力；策略；数学素养

作者简介：李春阳（1974—），本科学历，中学一级教师，从事初中数学教学工作.

运算能力是我国基础教育的主要内容之一，体现着学生的基本数学素养. 一直以来，教师都很重视对学生运算能力的培养，但因运算问题导致的失分现象还是屡见不鲜. 其主要原因在于学生对运算的重视程度不够或理解不够精准，只是将目光集中在运算法则的记忆上，而后凭借经验进行模仿解题，因对运算的意义缺乏理解，而导致失误的产生［1］.

本文通过对数学运算教学进行分析，并结合学生认知特点等，谈谈在教学中提高学生运算能力的具体措施，以期引起各位同行的关注与思考.

亲历过程，感知运算意义

随着时代的发展，繁杂的运算都可以借助先进的工具去解决，因而《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标》）对学生运算的要求并没有在原来的基础上提高. 但这并不代表我们可以放宽对运算的要求，降低对学生运算能力培养的要求. 而应结合学生的实际情况与运算的内涵，及时调整教学手段，尤其要转变只注重计算技巧与熟练度的思想，要将目光转移到对运算意义的理解上.

案例1  “平方差公式”的教学

“平方差公式”是学生步入初中阶段后遇到的第一个重要的乘法公式，是学生整个数学学习生涯中的重要基础，也是恒等式变形的主要依据. 这是一个具有特殊形式的乘法，是从一般到特殊的典范，因此教师可将“平方差公式”的运算教学过程定位成一个模板，供学生后期学习其他内容作参考.

教学时，教师可引导学生经历该公式的形成过程，透彻理解该公式的结构特征与意义，为实际运算应用夯实基础. 实践表明，学生在运用该公式进行运算时，常出现的错误类型有：①符号错误，如（2m-5n）·（-2m-5n）=4m2-25n2；②系数忘记进行平方，如（2m-5n）（-2m-5n）= -2m2+5n2.

之所以会出现以上错误，是因为学生没有彻底弄清楚该公式的结构特征和意义. 因此，教师在教学设计时，应从多角度进行引导，让学生亲历该公式的形成过程，深刻理解其意义. 笔者在执教本节课时，采用了如下教学流程.

1. 情境创设，激发探究兴趣

问题情境：一位狡猾的农场主，将一块正方形的土地租给一位租客作养殖场. 一年后，该农场主跟这位租客协商，说我将这块地的一边收回4 m，另一边给你增加4 m，租金不发生变化. 这位租客觉得土地面积和原来一样，就悦然同意了. 你们觉得土地面积和原来一样吗？

面对这个情境，学生众说纷纭，有学生认为一样，有学生觉得农场主应该会选择利于自己的租赁方案等. 学生的积极性都被这个情境调动了起来，一个个都表现出浓郁的探究欲.

2. 数形结合，引发探究行为

方法1：

如图1，在一个边长为a的正方形的左下角剪掉一个边长为b的小正方形，剩下部分的面积为a2-b2. 如图2，将阴影部分沿着虚线剪开重新拼接，所得的长方形面积为（a+b）（a-b）.

方法2：

如图3，在边长为a的正方形中间剪下一个边长为b的小正方形，此时阴影部分的面积是a2-b2. 如图4，将图3中的阴影部分，分解成四个小长方形并拼接，可构造一个新的长方形，此长方形面积为（a+b）（a-b）.

方法3：构造梯形

在一个边长为a的正方形左下角剪掉一个边长为b的小正方形，剩下图形的面积为a2-b2. 如图6，剪开阴影部分拼接，构造一个梯形，所得梯形面积为（a+b）（a-b）.

通过以上3种方法，都能直观地看出a2-b2=（a+b）（a-b），当然，除了这几种方法，还可以通过构造三角形、平行四边形等方式来证明此公式成立.

3. 多元表征，深化理解

认知心理学提出，表征是指在对象不显现下，用符号或符号集来替代该对象，一般以语言、图形、文字、符号等方式呈现. 统一学习对象，并用多种形式描绘与表征，能深化学生对知识的理解.

平方差公式的表征可有：①语言表征，鼓励学生通过对公式解读，用口头语言表达，以加强学生的数学表达能力；②符号表征，即用a2-b2=（a+b）（a-b）这个等式进行表征；③操作表征，即用取值的方法分别计算（a+b）（a-b）与a2-b2的值，通过列表分析，并在结果对比中进行猜想，最后证明它们之间存在怎样的代数式关系；④模型表征，用□与○代表数、单项式或多项式，让学生深层次理解a，b的实际意义，从而深化对公式的结构特征的认识，如（□+○）（□-○）=□2-○2.

学生通过实践探索与多元表征对“平方差公式”不仅仅有了表面的认识，还对该公式的来龙去脉都有着深刻理解. 因亲历了概念的形成与发展过程，学生对此概念产生了更加形象、直观、深刻的认识，为后期的学习夯实了基础.

注重策略，优化运算过程

运算过程是指根据运算法则，从已知的对象中推导出结论的过程，其实质为一个推理的过程. 如高斯定理，当遇到1+2+3+…+99+100的计算时，高斯考虑到100+1=99+2=98+3=…=51+50=101，因此，该计算的结论为50×101=5050. 这种记载是否为他当时的计算策略，如今虽无法考证，但此结论的获得必然经历了一个运算推理的过程.

运算策略的渗透，可简化运算，优化解题过程.

遇到计算求解的问题，一般学生都会首先结合自身的生活经验，提取自己熟悉的运算方式. 传统的运算策略传授，一般就是直接介绍运算法则与通用通法，而忽略了学生的具体认知水平. 随着新课改的推进，如今的运算策略渗透是结合了学生最近发展区而设计的，使学生在潜移默化中掌握一定的运算技巧.

中学阶段的学生拥有较强的思维能力，有些学生甚至能归纳出自己独有的计算策略，这种自主产生的能力，可解决遇到的多种问题. 因此，笔者认为在课堂教学中，教育者应注重对问题中所存在的数量关系的分析，借助图形、表格等，帮助学生获得数量关系中的实质联系，并以检验的方式来确定式子的合理性.

同时，师生之间和谐的交流，也能让学生猜想、尝试更多，并在验证中获得答案. 或许有人会提出疑问：直接将计算方式告诉学生不就行了，为什么还要花费那么多时间引导学生感知其过程呢？

其实这是一个价值取向的问题，直接告诉学生运算规则，容易让学生形成一种思维定式，遇到问题时就习惯性地用一种方式去解决. 长此以往，思维就产生惰性，从而导致学习变得一成不变，毫无创新可言.

教师应善于捕捉学生的思维生长点，及时激发学生思维的创造性，让学生在运算能力上有所突破. 若教师一味地打压学生的积极性，只允许学生用循规蹈矩的方式解决问题，不仅会影响学生运算能力的形成与发展，还会将学生的创新意识扼杀在摇篮中.

案例2  “一元一次方程”的教学

解方程：x+=x+1.

不少学生拿到此方程，都是按照常规运算方式，在等号的两边同时乘3，可得式子3x+1=x+3，通过移项合并同类项后，得2x=2，在此等式两边同时除以2，获得x=1的结论；也有部分学生采取先移项合并同类项，然后将x的系数转化成1；还有学生提出：是否可以将x和1，x和放在一起考虑，即将“x-1”视为一个整体，这样就能快速获得x=1的结论了.

按部就班的思维方式在运算过程中，能呈现出积极、有利的一面，但也存在负面影响. 学生常常用惯性思维去思考问题，长此以往就容易出现思维定式，从而影响运算效率，出现运算过程冗长、繁杂的现象，而思维也会处于僵化的状态，难以呈现出思维的创造性与灵活性特征，从而阻碍了学生创新意识的形成与发展［2］.

上题中，第3种解题方法，运用整体思想，将“x-1”视为一个整体进行运算. 这种方法打破了学生的思维定式，使得解题过程变得轻松、简便、快捷. 这种方法的应用不仅体现了数学思想方法在计算中的重要性，还彰显了思维的灵活性与创新性，这也是促进学生核心素养形成与发展的基础.

加强反思，形成良好习惯

弗赖登塔尔提出，反思是思维活动的核心与基本动力，缺乏反思，学生的思维就无法上升到更高的阶层. 《课标》提出，人们用数学知识解决实际问题时，会经历感知、感悟、建构与反思等思维过程，这能帮助学习者对客观事物中的数学模式做出准确的判断. 由此可见，反思在数学教学中的重要性. 学会自我反思是师生获得成长的基本途径，也是提升教学效率的根本.

运算过程中，養成良好的反思习惯，能帮助学生突破思维的障碍，让学生及时发现错误的症结，另辟蹊径，获得更好的解题方法. 初中运算过程中的反思类型，主要有以下几种.

1. 对错误的成因反思

学生在运算时，难免会出现各种错误. 出现错误并不可怕，应对错误的方式弥足重要. 学生出现运算错误的原因多种多样，常见的错误主要表现在新旧知识更替时，对概念、命题、符号间的关系理解得不清楚，出现认知上的编码错误，或认知上的负迁移等.

案例3  “分式”的教学

课堂中，学生遇到了这样一道计算题：+-.

巡视过程中，笔者发现有学生的解题过程如下：

原式=5（x+2）-4（x+3）+2（x-2）=3x-6.

很显然，这个结论是错误的，然而出现这种错误的根源是什么呢？为了从根本上杜绝此类错误的再次发生，笔者引导学生仔细分析错误原因，以期找出问题的症结. 通过教师的引导与学生的自主探究，在分析后，该生终于发现自己出现错误的原因在于将分式方程的去分母环节迁移到分式计算上了，这是典型的知识负迁移引起的错误.

一旦找到错误的根源，问题就好解决了. 此时，笔者因势利导地提出：“这种解题方法显然行不通，那是否可以从分式方程的角度来解决本题呢？”随着此问的提出，学生自主进入合作交流的状态，经讨论分析，学生展示出了新的解题方法：

设+-=A，

去分母可得：

5（x+2）-4（x+3）+2（x-2）=（x+3）·（x+2）（x-2）A，

整理得：

3x-6=（x+3）（x+2）（x-2）A.

此时可顺利得出结论.

从此过程来看，将错误当成一种教学资源，充分发挥其教学意义，即能帮助学生寻找出错误成因，又能启发学生的思维，让学生领悟知识间的内在联系，从而厘清运算间的关系，提升运算能力.

2. 对运算过程的反思

教师不仅仅要关注学生的运算错误，还要重点关注学生的运算过程，看学生是否能规范、科学地应用运算法则进行运算，观察学生是否能结合问题条件，探寻到科学、合理、便捷的运算方式［3］. 规范的运算过程，充分体现了学生的运算能力与数学素养.

案例4  “图形推理”的计算

如图7，在△ABC中，∠ACB为直角，已知AB=5，BC=12，CO⊥AB，点D为线段BO上的一点，且AC∥ED，DE=2，∠ADE<90°，分别连结CD，BE，若点P，O分别为BE，CD的中点. （1）分别求AO，PQ的长度，（2）若AB，PQ相交于点M，请写出PM-MQ的值.

第（1）问，用射影定理或等面积法容易解得AO=. 求PQ的长，是用勾股定理（构造直角三角形），还是利用中位线（点P，Q分别为BE，CD的中点）定理呢？

BE，CD这两条线段并不在一个三角形中，因此无法直接引用中位线定理来解决问题. 根据AC∥ED这个条件，可延长ED与BC相交于点F，可知∠CFD=∠BFE，且均为直角. 在直角三角形BEF中，点P为BE边的中点，作PH与EF平行，且分别交AB，BC 边于点R，H，那么PR=DE=1，RH=DF. 在直角三角形DFC中，作QG平行于DF， 与BC边相交于点G，可知QG=FD. 再连结QR，容易证得四边形GHRQ是一个矩 形，由此可知△PRQ为一个直角三角形，∠QRP=90°. 经推理可得PQ=.

第（2）问，从第（1）问可知PQ=，只要知道PM ∶ MQ的值，即可获得问题的结论（过程略）.

从本题的解题过程来看，计算与图形相关的线段长度，可以应用推理法来获得结论. 学生在推理过程中，对照自身原有的认知结构，思考所采用的计算策略是否合理，从而有效地提升自身的运算能力，为核心素养的形成奠定基础.

总之，运算能力是制约学生数学核心素养发展的一个重要因素，教师应在教学中精心设计教学过程，让学生亲历定理、公式或法则的形成与发展过程，从内心深处感知运算的实际意义. 同时还要注重运算策略的点拨，鼓励学生加强反思，以便优化运算过程，为形成良好的运算习惯奠定基础.

参考文献：

［1］曹才翰，章建跃. 数学教育心理学［M］. 北京：北京师范大学出版社，2006.

［2］刘善娜，宋煜阳. 几何直观：运算概念教学的有效通道［J］. 教学月刊小学版（数学），2013 （04）：7-10.

［3］崔志荣. 解几运算教学，让学生吃点“亏”也好［J］. 数学通报，2018，57（09）：60-62，66.