小学编程社团中递归“五步”教学法

潘洪波

递归是一种算法，无论是学习计算机语言，还是学习算法，递归一直伴随其中；递归也是一种思维方式，许多复杂的问题用递归的方式来思考就很容易解决。采用递归算法编写的程序直观、易读，理解递归概念，掌握递归本质，学会用递归编写程序，对小学生以后的学习将有很大的帮助。笔者以六年级学生为教学对象，在编程社团中经过几年的实践，总结出“准、明、归、倒、炼”五步递归教学法。

一、准

准，即导入的案例要精准，能让学生形成正确的第一感性认识。

小学生学习递归总是难以入门、难以掌握，为什么会这样？常规课堂教学一般采用故事导入，如老和尚讲故事——“从前有座山，山上有座庙，庙里有一个老和尚在给小和尚讲‘从前有座山，山上有座庙，庙里有一个老和尚在给小和尚讲……”，或用“德罗斯特效应”导入，比较经典的就是一个人拿着一个相框，相框里他拿着相框……

用这类故事导入生动有趣，容易活跃课堂气氛，但对理解递归的本质是不利的。递归的本质就是分而治之，通过“递”将一个大型的、复杂的问题层层分解为若干与原问题性质相同的、规模更小的子问题来处理，当规模小到一定程度时，可以直接得出它的解，然后利用“归”，层层回归、逐步向上求解就可以得到原问题的解。用函数实现时，因为解决大问题的方法和解决小问题的方法往往是同一种方法，所以就产生了直接或间接调用自身的情况。递归算法是一种“自己调用自己”“有去有回”的算法。

“老和尚讲故事” “德罗斯特效应”有的只是“自己调用自己”的重复，但并没有分而治之的思想（将大问题解决转化成小的子问题），也没出现递归结束条件，更没有“递”和“归”以及“有去有回”的过程。用这类故事导入，容易让学生形成一种错误的认识：递归就是重复，递归就是循环。

第一印象、第一感知很重要，如果一开始就理解错了，以后就更难学了。有没有更好的例子呢？笔者选用《小学生C++趣味编程》中“交作业啦”为课堂导入的例子。

这个例子中有分而治之的思想：求第1个学生交的作业数，可以先求第2个学生要交的作业数；求第2个学生交的作业数，可以先求第3个学生要交的作业数……要解决的问题性质不变但规模越来越小。每个学生都是收作业，就是“自己调用自己”。前一个学生转过去对后一个学生说“交作业啦”，这就是“递”的过程。“第7个是格莱尔，她是一组中的最后一个学生”，这就是递归结束条件，可以直接得出它的解。把自己的作业连同收到的作业交给前一个同学，这就是“归”的过程。“交作业啦”完整地演绎了递归算法的“自己调用自己” “有去有回”的过程，能让学生形成正确的第一感性认识。

二、明

明，即让学生明白递归的概念及递归程序的执行过程。教学时可以先分析执行过程再提出概念，这样就能让学生在动态的过程中理解静态的概念。

递归程序在执行时分两步：第一步是“递归前进”；第二步是“递归返回”。要想让学生明白这一过程，教师可以画一画递归执行图。（见图1）

学生在绘制“递”与“归”的路径中动态地理解递归概念。程序执行zuoye（1）时，要调用zuoye（2）；执行zuoye（2）时，要调用zuoye（3）……执行zuoye（6）时，要调用zuoye（7），这就是“递归前进”。zuoye（7）为1，求出zuoye（6）为2； zuoye（6）为2，求出zuoye（5）为3……最后求出zuoye（1）为7，这就是“递归返回”。

三、归

归，即根据递归执行图，找到边界条件及边界值，归纳出递归表达式。在归纳递归表达式时，先写出分步表达式，再归纳出综合表达式，因为分步表达式会在题目中直接或间接地呈现，容易写出，而综合表达式需要推理才能得出，难度大一些，在此要遵循先简单后复杂的原则。

分步表达式：

zuoye（1）=zuoye（2）+1

zuoye（2）=zuoye（3）+1

zuoye（3）=zuoye（4）+1

zuoye（4）=zuoye（5）+1

zuoye（5）=zuoye（6）+1

zuoye（6）=zuoye（7）+1

zuoye（7）= 1

综合表达式：

这样，根据递归表达式写出程序就容易多了。

在此过程中，教师要让学生明白，递归表达式是解决问题的通式，掌握归纳递归表达式的方法——可以先写出分步表达式，找出其中的规律，再写出综合表达式。同时要让学生明白，并不是所有的问题都能用递归的方法来解决，用递归解决问题时是有条件的：原问题可转化为规模更小的子问题，子问题和原问题有相同的解决方法；问题可以继续转化，转化后问题规模更小；在有限次转化后，根据递归结束的条件（边界条件）能得到最小子问题的值（边界值）。

四、倒

倒，即根据程序倒推出递归表达式，画出递归执行图，并说一说程序的作用，进行巩固练习，只有巩固后才能应用。这个过程可以借助于阅读程序写结果方式进行由浅入深的训练。

可以先让学生说一说、写一写上面这个程序递归表达式，在说和写递归表达式时，要先综合表达式后分步表达式（因为此时综合表达式、边界条件和边界值在程序中能找到，而分步表达式需要推理才能得出，所以写出综合表达式比分步表达式容易），然后画一画递归执行图，交流“递”与“归”的具体执行路径，最后思考程序的功能。

同时也可以引导学生针对递归的问题用递推的方式来解，先找到最小问题的解，然后逐步求稍大问题的解，最后求出原问题的解，为递归与递推的转化做铺垫。

需要注意的是，入门阶段递归函数参数的个数要少，建议用一个，不用两个或多个，主程序调用递归函数实参数值要小，建议在5以内，这样易于小学生分析、画图、理解，可以节约时间、提高学习效率。

五、炼

炼，即提炼出编写递归程序的方法，以实现学以致用。

这个过程以上机编程训练为主，训练时可分两步走：第一步，根据已知边界条件和邊界值、递归表达式直接写出程序；第二步，根据问题描述，由学生自己找出边界条件和边界值，推导出递归表达式，然后编写程序。

所选的题目题意要浅显，要让学生很容易就能找到边界条件和边界值，归纳出递归表达式。学生不应花大量的时间在数学分析上、花大量的精力在数学公式的推导上，应把时间和精力放在“递归”本身上。题目只是载体，学生通过这个载体来学习、巩固、提高、应用递归算法。

递归不仅是一种算法，也是一种思维方式。它可以启迪学生发现事物的整体与局部间的关系，可以培养学生从不同的视角去理解和解决问题的能力。只要选取的案例准确，教师有序地开展教学，学生可以理解递归概念、掌握递归本质、领会递归算法的精髓。