让“模型思想”活起来

孙丽卿

【摘 要】“模型思想”是重要的数学思想之一，在“数学广角”的编排中有多个内容蕴含模型思想。但小学生很少有机会深刻经历建模过程，因此对模型思想认识粗浅，难以运用数学模型解决实际问题。本文剖析学生有关“数学广角”内容的错例，结合教材编排和课堂教学，探索提升学生识模能力和建模能力的教学策略，以期能帮助学生灵活运用模型解决实际问题。

【关键词】模型思想 “数学广角” 解决问题

“模型思想”是数学十大核心概念之一，即是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。从学生认识数字起，模型思想就已蕴含其中，并贯穿于数学学习的始终。

模型思想的培养需要以现实问题为载体，面对实际问题，分析要点，把握规律。人教版数学教材中的“数学广角”内容正是来源于实际生活，每项具体内容都蕴含着重要的数学思想。其中模型思想的渗透集中体现在高年级“数学广角”的学习中。

一、琢磨：分析问题与教材

（一）剖析问题

1.就题论题，难寻模型踪迹

以“鸡兔同笼”一课的教学为例，教学后，笔者统计了47名学生完成不同题型的正确率（见表1）。

从学生答题情况可以发现，学生对于“鸡兔同笼问题”仅停留在“1头2脚和4脚”的模型层面，没有把握问题的结构特征，问题情境的变化对学生解题造成了严重干扰。

数学模型是解决某类数学问题的一般方法或公式。数学广角的内容往往安排某一情境问题作为例题，教师围绕例题展开教学，学生通过例题学习解决问题的方法。学生对“烙饼问题”“鸡兔同笼问题”“植树问题”“找次品问题”“鸽巢问题”等名称耳熟能详，但问题也就此暴露了出来。学生只会解决“鸡和兔同笼”“路旁植几棵树”等与例题相似情境的问题，教师一旦改变问题情境，他们就无从下手。

2.只知公式，不解模型出处

以“烙饼问题”为例，学生在完成该类题时错误率较高。

题目：一个平底锅每次能烙3张饼，两面都要烙，每面需3分钟，妈妈烙7张饼，至少需要多少分钟？

答案：7×3=21分钟。

学生为何会用“7×3=21分钟”，交流中他们给出的依据是课堂上得出过公式：烙饼所需最少时间=饼的张数×烙一面的时间。该公式的确是探究烙饼问题后得到的公式，然而其只有在“平底锅每次只能烙2张饼”的条件下适用。學生会有这样的“误解”，究其原因是学生对公式不够理解，没有真正理清建构模型的来龙去脉，只是生硬地套用公式模型解题。

（二）发掘教材

“数学广角”的相关内容来源于实际生活，除了包含知识技能外，更蕴含着丰富的数学思想方法，模型思想是其中重要的数学思想之一。因此，发掘每个具体内容中隐藏着怎样的“模”，需要帮助学生构建怎样的“模”，是模型思想教学的本原性问题。基于对以上问题的思考，笔者在关注高年级教材“数学广角”中所编排内容的同时，着重分析了题型的结构特征，把握解题的基础模型（见表2）。

二、建模：制订策略并实践

数学模型的建构是一个生动、深刻的过程，学生对模型思想的感悟需要自己经历建模的过程，从现实世界中找到原型后逐渐剥离现实问题中的非数学本质，最终抽象出数学模型。

根据对“数学广角”中学生模型运用的错题展现与分析，立足课堂教学实际，笔者制订了以下策略（见图1）。

（一）提升识模水平，奠定用模基础

具备模型思想的目的是能用模型解决一类问题。而数学问题的理解应首先着眼于问题的整体结构，解题者需要在整体上对所解决问题的结构有一个基本的认识，而后才能更好地把握局部，不至于在细节方面迷失方向，出现“只见树木，不见森林”的现象。

1.设计问题链，识别原型特征

问题是教学的核心，是激发学生思考的基础。所谓“问题链”，是指由多个能引领学生自主探究、深度思考的问题构成的问题序列组合。“问题链”并非几个简单问题的堆砌，而是需要根据教学的核心内容和目标精心设计，形成具有目的性、环环相扣、层层递进的系统化问题组。

“数学广角”中的问题往往以某一种经典情境为例题。学生学会例题的解题方法，并不代表有能力解决同类问题。单个例题是不利于学生识别题型结构特征的，因此在完成例题教学后，教师要设计几个问题组成问题链，引导学生思考并归纳出问题的结构特征，从而在解决问题时能快速识别其属于哪一类模型问题。

如在教学“鸡兔同笼”例题后，教师设计了以下问题链启发学生思考：（1）生活中很少把鸡和兔关在一起数它们的头和脚，那为什么这道数学题能流传至今？（2）这几个问题和“鸡兔同笼”有什么关联？（3）如何转化成怪鸡和怪兔同笼的数学问题？（4）“鸡兔同笼”问题到底是一类怎样的问题？

在学生初步能用假设法解决“鸡兔同笼”的问题后，教师提出问题1，学生对该问题只有模糊的感觉，但不能清晰地表达想法。教师提议带着这个问题研究“龟鹤问题”“摩托车和自行车轮子”问题。而后提出问题2，学生对比发现“鸡兔同笼”不只是代表着鸡和兔同笼的问题，有很多类似的问题都可以看成是“鸡兔同笼”问题。继续研究“5元和10元”问题，提出问题3，让学生比较猜想后认识到“5元可以看成有5只脚的怪鸡，10元可看成有10只脚的怪兔，总钱数就是怪鸡和怪兔的总脚数”。最后提出问题4，学生总结感受，归纳“鸡兔同笼”问题基本题型的结构特征。

上述教学中的4次追问有着不同的层次与目标，组合成一个有效的问题链。第一次针对“原生态”的问题发问，作为识模教学的起点；第二次通过类似问题的对比发现，初步明确问题的结构、模型，是识模教学的初探；第三次探究如何将同类问题转化为问题的原型，可以帮助学生实现完整的模型建构，是识模教学的强化；第四次从数学视角抽象题目的原型特征，提升了学生解决同类问题时识别题目结构特征的能力，促使其用正确的解题模型解决问题。

2.经历反建模，拓展模型外延

从具体情境抽象出数学模型的过程是建模的过程，那么将数学模型应用于更加广泛的实际情境的过程，就可以称为“反建模”的过程。运用“反建模”的过程，可以帮助学生认识到数学模型不只局限于一个问题，而应该为解决一类问题提供思路与方法。

如“鸽巢问题”主要蕴含着“抽屉原理”，构建“抽屉原理”的普通模型与生活问题的联系是难点。因此在教学的过程中，必须让学生弄清实际问题与“抽屉原理”之间的关系，发现不同情境下问题的本质。教师可以在学生学习例题后，运用方法解决问题前，给出几个不同的情境：

（1）一个小组有15个学生，至少有2个学生出生在同一月份。

（2）一个箱子里有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个，一次摸出7个，至少有3个小球的颜色相同。

（3）一副扑克牌中（去掉大、小王），任意拿10张牌，至少有3张牌的花色相同。

（4）张三玩掷骰子的游戏，要保证掷出的点数至少有4次相同，他至少要掷19次。

（5）一个九边形的每条边分别涂上红、黄两种颜色，无论怎么涂，至少有5条边是同一种颜色。

思考：在以上题目中，（   ）相当于“鸽”，（   ）相当于“巢”。

“鸽巢问题”可以存在于很多实际情境中，而能否将这个具体问题和“鸽巢问题”联系起来，能否找到具体情境和“鸽巢问题”的“一般化模型”之间的内在联系，是影响用模的关键。学生往往容易理解“显性”的问题情境，很难理解“隐性”问题情境。通过接触多种情境，学生经历反建模的过程，打破学生“巢”一定是放东西的物体这一思维定式，从中概括出“鸽巢问题”结构上的共性特征，感悟此类问题中总是隐藏着“鸽”与“巢”，拓展数学模型的问题外延，为利用模型解决问题奠定扎实的基础。

（二）经历建模过程，找准用模方式

1.教学材料整合重组，实现结构化

在数学教学中渗透模型思想，要让学生所学的数学知识结构化。教材中提供的教学材料是有限的，不利于学生从实际情境中抽象出数学模型。教师可以对教学材料进行整合重组，生成不同的学习资源，从知识整体出发，采取以简驭繁的教学思路，帮助学生在建模学习中从现实原型抽象出数学结构，从而掌握数量关系主干。

如人教版数学教材的“植树问题”中将四种题型按“两端都栽”“两端都不栽”“只栽一端”“在封闭图形上栽树”的顺序编排，教师也往往会按照该顺序进行教学，分类比较讨论归纳植树棵數与间隔数的关系，然后进行练习与巩固。这样的建模是浮于表面的，缺少对数学模型的结构化思考。

“植树问题”的数学思想是“一一对应”，这也是构建“植树问题”数学模型的重要基础。教学时教师可以将教材题目进行整合重组，并新增材料以完整建模过程。（见表3）

在课堂教学中，教师没有利用情境直接引出“植树问题”，而是新增了两个数学味更明显的教学材料，即三角形和正方形的有序排列，有直线排列，也有封闭排列。这样的整合，既隐含了“植树”的不同类型，又蕴含着“对应思想”，教师可以引导学生通过观察、比较和思考，受到暗示，有所感悟，为即将展开的探究做好了铺垫。

新授环节则对教材例题进行了重组编排，首先探究“只栽一端”的模型。通过画图，可以发现“只栽一端”的情况是刚好是“一一对应”，即一棵树对应一个间隔。“两端都栽”与“两端都不栽”存在棵树多或间隔数多的情况，并不是正好的“一一对应”。因此调整后，学生通过“只栽一端”重点发现理解“一一对应”，有利于突破“+1”

“-1”的知识难点，使数学模型的结构脉络更加清晰。

2.表征方式层层递进，实现符号化

学生在构建数学模型的过程中主要运用了符号表征、列表表征和图解表征等表征方式，而数学模型最终又要以符号的形式固定下来。因此，在学生的认知过程中需要建立起一种统摄性、符号化的具有数学结构特征的 “模型”载体，通过这样的具有“模型”功能的载体，帮助学生实现数学抽象。然而符号模型的建立不是一蹴而就的，需要建立在直观的表征方式的基础上，逐步抽象概括，这就要求教师在教学时要引导学生将表征方式逐步进化，最终数学模型的建立便会水到渠成。

如探究“烙饼问题”时，教材中以“烙饼图”表征模型（见图3）来展示找到烙3张饼的最优方法。直观图表征贴近问题原型，可作为第一层表征模型方式，帮助学生形象地感知模型。第二层表征模型可以利用简化图，即用简洁的文字和数字表示烙饼过程，摒弃外在的情境图示，让学生理解烙饼问题的最优方法是“每次烙都尽可能放满，不要有空位”，对模型进行初次抽象。接下来利用简化图的表征方式探究烙4～7张饼最少需要的时间，通过表格数据发现规律，运用数学符号表征烙饼问题最少需要时间的公式，最终得到具有普遍适用性的数学模型。

教师可以通过“直观图表征—简化图表征—符号式表征”层层递进的“说理”方式，让学生经历将具体问题不断“数学化”和“符号化”的过程，继而顺理成章地得出“烙饼问题”的一般性数学模型。这样的过程是具有灵活性的，教学过程中，学生思考问题时会采用多种表征方式，教师需要从中厘清层次关系，有梯度地进行展示研讨，引导学生形成结构化的思考模式，深刻体悟模型思想。

三、“着魔”：发展能力促兴趣

通过上述教学策略的实施，实现“模型思想”真实地渗透进学生已有的数学素养中。在数学学习过程中，学生对“模型”产生好奇，从而能主动地构想模型、建立模型、运用模型。“数学广角”的学习内容具有极强的趣味性、探究性，应让学生充分发挥其主观能动性，如此学生才会沉迷其中。

学生经历建模过程是初步感受模型思想的“魔力”。模型思想更注重应用，即用数学结构化解决问题。学生运用模型思想解决问题，尤其是现实中的各种问题，是数学模型生命力的体现。同时学生能深刻体会到模型思想不是只存在于教材中的思想方法，它还是有效解决实际问题的工具，最终实现模型思想的“魔力”能够深远地影响学生的学习和生活。