“配方”不是“配角”
2023-05-25杨元红胡超群
杨元红 胡超群
【摘要】在数学的学习中经常遇到解一元二次方程，配方法是众多方法中的万能之法，在最值问题的求解过程中，离开配方法可以说是寸步难行.在教学中教师应重视配方法这一红丝带，把代数式、方程和函数有机统一起来，引导学生构建自己的知识体系.
【关键词】初中数学；解一元二次方程；配方法
初中阶段，学生在数学学习中第一次接触到“配方”一词是在学习完全平方公式a2±2ab+b2=a±b2之后.
例1通过添加项，把多项式4x2+1配成完全平方式的形式.
解方法1：在中间加或减4x得到4x2±4x+1=2x±12.
方法2：在前面加4x4得到4x4+4x2+1=2x2+12.
方法3：在后面加116x2得到4x2+1+
116x2=2x+14x2.
在学习多项式乘法后，学习完全平方公式是为了简便计算，所以随着学习的深入，可以利用配方法解决一些代数式的最值问题.
例2判断多项式2x2+8x－5是否存在最大值或最小值？若存在，请求出最值.
解 2x2+8x－5=2x2+4x－5，
=2x2+4x+4－4－5=2x2+4x+4－2×4－5，
=2x+22－13，
因为x+22≥0，
所以2x+22≥0，
所以2x+22－13≥－13.
即多项式2x2+8x－5存在最小值，最小值为-13.
当进入到一元二次方程学习的时候，课本给出的定义是：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.下面一起来看看对一元二次方程一般式ax2+bx+c=0a≠0的配方过程，就可以感受到配方法是解一元二次方程的万能公式.
解移项，得ax2+bx=－c.
二次项系数化为1，
得x2+bax=－ca.
配方，得x2+bax+b2a2=b2a2－ca，
即x+b2a2=b2－4ac4a2.
至此，对一元二次方程的配方完成，由于a≠0，所以4a2>0.
所以，方程解的情况由b2－4ac的情况决定.
显然，（1）当b2－4ac<0时，方程无解.
（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根，
x1=x2=－b2a.
（3）当b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根，
x1=－b+b2－4ac2a，
x2=－b－b2－4ac2a.
一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的判别式.通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2－4ac.
通过一元二次方程一般式的配方过程，我们又得到了解一元二次方程的另一解法——求根公式法：当Δ≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的实数根可写为x=－b±b2－4ac2a的形式.还可以得到一元二次方程跟与系数的关系：x1+x2=－ba，x1x2=ca.可见，配方法是解一元二次方程的灵魂、是万能之法.
例3用配方法解方程2x2－4x－7=0.
解移项，得2x2－4x=7，
系数化为1，得x2－2x=72，
配方，得x2－2x+1=72+1，
即x－12=92，
解得x1=2+322，x2=2－322.
从知识体系上看，一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0是二次函数y=ax2+bx+ca≠0当函数y=0时的特殊情况，因此在对二次函数y=ax2+bx+ca≠0的性质进行研究时，仍用配方法，把一般式转化为顶点式y=ax－h2+ka≠0的形式，过程如下：
提取二次项系数a，
得y=ax2+bax+ca，
配方，得
y=ax2+bax+（b2a）2－（b2a）2+c，
即y=ax+b2a2+4ac－b24a.
因此，抛物线的对称轴是x=－b2a，顶点是（－b2a，4ac－b24a），再根据a的正负，就可以对其性质展开研究，得到最大值或最小值.
例4写出抛物线y=12x2－4x+3的开口方向、对称轴、顶点坐标，并判断其最值情况和增减情况.
解因为12＞0，
所以抛物线y=12x2－4x+3的开口向上，
又因为通过配方，得y=12（x－4）2－5，
所以对称轴是x=4，顶点是（4，－5），有最小值，最小值为-5，
当x<4时，y随x的增大而减小；
当x>4时，y随x的增大而增大.
例5如图1，开口向下的抛物线与x轴交于点A－1，0，B2，0，与y轴交于点C0，4，点P是第一象限内抛物线上的一点.
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）设四边形CABP的面积为S，求S的最大值.
解由题意可设抛物线的解析式为y=ax+1x－2.
将点C0，4的坐标代入，得4=－2a，解得a=－2，
所以该抛物线所对应的函数解析式为y=－2x+1x－2，
即 y=－2x2+2x+4 .
（2）如图2，连接OP，
设P的坐标为（m，－2m2+2m+4）（0<m<2），
因为A－1，0，B2，0，C0，4，
所以OA=1，OB=2，OC=4，
所以S=S△OAC+S△OCP+S△OPB
=12×1×4+12×4m+12×2
×（－2m2+2m+4）
=－2m2+4m+6=－2m－12+8.
所以當m=1时，S有最大值，最大值为8.
综上可见，“配方”像一条红线，贯穿于初中的数学学习，在解方程和求代数式的最大值或最小值的问题时，配方法是绝对得“主角”，因此在教学中应重视“配方”的过程而非结果，这也是学科素养的形成过程，正所谓“授人以鱼不如授人以渔”.
