借助教学方法,提高教学效率

雷应峡

[摘  要] 面对新课改的推进与各种教学方法的涌现，教师应紧跟时代的步伐，及时更新教育教学理念，结合学生认知水平与实际需求，因势利导地制定教学计划实施教学，提高教学效率. 文章从“借助思维导图，厘清知识脉络”“借助微专题，揭示知识本质”“借助数学思想，实现触类旁通”“借助错题，反思促进成长”四方面展开阐述.

[关键词] 微专题;思维导图;数学思想

新课标明确提出：教师是文化的传播者，学习的促进者，潜能的开发者，数学教学应以培养学生的实践能力与创新意识为目的，倡导自主、探究与合作学习的教学方式. 教师作为课堂的组织者、引导者与合作者，想要让学生在原有认知基础上获得更好的发展，必然离不开各种新教育理念的支持.

近年来，随着信息技术的崛起，各种新型教学方法蜂拥而至，教师应结合学情、教情筛选出合适的教学手段，在有限的时间内，最大限度地促进学生的发展.

借助思维导图，厘清知识脉络

思维导图是一种组织性思维工具，一般以某个主题为核心发散出相应的自然结构. 学生借助图象、符号、关键词等，结合大脑容易接受的规则建立一个基于自我认知的有序发散的图形，最终呈现的图形是學生对思维过程的导向与记录. 思维导图在高中数学教学中应用得非常广泛，且收效颇丰.

思维导图具有将单调知识形象化、零碎知识系统化、抽象知识具体化、复杂知识简单化、隐性知识显性化等特点，有利于学生综合理解知识. 由于个体差异性的存在，每个学生的思维方式、角度、习惯等都有所区别，因此学生呈现出来的思维导图不尽相同.

新课改背景下的数学教学，重在尊重学生的个体差异，通过一定的教学手段促进每一个学生发展. 教师可从学生呈现出的个性鲜明的思维中，发现优缺点，并给予肯定与点拨，满足不同学生的发展需求.

思维导图与学生的归纳思维有着千丝万缕的联系，归纳思维虽为一种弱抽象形式，却蕴含着猜想、发现、提炼的过程，是发展学生创造意识的基础. 而演绎思维对揭示知识的内部联系有着重要作用，因此在知识的归纳整理上，应利用演绎思维将学生脑海中零碎的知识串联起来. 思维导图顺应着学生的思维模式，可以增强学生的理解力与记忆力.

思维导图的应用目的在于优化学生的思维，因此它定位为“工具”.既然为工具，自然具有服务性.

例1 已知原点O为抛物线C：y2=4x的顶点，若过原点O作两条互相垂直的直线分别与抛物线C相交于点E，F，请证明：直线EF恒过定点.

本题的难度系数不大，但为了深化学生的理解，使其获得举一反三的解题能力，笔者决定借助思维导图与学生一起探讨本题.

步骤一，要求学生利用“设k法”，将整个解答思路口述一遍，讲明白“设k法”的价值与用途，让学生初步认识本题的解答过程.

设k为直线EO的斜率，联立直线EO的方程（仅含参数k）与抛物线的方程，可得点E的坐标（该坐标同样仅含参数k）;用-替代k，可得点F的坐标. 此时能顺利求出直线EF的方程（仅含参数k），整理EF的方程（整理参数k），可得其恒过定点.

步骤二，要求学生将以上思维过程用思维导图表达出来.

如图1所示，学生借助思维导图将整个解答思路串联在一起，让解答过程变得清晰、明了. 当然，每一个学生呈现出来的思维导图不一样，但表达的核心没有变化.

事实上，教学中类似于此的素材随处可见，教师应有意识地利用思维导图将学生的思维碎片链接到一起，让学生熟悉并熟练应用思维导图，使它成为辅助学习的一种工具.

借助微专题，揭示知识本质

高考复习经历基础知识梳理阶段、专题突破阶段与综合提升阶段，其中专题突破阶段承担着“固双基，揭本质”的使命. 这就需要教师“切割”教学内容，将其化为多个微专题，实现知识点逐个突破. 小身材、大能量是微专题教学的特点，也是当下应用得比较多的教学手段，尤其是信息技术与多媒体的广泛应用，使微专题模式越来越丰富，受到学生的认可.

时间短、知识点少、针对性强是微专题教学的特点. 正因微专题涉及的知识容量少，能将知识间的联系充分暴露出来，在夯实知识基础的同时，可以帮助学生建构较好的认知结构，故微专题教学又是实现深度学习、揭示知识本质的教学手段.

如关于三角函数求值域的问题，教师可针对这个问题设置微专题教学，教学内容主要包括以下知识：①y=asinx+bcosx（利用辅助角公式，将原式转化为y=Asin（ωx+φ））;②y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x（解决此问的核心是先降幂，再引入辅助角）;③y=asin2x+bcosx+c（将问题转化成关于cosx的一元二次函数）;④y=或y=（反解关于cosx或sinx的问题）;⑤y=sinx+sinxcosx+cosx（若sinx+cosx的值为t，则sinxcosx=，将问题转化成关于t的函数）.

这样的微专题教学，主题明确、条理清晰. 随着上述内容的逐一突破，学生对三角函数求值域问题不仅有了明确认识，还进一步理解了每一种情况下的转化过程，为形成触类旁通的解答技巧夯实了基础.

再如恒成立与有解问题的微专题教学：

例2 已知函数f（x）=x2+m-2x，g（x）=2+x，对任意x∈[-1，2]，恒有x∈[-1，2]，使g（x）=f（x），则m的取值范围是什么？

变式1：已知函数f（x）=x2+m-2x，g（x）=2+x，对任意x∈[-1，2]，恒有x∈[-1，2]，使f（x）≥g（x），则m的取值范围是什么？

变式2：已知函数f（x）=x2+m-2x，g（x）=2+x，对x∈[-1，2]，f（x）一直位于g（x）的上方，则m的取值范围是什么？

上述例题和变式的主要区别是：例题意在研究函数的值域，而变式意在研究函数的最值.

变式1比较简单（略）.

变式2可以等价转化为“f（x）>g（x）对x∈[-1，2]均成立，m的取值范围是什么？”而“f（x）>g（x）对x∈[-1，2]均成立”即“x2+m-2x>2+x对x∈[-1，2]恒成立”，即“x2+m-3x-2>0对x∈[-1，2]恒成立或m>-x2+3x+2对x∈[-1，2]恒成立”，于是此问可以继续转化为“函数t（x）=x2-3x+m-2，x∈[-1，2]，解t（x）>0”或“函数h（x）=-x2+3x+2，x∈[-1，2]，解m>h（x）”.

综上分析，微专题教学的特点在于以点带面、以小见大，便于学生更加清晰地认识知识本质，为形成深度反思提供良好条件. 深度反思的重点在于问题能否遵循逻辑关系而形成合理的问题链，能否根据学生认知水平的高低提供科学的方法.

在实际教学中，有些教师只将目光放在个别问题的解决上，没有注重引导学生探索知识间的内部联系，导致学生不能及时深度反思，致使新知无法顺利地融入学生的认知结构. 微专题教学看似“微小”实则具备“大容量”，它能很好地揭示知识间的内部联系，让学生从联系中自主系统地建构认知体系，发现知识本质.

借助数学思想，实现触类旁通

數学思想是学科发展的根本. 数学教学的根本任务是传授知识、提炼方法、传承文化，这就需要教师引导学生将数学知识串联起来，通过一定的数学思想方法的应用，达到触类旁通的教学目的. 一般情况下，学生只要掌握了数学思想方法，就掌握了数学的核心. 然而在现实教学中，仍有部分教师受传统教育思想的影响，忽略数学思想方法的总结与提炼，致使学生缺失数学思想.

在教学中，教师应着力于数学思想方法的渗透，带领学生亲历知识的形成与发展过程，让学生在亲历中感受数学思想方法独特的魅力.

例3 解关于x的不等式：mx2+（m+1）x+1≥0.

第一步，因式分解得（mx+1）（x+1）≥0. 讨论：当m=0，解x+1≥0;当m≠0，解m

x+

（x+1）≥0（一次不等式和二次不等式的区别）. 第二步，讨论m>0与m<0的情况，比较-与-1的大小，获得解集.

在讲解过程中，部分教师讨论m>0的情况时直接以-与-1的大小比较进行分类，给出答案：m>1时，x≥ -或x≤-1;m=1时，x∈R;0

有些学生在此环节中不明白为什么要对m与1的大小进行比较，也造成部分学生遇到分类讨论的问题时，习惯讨论参数与0，1的大小. 事实上，分类讨论的第一步就是要弄清楚“讨论点”的来龙去脉. 学生只有搞清楚了这一步，才能从真正意义上掌握数学思想方法，后续遇到类似问题时才能以不变应万变.

在解题教学中，教师一定要想方设法让学生自主提炼数学思想方法，只有参透数学思想方法的灵活性，才能将零散的数学知识串珠成链，使问题与结论形成必然联系，当学生遇到同类问题时便能触类旁通、从容应对.

借助错题，反思促进成长

数学教学与错题是相伴相生的关系，学生的思维也在错误的生成与纠正中得以发展. 学生在解题过程中，出现错误的主要原因在于旧知体系形成的思维定式影响了新知的建构. 鉴于此，教师可以有针对性地在学生易错处设计问题，通过点对点的纠错或试错的方式提醒学生，避免类似情况再次发生.

随着计算机的普及，教师可以引用一些现成系统，将学生的错题分类整理起来，打印下来后让学生加强训练，深化学生对错误的认识，让学生在错题归类与反思中不断提升自身的解题能力，最大限度地发挥错题的教学价值.

例4 如图2所示，已知A，B，C三点位于直线l上，P为l外的一点，若AB=CB=a，∠APB为直角，∠CPB=45°，求·的值（用a表示）.

班上共49名学生，只有12名学生全对，这样的结果令笔者感到惊讶. 为了深化学生对这部分知识的认识，笔者将一位学生的正确答案投影出来供其他学生参考. 具体解法为：

如图3所示，以点P为原点，PA所在的直线为x轴，PB所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，假设点A（x，0），B（0，y），根据点B为线段AC的中点，有点C（-x，2y）.根据已知条件，可得x2+y2=a2，

x-2y=0，解得

x=a，

y=a，因此·=-a2.

为什么本题有那么多学生不会解？学生思维的卡壳点在哪儿？究竟该如何帮助学生突破这个问题？这是本题的教学价值所在. “就题论题”不是目的，让学生“解一题通一类”才是本题的教学根本. 因此，教师要引导学生整合、转化问题条件，反思错误形成的根源，让错题成为宝贵的财富.

本题教学可从以下三个层次出发：

第一层次，一题多解，训练思维深刻性.

要求学生思考以下几个问题：①这是一道什么类型的题目，可以用什么方法来解决？②题中涉及哪些有用的条件，具有怎样的功能？③能否用关系式表示题中的条件？有什么条件无法转化？④反思所列关系式，看看还有什么条件未应用上？⑤你准备用什么方法来解决本题？⑥当初解题失败的原因是什么？⑦在“形”的基础上，关于向量类的问题，你有什么应对方法？

第二层次，一题多变，训练思维广阔性.

变式1：将原题中的∠CPB=45°换成60°，其余条件均不变.

变式2：将结论·=-a2更换为已知条件，求∠CPB的度数.

变式3：在△ABC中，AB=AC，CB=2，点D位于线段BC上，同时DB=DC，则·的最大值是多少？

第三层次，回顾总结，训练思维的概括性.

整体回顾解题过程，在类比、归纳中探寻解题规律与方法，培养学生形成迎难而上的探索精神. 如本题，可回顾如下：①怎样将“形”的关系转化为“数”的关系;②哪种解法更简便？③遇到难题时，该从什么角度分析条件与结论之间存在怎样的关系？

总之，在新课改背景下，高中数学教学不再是单纯的教授模式，而是学生主体参与的新模式. 教师应通过学习不断地提升自身的教育理念与专业水平，只有与时俱进，跟上时代步伐，才能培养出适应时代发展的创新人才.