基于整体观构建的探究发现式教学

[摘  要] 如何设计有效的教学情境和活动，使学生经历数学知识发生、发展的过程，从而丰富数学活动经验，提升数学能力，是一线教师进行教学设计的重要内容. 文章从数学文化视角，整体观构建的方式，以“利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质”为例，尝试探究发现式教学.

[关键词] 探究发现式教学;整体观;数学文化

引言

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（简称《课程标准》）指出：“数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程. 具体表现为：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作研究论证数学结论. 数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动，也是高中阶段数学课程的重要内容.”[1]如何设计有效的数学探究活动，使学生经历数学知识发生、发展的过程，从而丰富数学活动经验，提升数学能力？如何将每堂课的知识置于整体知识体系中，注重知识的“生长点”与“延伸点”，注重知识的结构和体系，引导学生感受数学的整体性？笔者在2021年参加“浙江省高中数学教学活动”的比赛中，通过对“利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质”这一内容备课、磨课、赛课，对探究发现式教学有了新的认识和体验.

分析教学内容，解读育人功能

“利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质”是人教A版（2019年版）高中数学必修第一册第五章第四节“三角函数的图象与性质”中的“探究与发现”（P208—P209）的内容，前承正弦函数、余弦函数的性质，下启正切函数的性质与图象. 一方面，正弦函数、余弦函数与其他函数一致，按照“从函数的定义到画函数的图象，再到讨论函数的性质，最后到函数模型的应用”的顺序展开，学生对研究三角函数的性质有了一定的经验积累. 教科书在后面一节“正切函数的性质与图象”中一开始设置了两个问题引导学生对函数性质的研究经验进行概括和总结，并尝试用不同的方法进行创造性实践，归纳了两种思路：一是先从三角函数的定义出发，借助单位圆得到函数的图象，再利用图象直观研究函数的性质;二是从定义出发，先分析得到函数的部分性质，再结合定义和性质得到函数的图象，从而获得函数的其他性质. 了解这些思路，可以更有效地研究函数的图象和性质，全面深入理解数形结合思想. 所以本节课内容在研究方法上有着承上启下的作用.

另一方面，《课程标准》指出：“三角函数的教学，应发挥单位圆的作用，利用圆的几何性质，借助单位圆的直观，探索三角函数的有关性质.”[1]正弦函数、余弦函数是一对起源于圆周运动，密切配合的周期函数，其基本性质是圆的几何性质（主要是对称性）的直接反映[2]，教材中的任意角、任意角的三角函数、同角三角函数的关系式、诱导公式、三角函数的图象、三角函数的性质等教学内容都可以用单位圆作为直观工具. 本节课内容在引导学生自主利用单位圆这一工具探究三角函数的有关性质，提升发现问题、分析问题和解决问题的能力方面有着重要作用，也是让学生学会利用数形结合法思考和解决问题的好机会.

探究教学以学生自主探索、动手实践、合作交流的方式，把课堂知识的接受者转变为主体学习者，搭建数学探究生本“舞台”，从而实现以学生发展为本，每位学生在学习的过程中都有收获，最终落实核心素养.

分析学情教情，制定教学策略

高一学生对圆的性质、相似三角形的有关知识、函数的性质的研究有一定的经验和认知，然而前面学习的函数都有运算的背景，其解析式都有明确的运算含义. 正弦函数、余弦函数的对应关系则与众不同，角是自变量，单位圆上的点的横、纵坐标值分别是余弦函数值、正弦函数值，拉大了与学生已有经验的距离. 究其本质，正弦函数、余弦函数的对应关系实际上是几何元素间的对应关系. 教师要帮助学生突破对应关系这一认知难点，先要引领学生搞清楚正弦函数、余弦函数的三要素，明确给定一个角后该如何得到对应的函数值，再进一步探究其性质.

正弦函数、余弦函数的独特性质就是周期性，它们也是研究一般周期运动的基础模型. 本节课从生活中的周期运动变化现象开始，到数学家与天文学家为探索运动规律做出的努力，激励学生跳出图象的舒适区，“像欧拉一样思考”，穿越时空与数学家对话，碰撞出思维的火花. 通过圆周运动到单位圆上点的旋转运动的分析，使得研究对象简单化、本质化，通过学生操作确认单位圆上点在旋转中各变量间的关系获得对应关系，突破难点，有助于学生理解和掌握知识.

本节课整个探究过程由整体观引领，项目化推进，“问题串”联动，采取基于情境、问题导向的探究发现式教学，激励学生像数学家一样思考，发挥学生的主体性、积极性，借助单位圆对称的几何直观，帮助学生探索正弦函数、余弦函数的性质，建立学生对知识方法的整体观，发展学生的直观想象和逻辑推理素养.

整体建构知识，项目推进探究

1. 在运动变化中感悟周期运动

师：生活中许多运动变化呈现出循环往复、周而复始的规律，比如月相（展示月相变化视频）以及由月地日三者运动造成的潮汐（展示潮汐变化视频）.

学生发现虽然两者都有循环往复的规律，可是周期却不一样.

教师展示数学史发展链条（如图1所示），讲述数学家、天文学家为量天测海、探索周期运动做出的努力.

师：我们在前面已经通过单位圆定义了三角函数，作出了正弦函数和余弦函数的图象，并结合图象研究过它们的性质. 今天我们在单位圓中反思正弦函数、余弦函数的性质，看看两者有着如何紧密的联系！

设计意图 通过“月相”“潮汐”引出周期运动变化以及古人为研究做出的努力，一方面可以使学生感受丰富多彩的数学文化，激发数学学习兴趣;另一方面也有助于学生理解三角函数的定义和思想方法，与数学家共鸣.

2. 在项目化研究中推进

以项目化学习的形式组织学生探究、分享. 在小组讨论、生生交流、师生交流的过程中经历火热思考、大胆质疑，发现问题、提出问题、分析问题和解决问题;探究成果体现在学生对知识的理解上，即清楚地了解知识的来龙去脉，触及数学本质，达到举一反三的目的. 项目化学习单（以“项目1：正弦函数、余弦函数的定义域”为例）如图2所示.

“利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质”

——项目化学习单

项目1：正弦函数、余弦函数的定义域

问题1：“性质是什么？”——回顾性质;

问题2：“你是从单位圆的什么地方发现这一性质的？”——指向明确地促使学生认真审视手中的单位圆工具，在探究过程中感悟单位圆工具的强大性;

问题3：“前面所学的哪些知识反映了这一性质？”——梳理知识链条，建立学生知识方法的整体观.

（1）项目1：正弦函数和余弦函数的定义域.

小组合作探究，匯报成果.

师：正弦函数、余弦函数的定义域是什么？

生1：定义域是R.

师：你是从单位圆的什么地方发现这一性质的？

生2：单位圆中的角，顺时针旋转为负角，逆时针旋转为正角.

师：角是如何与实数对应起来的？

生3：弧度制.

设计意图 让学生发现单位圆中正弦函数、余弦函数的自变量——角的变化，逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，回顾任意角与弧度制的对应.

（2）项目2：正弦函数和余弦函数的最值.

小组合作探究，汇报成果.

师：正弦函数、余弦函数的最值是什么？

生4：最大值是1，最小值是-1.

师：你是从单位圆的什么地方发现这一性质的？

生5：角的终边与单位圆交点的横坐标为余弦函数值，纵坐标为正弦函数值，当角旋转时，其变化范围都是[-1，1].

师：那么正弦函数当角旋转到什么位置时取到最大值？

生6：y轴正半轴.

类似完成最值成立条件.

设计意图 让学生回顾定义，发现单位圆中正弦函数、余弦函数的函数值随角旋转而变化.

（3）项目3：正弦函数和余弦函数的周期性.

小组合作探究，汇报成果.

师：正弦函数、余弦函数的最小正周期是什么？

生7：2π.

师：你是从单位圆的什么地方发现这一性质的？

生8：当角的终边绕单位圆旋转时，横坐标呈现1→0→-1→0→1→…的变化规律，纵坐标呈现0→1→0→-1→0→…的变化规律，这一规律每转一圈就重复出现，而角旋转一圈即为2π.

师：研究其周期性对后续研究有什么好处？

生9：清楚一个周期上函数的性质，那么整个定义域上函数的性质就完全清楚了，因此可以化无限为有限，简化研究.

师：正弦函数、余弦函数的周期性源于圆上点运动的周期性，圆是刻画圆周运动的一个非常好的模型.

设计意图 让学生体会圆是刻画圆周运动的完美模型.

（4）项目4：正弦函数和余弦函数的奇偶性.

小组合作探究，汇报成果.

师：正弦函数、余弦函数的奇偶性是什么？

生10：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.

师：你是从单位圆的什么地方发现这一性质的？

生11：角x和角-x的终边关于u轴对称，它们与单位圆交点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即cos（-x）=cosx，sin（-x）=-sinx.

师：研究其奇偶性对后续研究有什么好处？

生12：可以将有限的区间再减为原来的一半，进一步简化研究.

师：这反映了前面所学的哪些知识？

生13：诱导公式.

师：诱导公式研究的是什么问题？

生14：研究的是当两个角的终边具有特殊的对称关系时，正弦函数值和余弦函数值的关系.

延伸探究：在单位圆中探究正弦函数、余弦函数的对称中心和对称轴.

学生利用终边关于u轴、v轴对称的两个角，操作演示正弦函数、余弦函数的对称中心和对称轴.

设计意图 让学生利用圆的对称性研究正弦函数、余弦函数的对称性.

（5）项目5：正弦函数和余弦函数的单调性.

小组合作探究，汇报成果.

师：你是从单位圆的什么地方发现正弦函数、余弦函数单调性的？

学生演示操作当角的终边旋转时，横、纵坐标的变化情况，得出正弦函数、余弦函数的单调区间.

设计意图 让学生在变化中发现正弦函数、余弦函数的单调性.

3. 在整体观下拓展

利用单位圆，我们还可以研究什么问题？

生15：在单位圆中研究正切函数.

生16：研究不等关系，比如解不等式sinx>cosx.

生17：研究y=sinx+cosx这种类似的正弦、余弦组合函数的奇偶性、最值、单调性.

教师组织学生就出现的问题做简要的研究和讨论. 总结之余，推广到一般的周期模型（引出傅里叶级数），以及多项式拟合正弦、余弦函数（引出泰勒展开式），完成本节课整体知识结构框图（见图3）.

设计意图 知识总结，学以致用.

4. 回顾小结中提升

师生就本节课的研究方法作总结（见图4）.

教学过程反思，建立探究模式

章建跃先生在《从整体性上把握好数学内容》中指出：“把握好整体性，对内容的系统结构了如指掌，心中有一张‘联络图，才能把准教学的大方向，使教学有的放矢. 也只有这样，才能使学生学到结构化、联系紧密、迁移能力强的知识. ”[3]本节课从学生的现有认知水平出发，在新知与旧知的衔接点和生长点，利用项目单设计的问题链，以小组讨论活动为载体，帮助学生将复杂的探究活动拆分成更易操作的探究步骤，自然、高效地完成探究活动，发展学生的数学能力，建立学生的知识整体观，真正做到眼里有学生，有利于落实学生的主体地位，有利于落实立德树人根本任务.

在本节课中，学生通过活动参与，类比归纳，再现当年数学家的研究场景，“看”出来、“比划”出来、“讨论”出来重要的数学结论，这都是直观想象素养和逻辑推理素养发展的地方. 虽然计算机软件演示可能更直观，但是亲手操作却让人刻骨铭心[4][5]，适用性也更广，这不仅为不同层次的学生提供了积累数学探究经验和能力的平台，也为学生持续学习和发展提供了可能.

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2] 章建跃. 核心素养立意的高中数学课程教材教法研究[M]. 上海：华东师范大学出版社，2021.

[3] 章建跃. 从整体性上把握好数学内容[J]. 中小学数学（高中版），2010（03）：50.

[4] 庞海燕. HPM视角下“解析几何序言课”实践与研究[J]. 数学教学通讯，2020（09）：9-12.

[5] 庞海燕，王芳，余庆纯. 基于历史名题的高中数学单元复习课教学——以“阿基米德三角形”引领的“圆锥曲线的方程”单元复习课为例[J].数学教学通讯，2022（04）：7-11.