数学文化视域下的高中数学课例探究

王红 陈伟

[摘  要] 文章基于数学文化研究视角，结合高中数学教材中的章节内容“椭圆及其标准方程”展开对数学高效课堂构建方法的探究，以期找出一条案例分析路径，为数学高效课堂教学提供一种思路.

[关键词] 数学文化;高效课堂;构建;思路

问题提出

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（简称《标准》）明确提出了这样的要求：数学教育活动一定要和数学文化进行整合与对接，才能够全面激发学生的学习兴趣，全面拓宽他们的视野，进一步延展他们的思维. 数学文化的引入和渗透，是提升学生数学素养良好的机会. 数学文化也是数学教学当中不可或缺的一个重要内容. 数学文化对于学生核心素养的提升以及正确价值观念的形成都具有十分重要的导向性作用[1].

那么问题随之而来了，到底什么是数学文化呢？从广义上讲，数学文化被涵盖到科学文化的范畴体系中，即以数学科学体系作为基本核心，同时围绕这一个核心进行思想的渗透和方法的创新. 但是从狭义来看，数学文化是一种隐性的文化内容. 狭义的数学文化关注的是数学历史价值的呈现以及数学学科对人们精神思维的影响. 总而言之，数学文化是各种数学精神和数学观点的相互整合，是在人类文明不断向前发展过程中所积累起来的最宝贵的财富[2].

所以要想促使学生真正喜欢数学，并且产生数学学习兴趣，就必须走出传统的授课思路，学会运用创新的教学思维来开展数学教学工作，由此迎来新的教育契机. 基于此背景，笔者以数学文化为切入点，结合“椭圆及其标准方程”课例展开数学高效课堂的构建，以文化思想内涵去感染学生，树立学生学习数学的信心，激发学生学习数学的动力.

课堂实录

1. 讲好数学故事，渗透数学文化

一些学生认为数学是一门充满理性的工具性学科，与“人文”二字相去甚远. 因此，教师要将数学文化融入数学课堂，当学生对数学知识背后的文化有更深度的理解和把握后，就会亲近数学知识. 在本章节课本知识的讲解与探索中，激发学生对旦德林（Dandelin）双球实验产生学习兴趣，最终使学生渴望运用数学知识来解答数学问题[3].

实录1 学生查阅背景故事：古希腊哲学家柏拉图认为，宇宙中的天体是完美的化身，而在所有的运动中，匀速圆周运动是最完美的. 而德国天文学家、数学家开普勒用了长达4年的时间，展开了大量的计算活动，最终得出结论：火星沿着日心经度计算总是与正圆轨道相差0.133度. 他认为这关键的8分恰恰是不能被忽视的，最终他决定和圆决裂. 在最开始的研究过程中，他试图用鸡蛋型或胖面型等一些非缘曲线进行计算，但遗憾的是，这些尝试都以失败告终. 在此之后，他开始用两千多年前出现在古希腊的阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga）椭圆进行计算，这次尝试取得了巨大的成功，椭圆定律也随之出现：每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.

2. 引入生活场景，激发学生联想

新课程提到了“学有用的数学”的理念，明确要求数学教学要紧密联系学生的生活实际，充分创设生动有趣的情境，让学生能够在自己已有的生活经验和知识储备的基础上，积极开展观察活动、数学交流活动. 因此教师要善于创设真实场景，丰富教材内容，引导学生进行观察、联想，发现数学现象. 同时更要在课堂教学中根据教学内容，利用多媒体教学设备，从学生喜闻乐见的生活现象入手，引入新知识. 现代信息技术的发展，为教师提供了教学便利，教师可以利用图片、动画视频以及音频等呈现生活现象，带给学生直观体验，唤起他们的生活经验，集中学生的注意力. 教师当抓住学生急于揭开生活之谜的渴望并以此为基础，提出一些新的问题和想法，积极带领学生进入问题的探讨环境. 教师当鼓励学生进行交流和思考，在交流的过程中让学生碰撞数学思想，让他们的数学思维不断延伸，从而对数学文化产生更深厚的认同感和信任感.

结合椭圆产生的过程，笔者引导学生发现一个个的生活情境.

实录2 学生甲出示了一张油罐车的横截面轮廓线的图片，学生乙指出火腿肠片也是椭圆形的. “吃货的眼里也有数学.”笔者笑道（给予肯定），“火腿肠可以看作一个圆柱体，火腿肠片是它的什么截面？”学生答道“斜截面”. 笔者继续问道：“你们能不能现场就地取材演示圆柱体的斜截面是椭圆形的？”一阵讨论后学生丙上台，将笔者的圆柱体型的透明玻璃茶杯倾斜30°，“大家看杯中的水平面就是一个椭圆形的.”全场响起了掌声. 通过此轮互动进一步激发了学生的学习热情，锻炼了学生观察、动手的能力，调动了学生的思维.

3. 提出数学问题，助力发展逻辑思维

当学生对椭圆建立了感性认识后，笔者因势利导提出了如下问题：“数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，那么我们如何用一个数量关系来刻画这些生活中的椭圆及椭圆上动点的属性呢？”通过此问的探讨，学生得出了椭圆上的点所满足的条件，即

PF1

+

PF2

=2a. 在这个阶段，依然将空间形式和数量关系的数学文化思想渗透到此次课题内容的讨论中，以促使学生发掘生活中的数学文化.

实录3 当学生学习了椭圆的定义后，笔者以小组合作的方式组织学生将事先准备好的木板、細绳、图钉、铅笔，按照椭圆的特征画出了一个椭圆图形，然后配合使用椭圆仪和多媒体演示椭圆的生成过程，并让学生思考以下几个问题：

第一，视笔尖为动点、两个图钉为定点，试问动点与两个定点的距离和符合哪些条件？其轨迹又是怎样的？

第二，若细绳长度等于两个图钉之间的距离，则画出的图形还是椭圆吗？

第三，分别改变两定点的距离和细绳长度对椭圆的扁圆程度有何影响？

此时，根据这些问题，引导学生投入到实践探索中，由此引发学生的思想文化探究意识，让学生从数学文化视角出发去探究椭圆的定义以及其方程形成历程.

4. 定义回归，辨析椭圆定义的内涵

《标准》对数学教学活动提出了以下要求：在有效的数学学习活动的支撑和影响下，让学生的数学素养得到普遍性的提升. 但是有效的学习绝不是单纯的模仿和记忆，学生的动手实践以及合作交流是相当关键的.

实录4 用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆. 那么，为什么截口曲线是椭圆呢？

如图1所示，在圆锥内放入两球O1，O2，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切）. 两球O1，O2都与平面α相切，切点分别为F1，F2. 利用这个模型可以证明平面α与圆锥侧面的交线为椭圆，F1，F2为此椭圆的两个焦点，这两个球也被称为旦德林（Dandelin）双球. 教师在具体的教学活动中可以用圆柱体替代圆锥体重新模拟“旦德林（Dandelin）双球实验”. 教师要带领学生在实验中积极主动地进行探究，使学生对椭圆焦半径的基本性质有更深层的理解，不断提升学生的逻辑思维能力和抽象思维能力[4].

5. 实践应用，助力学生深化认知，提升能力

椭圆是描述天体运行轨迹时常用的曲线，也是生活中常见的曲线，它的光学性质在现实生活中的应用十分广泛. 本文在此列举几个椭圆应用于生活的例子，供同行在教学中利用参考.

例1 航天和椭圆.

在学校的科技小组活动中，老师组织学生利用计算机去模拟航天器变轨的返回试验. 轨迹方程为+=1，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴，M

0，

为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D（8，0）. 观测点A（4，0），B（6，0）同时跟踪航天器.

（1）求航天器变轨后的轨迹方程;

（2）假设航天器位于x轴上方，观测点A，B测得离航天器的距离分别是多少时，应向航天器发出变轨指令？

解析 （1）设航天器变轨后的轨迹方程为y=ax2+，由题意可知，0=a·64+，所以a=-. 所以曲线方程为y=-x2+.

（2）设变轨点为C（x，y），联立

+

=1，

y=-

x2+

，消去x得4y2-7y-36=0，解得y=4或y=-（与题意不符，舍去），所以x=6或x=-6（与题意不符，舍去）. 所以点C的坐标为（6，4），所以

AC

=2，

BC

=4.

答：当观测点A，B测得AC，BC分别为2，4时，应向航天器发出变轨指令.

例2 生活中椭圆性质的妙用.

第二次世界大战期间，意大利有一个专门关押盟军俘虏的山洞. 有一次盟军俘虏晚上商量好了逃跑计划，但第二天被看守的意大利士兵发现了，在此之后，不管这些盟军俘虏提出怎样的逃跑计划，总会被意大利士兵发现，泄露计划的疑点落在了某位盟军士兵身上……直到战后，盟军俘虏被解救了出来，才发现山洞的秘密：山洞中被关押的盟军俘虏和看守的意大利士兵分别在两个地方，盟军俘虏每发出一点声音，看守的意大利士兵所在的地方都听得清清楚楚. 这是什么原因呢？下面用数学知识来解释这个问题：山洞内部的空间是一个椭圆体，最大的截面为椭圆面. 关押盟军俘虏的地方和意大利士兵所在的地方分别处于椭圆的两个焦点上，因此盟军俘虏所说的话经过反射总是会传递到意大利士兵那里.

为对这个问题继续解释和分析，可让学生动起手来：先让学生准备一个圆形的纸片，圆心用O点表示，F表示除点O外的圆面内的任意一点;然后让学生翻折纸片，圆弧必通过F点，用彩色笔在折痕的位置上画出不同的颜色. 继续上述过程，绕圆心一周，最终会得到一个椭圆，那么为什么会出现这种情况呢？

由已經可得，点F关于折痕MN的对称点A一定在圆O的弧上，连接OA，与折痕MN相交于B点，连接BF，则

AB

+

OB

=

FB

+

OB

=半径（定值），所以点B在以O和F为焦点的椭圆上. （如图2所示）.

通过对几何知识进行分析可以得出结论：折痕MN所在直线是椭圆的切线，折痕MN上只有B点到O和F的距离的和最小.

下面再对原来的问题进行分析：盟军俘虏位于椭圆的焦点上，看守的意大利士兵也位于椭圆的焦点上. 因为∠FBN=∠ABN=∠MBO，声波由O传递到B，反射后沿BF的方向转递到F，所以意大利士兵能够清晰地听到盟军俘虏说的每一句话.

世界上有很多建筑都应用了这一原理，其中比较著名的就是我国的天坛回音壁和英国的私语走廊，教师可以鼓励学生去寻找生活中是否还有这样的建筑.

教学反思

1. 在数学活动中渗透数学文化

曾经听学生说过，“在课堂上睡觉是真的香！”不论这话真实与否，但至少反映出了课堂教学的一些问题. 除去学生本身的学习状态不好外，教师就要思考课堂内容的趣味性了！“兴趣”是学习的基石，正如教育学家乌申斯基所说：“如果学生对于学习活动没有兴趣却又强制这种行为，那么会导致他们的欲望被扼杀.”因此这种情形的出现是相当危险的. 对于数学教师来说，应该探索出更多的具有趣味性的课堂环境.

2.以合作方式鼓励学生探究数学文化

适当的合作探索依然是提升学生数学探究能力的重要方式与途径，应该成为教师开展教学活动的核心，并且以此为基础进行深度的合作交流活动以及探究活动[5]. 比如，教师可以积极引导小组内部成员深入研究和探索与数学文化相关的一些问题. 这样学生就可以在相互沟通中表达自己的观点和主张，完成好“椭圆及其标准方程”的基本学习任务.

比如，依然可以利用上述游戏活动，将活动的内容与过程加入合作环节，引导学生以小组的形式展开合作探究，改变单一、被动的学习方式，在操作中促使学生学习与探索数学知识，之后提出一些问题用以对比分析，如假设椭圆的焦点在y轴上，椭圆的标准方程是怎样的？有哪些新发现？通过对比分析，学生就会发现只要交换坐标轴就可以实现椭圆方程在y轴上的变化，原理基本一致，通过探讨学生又会形成对比分析方面的数学文化精神.

3.开展基于HPM理论的数学文化教学

HPM理论的研究者——华东师范大学汪晓勤教授说过，将数学文化融入数学教学活动中去，这无疑就搭建起了两个最关键的桥梁. 其中一个桥梁实现了数学学科和人文学科的相互沟通，另外一个桥梁实现了历史和现实领域的高度沟通. 这可以让数学课堂更加展现人文关怀的色彩，能够使历史顺序和逻辑顺序高度统一. 如此一来，也就为学生搭建起了一个探究历史的舞台，为激发学生的探索欲创设了良好的环境[6].

4. 尊重个体差异，及时存疑，彰显课堂人文关怀

在定义回归环节中，利用“旦德林（Dandelin）双球实验”认识圆柱体的斜截面是椭圆形面时，部分学生出现了探求困难的情况. 此时，教师要尊重学生的个体差异，不要越俎代庖，可以将问题留作课后思考题让学生有充分的时间去理解与感悟，跨越思维堑沟，获取战胜困难的信心. 适当的课堂存疑才能体现一堂完整的数学课，在这样的课堂中，数学文化的探索精神才能得到继续发扬.

结束语

综上所述，适时、高效地把数学文化融入课堂教学是很有必要的. 只有当教师在教学活动中潜移默化地植入数学文化，实现知识与文化的和谐统一时，才能使学生更好地理解数学、爱上数学，感受到数学学科的独特魅力色彩.

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2] 刘权华. 数学文化：何谓、为何与何为[J]. 江苏教育研究，2021（09）：36-39.

[3] 刘峥嵘. 数学文化视角下“椭圆及其标准方程”的教学策略[J]. 福建中学数学，2018（01）：22-25.

[4] 陈建权. 数学史融入高中解析几何教学——以“椭圆及标准方程”为例[J]. 中学数学教学参考，2021（07）：11-13.

[5] 张映姜，刘峥嵘. 融入数学文化，精彩椭圆学习——评椭圆及其标准方程（第1课时）教学[J]. 数学教学研究，2015，34（08）：18-20.

[6] 汪晓勤. HPM：数学史与数学教育[M]. 北京：科学出版社，2017.