巧设问题 引领探究

孔小军

[摘  要] 数学是一门抽象且复杂的学科. 若想让学生学好数学，教师应认真地研究教材、研究教学、研究学生，从教学实际出发，精心设计问题，让学生在问题的引导下亲身经历知识形成、发现和应用的过程，从而让学生更好地理解数学、应用数学，提高学习品质.

[关键词] 巧设问题;引领探究;过程;品质

高中阶段学生将学习很多概念、公式、定理等基本知识，若对这些基本知识仅限于单一的讲授和机械式记忆，可能很难达到灵活应用、融会贯通的效果. 另外，单一的讲授和机械式记忆无法诱发学生深度思考，将影响学生思维能力的发展和学习能力的提升. 因此，教学中教师必须改变传统的教学策略，想方设法地引领学生思考，拓展学生的思维，让学生熟练地掌握知识、深刻地理解知识. 问题作为思维的起点，是引发学生思考的动力源，是激发学生潜能的助推器. 因此，教师应关注问题的设计，借助有针对性的、启发性的问题让学生的学习能力和思维能力获得有效的发展和提升.

本文以“两角差的余弦公式”的教学为例，从教学实际出发，精心设计问题，在问题的驱动下提升学生的“四基”，发展学生的“四能”，落实学生的数学素养.

教学分析

三角函数涉及的公式众多，教学中若简单地将公式抛给学生让其记忆，也许学生能在本节课的学习中熟记公式，并能运用公式解决问题，但是随着时间的推移，学生很容易遗忘，这样势必影响学生的解题效果. 因此，教学中教师要改变传统的“讲授”，多为学生创造一些独自思考和合作交流的机会，以此让学生在思考和交流中深入理解知识，提高教学的有效性.

“两角差的余弦公式”是“三角恒等变换”这一章的基础和教学出发点，其有着非常重要的意义. 在本节课教学前，学生已经掌握了任意角三角函数的概念，本节课既是任意角三角函数的延伸，又是后续学习两角和、差、倍、半角等公式的基础.

在教学中，教师应带领学生经历发现、探索和证明知识的过程，让学生体验自主探索的乐趣，培养学生自主探究的能力，激发学生提出问题的意识，提升学生的数学素养.

教學过程

1. 创设情境

师：某市小山有一座电视发射塔，现欲求电视发射塔顶端距离地面的高度. 测量数据如下：如图1所示，地面上有一点A，测得A，C两点间的距离约为60米，从A点观测到小山和电视发射塔顶端的角度分别为15°和45°. 思考一下，根据以上数据能否求出地面与电视发射塔顶端的距离BD呢？

问题给出后，学生很快就形成了解答思路，教师点名让学生展示解答过程.

生1：在Rt△ABC中，=cos∠CAB. 因为∠CAB=15°，AC=60，所以AB=60cos15°. 又在Rt△ABD中，=tan∠DAB，所以BD=60cos15°·tan60°=60cos15°.

师：你们也是这样计算的吗？

生2：我也是这样计算的，但是感觉这个结果有问题——结果中出现了cos15°，这个到底是多少呢？

设计意图 以上问题是非常熟悉的，学生能够轻松地给出正确的解答过程并求得BD的长为60cos15°米，这样自然能够引发学生质疑：cos15°是多少呢？从而激发学生的探究欲，提高学生参与课堂的积极性.

2. 探索尝试

师：刚刚生2提出的问题非常好，那么cos15°到底等于多少呢？

问题给出后，教师没有直接给出求解过程和答案，而是鼓励学生尝试应用已有知识和经验进行推导.

生3：cos15°=cos（45°-30°）=-=.

师：对吗？如果按照这个规律计算，那么cos30°等于多少？

生3：cos30°=cos（60°-30°）=-=≠.

师：通过以上分析我们知道，cos（α-β）=cosα-cosβ不成立. 那么大家思考一下，cos（α-β）与sinα，sinβ，cosα，cosβ有没有什么关系呢？

设计意图 受思维定式的影响，推导时学生容易出现cos（α-β）=cosα-cosβ这样的错误. 在教学中，教师没有直接否认学生的结论，而是让学生利用特值法去验证，使学生自主发现cos（α-β）=cosα-cosβ并不成立. 这样让学生通过探究自主纠正错误，可以深化学生对错误的理解，能够有效避免错误的再次发生. 同时，通过有效验证，能让学生体验到数学的严谨性，有效提升学生的学习品质.

3. 探究新知

师：两点间的距离公式大家还记得吗？已知P（x，y），P（x，y），P，P之间的距离是——

生齐声答：.

师：很好，大家结合两点间的距离公式的推导过程，看看能否找到计算cos（α-β）的方法呢.

为了便于学生探究、交流，教师精心设计了问题进行引导：

如图2所示，在平面直角坐标系xOy中作单位圆，以x轴非负半轴为始边分别作角α，β，α-β（α≠β+2kπ，k∈Z），它们的终边分别交单位圆于点P，A，P，它们的坐标如何表示？（学生积极思考、主动交流）

生4：P（cosα，sinα），A（cosβ，sinβ），P（cos（α-β），sin（α-β））.

师：很好，如何将cosα，sinβ，sinα，cosβ，cos（α-β），sin（α-β）联系起来呢？

生5：由已知可得，弧PA等于弧PA，故PA=PA. 由两点间的距离公式可以推导出cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

师：非常好，若α=β+2kπ（k∈Z）时，易证. 故对任意角α，β都有cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

师：现在你会求cos15°了吗？

教师预留时间让学生自主解决教学初始提出的问题，以此进一步深化学生对两角差的余弦公式的理解.

师：观察两角差的余弦公式，说说它有什么结构特点.

设计意图 在探索新知的过程中，教师从学生的已有知识出发，引导学生结合两点间的距离公式自主探寻两角差的余弦公式，这样借助旧知为新知探索架桥铺路，有利于提升学生参与课堂的积极性. 同时，在新知探究的过程中，教师精心设计具有指向性的问题，引导学生运用数形结合思想方法探究问题，培养学生自主探索的能力. 在以上探索的过程中，教师以生为主，让学生通过思考、探究得出结论，使学生在成功的体验中获得数学学习动力.

4. 例题讲解

在教师耐心的启发和指导下，学生通过自身不懈的努力得到了结论. 为了让学生进一步理解和应用两角差的余弦公式，教师精心挑选了练习题：

练习题1：cos50°cos20°+sin50°·sin20°=______.

练习题2：cos（-15°）=______.

练习题3：化简cos（α+45°）cosα+sin（α+45°）sinα.

设计意图 以上三个练习题的难度不大，是两角差的余弦公式的简单应用. 通过具体练习能让学生注意到公式正向、逆向应用，提高其思维的灵活性. 同时让学生注意到，对于两角差的余弦公式，α，β既可以是单角，也可以是复角. 这样通过简单的、多角度的探究能让学生全面深刻地理解公式，优化学生的知识结构，提高学生的数学应用能力.

教師完成前面三个练习题的评讲后，为了进一步提高学生分析和解决问题的能力，教师又设计了一个拓展题，以此帮助学生更好地理解知识，实现知识的内化.

拓展题：已知α，β均为锐角，且sinα=，cosβ=，求α-β的值.

设计意图 这是一道由值求角的拓展题，难度略有提升.这道题通过反向探究可以让学生掌握解决此类题目的方法. 对于此类题目，学生解答时容易忽视角的范围而产生增根，引发错误. 教师可以学生的易错点为出发点，通过具体练习让学生掌握解决此类题目的步骤，以此提高解题准确率.

5. 课堂小结

此环节中教师应为学生提供一个自由交流的学习环境，让学生通过互动交流总结归纳本节课之所获，进而丰富学生的认知体系，帮助学生积累学习经验.

师：请大家谈一谈，本节课你有哪些收获？

教师预留时间让学生反思回顾，之后互动交流.

生6：掌握了两角差的余弦公式.

生7：理解了两角差的余弦公式的推导过程及相关应用.

……

师：很好，看来大家收获很多. 那么具体应用公式解决问题时要注意些什么呢？

生8：要注意角的范围.

设计意图 通过反思回顾，可以加深学生对知识的记忆. 在本环节中，教师将总结归纳的机会留给了学生，并进行了适度的补充，以此让学生更加全面地理解知识，建构完善的认知体系.

教学思考

在教学中，教师应从实际出发，精心设计生活情境，让学生利用已有知识和经验探索未知，并在探索中发现和提出问题，以此激发学生的探究欲以及学习兴趣. 在本节课的教学中，教师重视激发学生的主体作用，为学生创设了一个平等、互动的学习环境，带领学生体验发现、提出、推导、应用新知的过程，培养学生的创新意识. 另外，在教学中，教师结合教学内容精心设计问题，引导学生积极主动地分析问题，探究问题解决的途径和方法，并帮助学生突破教学重难点，让学生体验数学探究的乐趣，激发学生的潜能，提升学生的综合素养.

总之，在新知探究中，教师要创设机会让学生去发现、去探索、去创造，以此让学生掌握研究数学的方法和路径，有效提高学生的数学学习能力.