基于SOLO分类理论的高中数学习题教学及作业设计

刘洋洋

[摘  要] SOLO分类理论是一种具有层次性的量的测评与质的考查相结合的评价理论，基于SOLO分类理论，教师可以科学有效地对数学习题进行层次化的课堂讲解与课后作业布置，还可以对学生的“学”进行评价.

[关键词] SOLO分类理论;层次化;习题教学;作业设计;数学思维技能水平

高中数学逻辑推理性强、抽象程度高、知识难度大，学生又在认知能力、数学思维技能水平等方面存在差异，对于习题解答往往只是简单地机械式模仿，并没有领悟到其中的“门道”，于是常常出现：明明题目的解答思路没有变化，只是改变了一些条件的位置或数字，学生就不会了.这就需要教师在“划一性”的教学环境下利用有效的干预措施设计有层次的课堂习题和课后作业，以此加深学生对所学知识的理解、运用，以及满足不同思维层次水平的学生发展的需求.

SOLO分类理论的基本观点

SOLO分类理论是澳大利亚教育心理学家约翰·彼格斯（John B.Biggs）和凯文·科利斯（Kevin F.Collis）在皮亚杰发展阶段论基础上建立的一种以等级描述为特征的质性评价理论. 他们认为一个人的总体认知结构是一个纯理论性的概念，是不可检测的，而一个人回答某个问题时所表现出来的思维结构却是可以检测的，彼格斯称其为“可观察的学习成果”[1].

SOLO分类理论不仅关注学习内容，还根据学习内容的多寡及它们之间的联系来确定思维层次，同时也关注任务过程，即学生怎样完成学习任务，使用什么方法、技巧等，体现了过程与内容的良好结合.它是一种用结构特征来描述、解释学生反应，然后用结构特征来评价、确定某种特定反应的层次模型[2]. 彼格斯等人把学生对某个问题的学习结果由低到高划分为前结构（U）、单点结构（P）、多点结构（M）、关联结构（R）和抽象拓展结构（E）五个水平. 对于具体的数学问题，从解决其所需知识点个数及相互联系的角度出发，根据SOLO分类理论也可以将其划分为五个结构水平，如表1所示[3].

将数学习题根据SOLO分类理论划分后，教师不仅可以对数学习题进行层次化的课上讲解与课后作业布置，还可以对学生的“学”进行评价，以此了解学生对知识的掌握情况和所处的思维技能水平，进而调整、改变教学策略并开展更有針对性的课后辅导，促进学生数学思维水平的发展.

运用SOLO分类理论对数学习题进行层次化讲解

原题 （2020年海南省高考第7题）已知函数f（x）=lg（x²-4x-5）在（a，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（  ）

A. （2，+∞） B. [2，+∞）

C. （5，+∞）D. [5，+∞）

此题是2020年海南省高考第7题，考查的是对数函数与二次函数的复合函数的单调性问题，对于高一新生而言直接求其单调性已是难点，此题还引入了参数a，可谓难上加难. 为了让学生能找到解决此类问题的关键点，让学生更好地理解、掌握解决此类问题的思想方法，教师可以运用SOLO分类理论对该题进行层次化讲解，设置合理坡度，推动学生数学思维技能水平的发展.

1. 用关键知识点划分问题，引领学生思考

层次1 请同学们思考并回答以下问题.

【讲】

（1）请同学们观察函数y=lg（x2-4x-5）的解析式，里面包含几个函数？此函数的单调性与其包含的函数的单调性有关吗？

（2）你能找到二次函数u=x2-4x-5的对称轴、最值以及与x轴的交点吗？

（3）你能画出二次函数u=x2-4x-5的简图，并求出其单调区间吗？

（4）求函数y=lg（x2-4x-5）的定义域.

（5）求函数y=lg（x2-4x-5）的单调增区间和减区间.

【变】

（6）求函数y=log（x2-4x-5）的单调区间.

（7）求函数y=log（-x2-4x-5）的单调区间.

（8）（2020年海南省高考第7题）已知函数f（x）=lg（x2-4x-5）在（a，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（  ）

A. （2，+∞） B. [2，+∞）

C. （5，+∞） D. [5，+∞）

【评】

生：说出解题体验.

师：在“变”中找“不变”，总结此类问题的求解方法和思想. （见表2）

2. 通过“形”的直观，找到“数”的联系，培养学生高阶数学思维能力

层次2 图1、图2、图3分别是函数y=x2-2x-3，y=log（x2-2x-3）和y=log（x2-2x-3）的图象，请同学们仔细观察其图象并回答下列问题.

【讲】

（1）请同学们观察函数y=log（x2-2x-3）和y=log（x2-2x-3）的解析式结构，你有什么发现？

（2）请同学们观察图2和图3，它们有何相同点？与谁有关？是如何得来的？

（3）请同学们将图1和图2，图1和图3结合在一起观察其单调性，你能得到什么结论？

（4）根据以上结论，求y=log（x2-2x-3）和y=log（x2-2x-3）等此类函数的单调区间，同学们应分几步？

【变】

（5）练一练：求函数y=lg（x2-4x-5）的单调区间.

（6）（2020年海南省高考第7题）已知函数f（x）=lg（x2-4x-5）在（a，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（  ）

A. （2，+∞） B. [2，+∞）

C. （5，+∞） D. [5，+∞）

【评】

生：说出解题体验.

师：在“变”中找“不变”，总结此类问题的求解方法和思想. （见表3）

将层次1与层次2进行对比不难发现，层次1适用于基础较薄弱的学生，层次2适用于基础较好的学生，所以运用SOLO分类理论对习题进行层次讲解应从学生掌握的知识基础出发，通过层层递进的问题引领学生“观察—发现—归纳—应用”，让处在各思维层次的学生都能参与其中，都能有所收获，以此来推动学生数学思维技能水平的发展.

数学习题不仅要“讲”还要“变”和“评”，在“变”中引导学生发现“不变”的本质，巩固此类问题的求解方法，提升学生的解题能力;在“评”中提炼知识的本质和核心思想，提升学生的数学思维技能水平，使学生从“会一题”向“会一类题”，“学会数学”向“会学数学”转变，进而实现“教思考、教体验、教表达”的“三教”教育理念.

运用SOLO分类理论设计课后作业

数学习题除了精讲还要练，而练的关键是教师要设计好练习题.为了巩固、检测学生课上的“学”，提升学生的解题能力，教师可以基于学情，运用SOLO分类理论设计具有梯度性的习题作为课后作业.

运用SOLO分类理论设计课后作业，可以根据解决具体题目所需知识点的个数及相互联系将其分为四个结构水平：单点结构（P）、多点结构（M）、关联结构（R）和抽象拓展结构（E）.为了使运用SOLO分类理论设计的课后作业更加科学、合理，应遵循以下几个原则.

1. “定”——明考点，定方向

每个层次习题的选取应以高中学业质量标准、学生解题能力与数学思维技能水平的提升为宗旨，以巩固学生课上所学知识、明晰考点和教学目标为指向.

以“对数型复合函数单调性专题”作业为例，应先明确其基本考点，确定其作业选题方向（如图4所示）.

2. “精”——以少胜多

繁多和烦琐的练习题会让学生感到乏味、厌倦，从而使作业实效降低，因此作业题应少而精，有代表性和难易适中.作业题应以单点结构（P）和多点结构（M）为主，题目总数建议不少于6题不多于10题，这样既能减轻学生的课业负担又能提高学习效率，既不会让学生因易而自满，也不会使学生因难而放弃.

3. “变”——异曲同工

解题不仅与学生的思维技能水平有关，与问题结构和学生对情境的熟悉程度等也息息相关，所以为了避免学生机械式模仿，应积极做到“变”，让学生在“变”与“不变”之间，准确把握知识的规律、本质，从而提升学生的解题能力和数学思维技能水平.如“对数型复合函数单调性专题”作业，在课上所讲内容的基础上可做如下的“变”：

从“数”的关系找“形”的特征：已知函数f（x）=ln（x2+1），其图象大致是（  ）

发散学生的思维，强化学生在解决问题的过程中多角度思考：

已知函数y=lg（g（x））在（0，+∞）上单调递增，请你写出一个符合题意条件的函数g（x）=________.

4. “灵”——优化创编，灵活变通

对于知识点单一、内容相对简单的课后作业，根据SOLO分类理论，其每个结构的作业题比较好选择. 但对于知识点复杂、内容综合性强的课后作业，其单点结构（P）和多点结构（M）的作业题较难选择，甚至没有，这就需要教师根据课上内容和相关知识点，对现有题目进行优化或改编.

如“对数型复合函数单调性专题”作业的单点结构（P），可围绕“复合函数概念”和“其单调性判断方法”来编题：

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）：

（1）ln（-x）是复合函数.（  ）

（2）若函数f（g（x））在区间[a，b]上单调递减，则函数f（x），g（x）在区间[a，b]上都递减. （  ）

（3）若函数f（g（x））在区间[a，b]上单调递增，则函数f（x），g（x）在区间[a，b]上都递增.（  ）

（4）函数log（x2+1）的单调性与a的取值有关，若a>1，则其在R上单调递增. （  ）

可将“对数函数与二次函数复合”改编为“对数函数与一次函数复合”，降低难度：

函数f（x）=log（3-x）的定义域是__________，其在定义域内单调递__________;若函数f（x）=ln（ax-2）在（1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为__________.

“对数函数与二次函数复合”的单调性问题属于SOLO分类理论中的关联结构（R），但因其在课上已经过详细讲解与练习，所以设计课后作业时，可以灵活变通，将“对数函数与二次函数复合”的简单单调性问题放在多点结构（M）层次，如：

函数f（x）=log（2x-x2）的单调递增区间为__________，单调递减区间为__________.

根据以上原则，运用SOLO分类理论，可设计“对数型复合函数单调性专题”作业如图5所示.

复合函数单调性专题”作业

运用SOLO分类理论进行作业评价

学生的数学解题过程的书写是“可观察的学习结果”，过程书写的条理性和逻辑性更能反映出学生数学思维达到的水平. 由此，可以根据学生解决某个具体问题时所提供和利用的知识以及知识间的联系，对学生的作业进行评价，分为“U”“M”“R”“E”四个结构水平来代替简单的分数.

这里要强调两点，一是SOLO分类理论反映的是学生学習质量而非发展阶段，彼格斯提出的“学习周期”概念，就是说学生在数学学习中，SOLO分类理论的五个思维结构水平是不断反复出现的[4]. 例如学生学习“对数函数”时可能表现出了较高层次的思维结构水平，而学习“对数型复合函数”相关知识时却出现了困难，思维结构水平拔高很难.所以基于SOLO分类理论的作业评价反馈，可以让学生清楚地知道自己具体在某章某节处于SOLO中的哪个结构水平，从而认识到自己的不足和明确要努力的方向.教师则可以更加准确地、合理地、科学地对学生每一课时的学习情况进行划分，进而开展更有针对性的课后辅导[5].

二是SOLO评价理论是质性评价理论，评价的主体又是教师，肯定存在主观性差异，但评价的目的不是要求其有多准确，而是为了激励、助推学生思维水平的发展，以及检测自己的教学效果和审视自己的教学行为.所以教师一定要有鼓励性、激励性的评价语句和方法，充分调动学生学习的积极性.

参考文献：

[1] 约翰·彼格斯（John B.Biggs）和凯文·科利斯（Kevin F.Collis）. 学习质量评价——SOLO分类理论可观察的学习成果结构[M]高凌飚，张洪岩，译. 人民教育出版社，2010.

[2] 蔡永红. SOLO分类理论及其在教学中的应用[J].教师教育研究，2006，18（01）34-40.

[3] 赵瑞，陈娅娟，字敏. 基于SOLO分类理论的2020年全国Ⅲ化学试题分析[J]. 山东化工，2021，50（03）：216-217.

[4] 刘徽. 可观察的学习结果结构——读《学习质量评价：SOLO分类理论》[J]. 现代教学，2020（11）：77-79.

[5] 吴有昌，陈燕，等. 提升中学数学教学质量的评价——基于SOLO分类法的研究[M]. 科学出版社，2018.