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平面向量基本定理突破线性代数教学难点的研究与实践

2023-04-29汉巍李蕊彤

秦智 2023年4期
关键词:线性代数

汉巍 李蕊彤

[摘要]本文根据当前线性代数教学实践中出现的学习成绩与学习状况矛盾的现状,在分析相关矛盾出现的原因及其后果的基础上提出将向量的线性相关性一节作为解决矛盾现象的突破口,并从定理形式与所处学段中的易忽略性入手得出平面向量基本定理是解决相关教学问题的有效工具;在分析其有效性的基础上,给出相关教学建议。

[关键词]平面向量基本定理;线性代数;线性相关性

《线性代数》是高等学校经济管理类、理工类各专业学生必修的一门重要基础课,是学习自然科学、社会科学、工程技术和企业管理所必备的基础知识和重要工具。同时,在当前考研大热的社会背景下,作为研究生入学考试的数学考试科目,无论是数学一、数学二、数学三还是在396经济类联考综合能力中都是必考的一门课程,其重要性不言而喻。

一、线性代数教学中的矛盾状态及其原因

在《线性代数》的教学实践中,学生表现出的状态显得十分矛盾,其表现有如下方面:

从学生的总体感受及考试成绩来看,一方面,学生均认为该门课程的学习难度在所学习的数学类课程中是最简单的,其平均成绩位于各门数学类课程中前一二位,能够理解课程的内容从而获得较好的成绩;而另一方面,如果关注试卷细节可以发现计算难度偏低但内容较为抽象的计算题和证明题得分率极低,即学生对于考核核心概念及相关关系的内容理解不深甚至于无法理解。

从特定内容来看,后期综合类题型中有一类代表性题目-矩阵对角化类题目,该类型题目几乎将线性代数中的所有计算方式方法均进行了考察。从考察基本计算方法的角度而言,题目难度应处于中等偏上的程度,但就答题状况可见只要题目所给矩阵明确,那么其得分率基本在其分值的一半以上,有近一半的学生可以完整完成相关题目。即从细节看,难度较高的内容,明确的问题,学生可以获得了较高的成绩;而在不给定具体向量而只给出向量关系的,进而对向量的线性关系进行判断的选择题解答中,学生的得分率却无法达到一半。即从特定内容可见,只要给定具体的对象,无论考察知识点的数量多寡,学生均能给予较好的反馈;而一旦涉及抽象问题,学生就无法给出良好的结果。

上述种种看似矛盾的情况,究其原因在于:一方面,线性代数的各类问题均有一种成形的形式化的解题方法,可以在仅掌握前期所学的矩阵、行列式、向量等简单概念的情况下即可完成相关基础题型的计算,学生可以不用充分理解知识与知识间的联系的情况下解决线性代数中具体的问题、甚至是很复杂的问题;而另一方面,线性代数中综合性计算的做法的底层基础均建立在向量的线性相关性上,而向量线性相关性这一节内容由于其抽象性的概念及定理表述往往在学生学习过程中形成了学习障碍,又由于其概念和结论的基础性作用,导致该部分内容在后续学习过程中不断被使用,进而加重了学生对后续内容的学习困难程度。过高的学习难度使部分学生不再关注课程知识体系的建构,这就导致其无法处理考察核心概念和其之间联系的抽象性题目;在为了保证期末获得足够分数的情况下,学生自然选择记忆形式化的计算方法,而舍弃解决向量相关性这一知识薄弱环节。在这两方面的综合作用下,就造成了上述教学中矛盾的情况。

二、相关矛盾情况所带来的后果

从学生角度来看这种状况,其表现出一种错觉,即学习一门课程可以不关注知识体系的建立和相关解决问题方法的底层理论基础,只需要记忆形式化的解题过程即可在考试中获得较高的分数。而较高的分数在学生的眼中意味着这门课程自己已经有了较好的掌握,但是没有理解相关底层理论基础和未建立相关知识体系就无法理解一门课程,无法将其应用到其他课程的学习中去和实现知识的迁移应用。任由这种错觉的蔓延将造成学生对于知识的学习仅关注于表面的形式化解题思路,而不是建立自己对于知识的理解形成自身的知识体系,这样无法实现对知识的应用,更别说知识应用后的创新,这无疑是一种对于人才的无效培养。

从教师角度来看,如果仅满足于学生学会一些方法获得足够交代的成绩的层次,那么这个教师就失去了传道的最基本的要求,也就丧失了一名教师最基本的素质,无疑是一名不称职的教师。

三、解决相关问题的切入点——平面向量基本定理

改变上述状况的最直接的办法当然是在考试中加大对底层知识和知识体系问题的考察。诚然,这样做是可以倒逼学生关注底层知识的建构,但作为考试而言,基本的计算方法是必须进行考核的;从试卷对于知识的考核的全面性而言,基本计算方法的考核必不可少,且其分值占比也应是占试卷总分一半以上的。因此,加大对底层知识和知识体系问题的考察的方法只是治标不治本,未从根本上解决其本质问题;对于线性代数这门课程而言,解决问题的核心就在于如何将向量的线性相关性一节,以让学生能够较为直接理解的方式呈现出来,将其转化为学生学习的基石。

对于如何呈现该部分内容,中学阶段学生学习的平面向量基本定理是一个非常合适的切入点。

(一)平面向量基本定理的内容及与线性代数中向量相关性的关系

在《普通高中课程标准实验教科书数学必修四》(1)中平面向量基本定理的内容为:

如果是同一个平面内的两个不共线向量,那么对于这个平面内的任意向量,有且只有一对实数,使。

这个定理在高中阶段的作用仅在于平面向量可以沿着任意制定的方向分解,此定理为向量的坐标提供了理论基础。

而从线性代数的角度来看,其是一个将线性代数中向量的线性相关性若干概念集于一身的定理。从定理中的各个部分可见,首次作为讨论对象的三个共面的向量,由于其共面的属性,由于平面是二维的,则该三个向量也就均为二维向量。而根据线性代数的理论,向量个数一旦多于向量维数,则该组向量必然是线性相关的,因此三个向量一旦共面,则这三个向量线性相关。而对于定理中的两个向量不共线的情况,则意味着一个向量不能写成另一个向量的数乘形式,即一个向量不能被另一个向量线性表示,由线性代数中对于两个向量线性关系的讨论可知,可得这两个向量线性无关。综合上述内容,定理的形式即可转化为向量线性无关,向量线性相关,则向量可由向量线性表示,且表示方式唯一。由此可见,该定理从更直观的角度给出了线性无关、线性相关,线性无关与线性相关之间的关系,其中不共线、共面的讨论更可以为线性无关和线性相关的概念引入提供良好的背景及阐述平台,定理的形式更是为后续讨论基、坐标、维数打下良好的基础。

(二)平面向量基本定理适合作为切入点的原因

平面向量基本定理从线性代数的角度来看十分重要,但其在《普通高等学校招生全国统一考试大纲及考试说明》(2)中的要求为“了解平面向量基本定理”,在《普通高中课程方案和课程标准》(3)中的要求为“理解平面向量基本定理的“理解平面向量基本定理及其意义”。可见该定理在高中阶段的学习要求并不高,尤其是高考大纲中的“了解”就造成该定理在高考的整体环境中往往是一个被忽略的定理,在高考结束仅半年多的学生大多都无法回忆起这个定理。这种被忽视性正成为这个定理适合作为线性代数中作为线性相关性切入点的重要原因,究其原因有如下两个方面:

1.该定理在高中阶段是一种被高强度提及、使用的关键定理,虽然在教学中可以十分顺利的借用其相关知识导出新概念,但由于原有定理深刻的印象会导致学生在学习过程中新概念的内涵被限制在中学阶段的认识中,尤其是线性相关性这类抽象的概念更易造成这样的情况,这样就破坏了利用原有概念进行拓展提升的教学初衷。而现有的情况是该定理在学生的知识体系中处于一种相对薄弱的地位,引出、并利用其进行拓展的过程不会受到原有知识内涵的影响,更易建立牢固的知识印象。

2.该定理在中学阶段所起的作用更多的是体现在向量作为基底对其余向量进行分解,进而得出向量坐标等方面。而这方面的内容同将其作为切入点的线性相关性所讨论的内容并不直接相关,那么学生对该定理的模糊印象可以使其可以较为孤立的被提出,而不受其他方面的影响,更好地将利用该定理的形式展现我们所需要的线性相关性部分的内容。

四、平面向量基本定理应用于线性相关性的教学建议

虽然该定理易被忽视的属性为我们的教学提供了一定的便利,但该定理的模糊印象也对教学有着一定的影响。如果在学生不加任何准备的条件下直接将其引入并加以使用,多半只会将其看成一个全新的知识而不是已有知识的迁移与延展,从而无法达到设想的效果。因此,对如何将平面向量基本定理应用于线性相关性,笔者有如下建议:

(一)提前展示,学生课后查找并展示自身认识

鉴于学生对该定理的模糊印象,建议教师在讲授完向量及其线性组合课后,将对该定理的回顾及与现有知识的结合以作业形式展示,即要求学生查找相关资料、回顾平面向量基本定理、并结合前面学习的内容在新的一节课中进行小组展示;并在布置作业中强调要结合当前所学,以避免展示中出现中学内容的简单堆砌。这样可以促进学生提前将该定理纳入到知识体系中,并初步将该定理形式化的转换成线性代数中的内容,以便后续进行延展讨论。

(二)适度设问,利用中学知识转化概念,适时拓展

在新的一节课由学生展示完相关认识后,根据展示内容的深浅通过设问的方式将其中核心的共线、共面等概念提出,并利用中学所学平面向量共线共面的内容与前一节课所学知识对比引出线性无关、线性相关的本节核心概念。

(三)及时回顾,改造定理形式,拓展定理内涵

在引出线性相关与线性无关概念并进行进一步阐释后,建议将此定理再次进行回顾,除利用共面、共线这样形象化的内容减弱相关概念的抽象性、缓解学生的学习压力外,还可以利用相关概念将其形式进行拓展,转化为线性代数中的相关定理,进而衔接引出线性相关性的其他定理。

(四)回顾定理原有作用,引导学生思考,引出后续学习内容

在课程结尾,建议将学生分享内容中该定理在中学阶段的作用部分再次提出,结合当前所学引导学生思考线性代数的内容应该如何继续进行,进一步拓展该定理的深度,达到首尾呼应的效果。

五、结语

在对线性代数教学实践中出现的矛盾现象进行对比的情况下,本文分析了相关矛盾现象发生的深层次原因,认为将向量的线性相关性以更易于学生理解的方式呈现出来是解决相关矛盾现象的有效手段。从平面向量定理的定理形式和中学阶段该定理的易被忽略性入手论证了该定理是让向量相关性一节更易于学生理解的有效途径,并结合笔者的个人实践给出了相关的教学建议,但由于在设计教学策略相对粗糙,对教学数据的收集相对单一,相关教学效果呈现不够明显,这也将是后期进一步进行教学实践与教学探讨中努力的方向。

以上皆为笔者就平面向量基本定理这一工具推进线性代数教学的一些拙见,希望能够给予广大教师一些启发,共同提高线性代数的教学水平。

参考文献:

[1]人民教育出版社等编著.普通高中课程标准实验教科书数学必修四[M].北京.人民教育出版社.

[2]教育部考试中心编著.普通高等学校招生全国统一考试大纲及考试说明[M].北京.高等教育出版社.

[3]中华人民共和国教育部.普通高中课程方案和语文等学科课程标准[S](2017年版2020年修订). http://www.moe.gov.cn/srcsite/A26/s8001/202006/t20200603_462199.html.2022-5-13.

基金项目:本文系甘肃省教育科学规划2021年度“十四五”规划课题,项目名称:“基于学习过程中心理压力变化的线性代数教学改革研究”(项目编号:GS[2021]GHB1941)。

作者简介:

汉巍(1982.6 -),男,汉族,甘肃榆中人,硕士研究生,讲师,研究方向:环与模范畴;

李蕊彤(1986.11-),女,汉族,广东梅县人,本科,二级教师,研究方向:数学与应用数学。

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