基于非合作低轨卫星的测向交叉定位技术

周文涛,刘 峰,刘 璞,高亚豪,何 伟

(北京自动化控制设备研究所,北京 100074)

0 引言

测向交叉定位是通过多个来向矢量相互交叉实现对目标的定位,只需要测量出信号来向即可,因此,该方法具有较强的抗欺骗性和抗干扰性,被广泛应用于无源被动定位领域[1-2]。2014年以来,以星链(Starlink)为代表的第二次低轨星座建设潮流迅速蔓延至全球,据不完全统计,全球已经提出了数十种低轨星座计划,且这一数字不断攀升。仅Starlink计划建设的4.2万颗卫星,便已经超过有史以来人类发射的所有低轨卫星数量之和[3]。数量庞大的非合作低轨卫星给卫星定位带来了新的发展机遇。

在得到非合作卫星的位置信息后,可以通过获取信号来向实现定位[1]。非合作卫星的位置信息可以通过简化常规/深空扰动的近似解析解(SGP4/SDP4)模型和美国航空司令部发布的两行根数(two-line element,TLE)文件获取。SGP4模型适用于近地轨道计算,而SDP4是深空扰动的近似解析解模型,具有相对较高的中长期轨道预报精度。已有文献表明,该模型对近地轨道的定轨精度为百米量级[4]。测向交叉定位的定位误差会随着信号接收机与发射机之间的距离增大而增大[2],因此尽量选择轨道较低的低轨(low Earth orbit,LEO)卫星[5-6]。

测向交叉定位主要分为两种类型,一种是通过测量用户发出的信号到已知位置基站的角度信息,在基站中计算用户位置,至少需要2个基站才能通过交叉的方式进行定位[7];另一种类型是自身定位,信号发射机位于已知位置点上,而用户接收机位于待求位置点上,用户接收到信号后,通过测量得到角度信息,在接收机中计算用户位置,信号发射机同样需要至少2个才能定位[8]。卫星定位属于自身定位,即一颗卫星就是一个信号发射机,用户通过接收卫星信号获取导航观测量进行定位。但是两种定位方式的原理类似,都是通过多个已知位置点到待求位置点的矢量交叉得到定位结果[9]。随着目标环境的日益复杂,国内外针对测向交叉定位的研究一直在稳步进行,取得了丰厚的研究成果。R.G.Stansfield在1947年提出了基于测角的无源目标跟踪[10],后续诸多学者针对Stansfield算法进行了改进,例如最大似然估计法[11]、最小二乘法[12]、离散概率密度法[13]及聚类法[14-15]等,但是Stansfield算法均是基于二维平面定位。将二维拓展到三维后,除了方位角外增加了俯仰角,但是二维的定位算法同样也可以应用于三维,可以通过方位角计算出目标在水平面的投影位置,再通过俯仰角计算出目标的三维位置。信号的间歇性辐射也会对定位产生较大的影响[16]。测向交叉定位算法必须基于同一笛卡尔坐标系。在卫星定位中,用户接收到的卫星信号的方位角与俯仰角是基于用户当地站心坐标系,而卫星通过星历或者历书等参数解出来的位置是基于地心地固(Earth-centered Earth-fixed,ECEF)坐标系。文献[17]直接通过坐标转换将卫星站心坐标系转换为ECEF坐标系,但是需要知道卫星的姿态角,实际定位过程中不知道接收机的姿态角。文献[18]采用牛顿迭代处理,需要将坐标方程进行转换,将测向方程的迭代处理中间结果转换到ECEF坐标系中,但是未考虑俯仰角的定位方程,从而将目标高度设为定值。本文提出了一种迭代测向交叉定位的方法用于解决坐标系不一致的问题,并通过仿真验证了算法的可行性。

本文的结构如下:首先介绍了利用方位角与俯仰角进行三维最小二乘测向交叉定位的基本原理;针对角度信息与卫星位置基于不同坐标系的问题,提出了一种基于迭代方法的最小二乘测向交叉定位算法;通过仿真分析,评估了测角精度、卫星轨道高度和定位卫星数对定位误差的影响;最后评估了不同收敛条件下迭代次数和定位误差的变化。

1 测向交叉定位算法原理

1.1 最小二乘测向交叉定位算法

传统测向交叉定位也被称为到达角(angle of arrival,AOA)方法,其原理是通过测量用户接收到2个或2个以上已知位置的发射机发射信号的方向矢量,方向矢量之间相互交叉即可得到用户的位置。

图1 卫星定位中的方位角与俯仰角Fig.1 Azimuth and pitch angle in satellite positioning

每个方位角和俯仰角均可以表示为发射机位置和用户位置的函数

(1)

当发射机只有2个时,可以通过角度关系和正余弦定理解算出用户位置;当发射机大于2个时,可以通过最小二乘的方式解出位置信息。下面描述使用最小二乘的方法解用户位置的具体过程。

(2)

其中,方位角量测矩阵Hφ和俯仰角量测矩阵Hθ分别为

(3)

(4)

其中

(5)

每迭代一次,式(2)就将(xC-,yC-,zC-)的值重置为上一次的迭代结果(xC+,yC+,zC+),直至结果收敛。

1.2 迭代测向交叉定位

对于传统测向交叉定位,发射机与用户必须处于同一坐标系下。对于非合作低轨卫星定位而言,根据TLE文件解析出的卫星位置是以ECEF坐标系为基准,而用户接收到的卫星信号的方位角与俯仰角是基于用户当地站心坐标系(本文后续的站心坐标系均为东北天坐标系)。站心坐标系与ECEF坐标系的转换需要已知用户当地的经纬度,因此,不能直接将传统测向交叉定位应用于卫星定位,可以通过迭代的方式得到用户位置,如图2所示。

图2 迭代测向交叉定位Fig.2 Iterative direction finding and cross positioning

(6)

首先假设用户初始纬经高坐标为(B-,L-,H-),则可以得到该初始位置下ECEF坐标系与东北天坐标系之间的转换矩阵

(7)

(8)

(9)

2 仿真验证

为了验证所提算法的可行性做出了如下仿真。仿真采用的星座为下一代铱星(Iridium-NEXT)星座。在计算卫星位置时加入了随机500 m的误差。对于低轨卫星,信号传播延迟经过计算,其量级为几十米,相较于卫星轨道误差对定位误差的影响较小。考虑信号传播延迟,需要重复迭代计算卫星位置,计算量较大,因此仿真时未考虑信号传播延迟。仿真时也未考虑本地钟差和大气延迟等误差。假定用户位置处于北纬39°,东经116°,高度90 m,迭代初值设置为纬度0°,经度0°,高度0 m,最终收敛至1 m以内停止迭代。首先仿真某时刻铱星星座下的真实方位角和俯仰角,卫星天顶图如图3(a)所示。针对仿真得到的实际方位角和俯仰角加入随机测角误差,得到测角精度和定位误差之间的关系如图3(b)所示。图中橙线表示某次测角精度下的定位误差,蓝线表示某测角精度下定位误差的克拉美罗下界(Cramer-Rao lower bound,CRLB)。可以看出,随着测角误差越来越大,定位误差也随之增大,而且定位误差振荡越来越剧烈。测向交叉定位对于测角误差较为敏感。

(a)

(b)图3 测角精度对定位误差影响Fig.3 Influence of angle measuring accuracy on positioning error

为了得出卫星轨道高度与定位误差的关系,进行如下仿真。仿真5颗卫星的位置信息,其中轨道高度从120 km一直上升到360 km。测角误差设定为0.5°。最终得到卫星轨道高度与定位误差之间的关系,如图4所示。由图4可以看出,随着卫星轨道高度的增加,定位误差不断增大。低轨卫星不论轨道高度如何低,距离地面也有上百千米,定位误差会由于距离的原因被放大,轨道高度越高,定位误差越大。

图4 卫星轨道高度对定位误差影响Fig.4 Influence of satellite orbit height on positioning error

为了得出卫星数目与定位误差的关系,进行如下仿真。先仿真3颗卫星的位置信息,测角误差设定为0.5°。通过迭代测向交叉得到最终定位误差。然后在3颗卫星的基础上依次增加1颗卫星,每次增加的卫星不改变之前已有的卫星位置。表1统计了不同卫星数目下定位误差的均值。由结果可以看出,随着卫星数目的增加,定位误差会逐渐降低。

表1 不同卫星数下定位误差均值统计Tab.1 Statistics of average positioning error under different number of satellites

由于该算法使用迭代的方式进行运算,加上迭代的过程中涉及大量的三角函数运算和矩阵求逆运算,每迭代一次都要进行一次最小二乘解算,算法的运行时间受迭代次数的影响较大,因此需要合理地选取最终迭代收敛条件,以平衡算法运行时间与定位误差之间的关系。因此进行如下仿真。仿真继续采用Iridium-NEXT星座某一时刻的卫星位置作为基准。假定用户位置处于北纬39°,东经116°,高度90 m,迭代初值设置为纬度0°,经度0°,高度0 m。测角误差设定为0.1°和0.5°。连续进行1 000次迭代测向交叉仿真,每次迭代测向交叉增加迭代收敛范围。最终得到图5所示的仿真结果,展示了不同收敛范围下的迭代次数和定位误差的变化曲线。测角精度为0.1°时,当收敛条件增加到8 km后,迭代次数维持在5次以下;但是当收敛条件增加到大约30 km后,定位误差开始明显增大;收敛条件在30 km以内时,定位误差的变化不明显。当测角精度为0.5°,迭代次数相较于测角精度为0.1°,变化不明显,但是定位误差没有后者变化明显。因此,在选取迭代的收敛条件时,可以综合考虑迭代次数和定位误差、测角精度之间的关系,将收敛范围设置为8～30 km之间。

图5 不同收敛条件下迭代次数与定位误差关系Fig.5 Relationship between number of iterations and positioning error under different convergence conditions

3 结论

本文针对用户接收到的卫星信号的角度信息与卫星位置二者之间采用不同坐标系的情况,提出了一种新的迭代测向交叉定位算法。首先假设一个用户位置作为迭代初值,将用户得到的东北天坐标系下方位角与俯仰角转化为ECEF坐标系下的单位矢量,再通过最小二乘的方式得到本次迭代的定位结果,然后将定位结果重新带回迭代初值,通过迭代的方式得到最终定位结果。通过仿真分析,考虑了测角精度、卫星轨道高度和定位卫星数对迭代测向交叉定位的影响,并分析了不同收敛条件下迭代次数和定位误差的变化关系。

1)测向交叉定位对测角精度敏感,提高测角精度依然是后续发展的主要方向;

2)卫星轨道高度越高,定位误差越大,因此尽量选择轨道较低的卫星,可以提高定位精度;

3)迭代过程计算量大,需要根据测角精度和定位误差合理选择迭代收敛条件,降低运算量。

本文的研究内容可以为后续非合作低轨卫星测向交叉定位提供初步的理论指导,也可以进一步推广到不同坐标系下测向交叉定位算法的应用。